丰台区学年度第一学期期末练习高三数学理科.docx

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丰台区学年度第一学期期末练习高三数学理科

丰台区2018—2019学年度第一学期期末练习高三数学（理科）

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1．已知集合A

{1,0,1,2,3}，B{x|

2≤x≤2}，那么A

B

（A）{

1,0,1}

（B）{

1,0,1,2}

（C）{

1,0,1,2,3}

（D）{x|2≤x≤2}

2．若复数（2

i）（a

i）的实部与虚部互为相反数，则实数

a

（A）3

（B）1

（C）

1

（D）3

3

3

3．执行如图所示的程序框图，输出的

S的值为

开始

（A）3

（B）4

k=1,S=0

4

5

（C）5

（D）6

S=S+

1

k=k+1

6

7

k（k+1）

4．已知等差数列{an}中，a13，a2

6.

k<4

是

若bna2n，则数列{bn}的前5项和等于

否

输出S

（A）30

（B）45

（C）90

（D）186

结束

5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的

棱中，最长的棱的长度为

（A）2

（B）5

（C）22

（D）23

22

22

正（主）视图侧（左）视图

1

俯视图

a

ab”是“

a

2

ab

”的

6．设，b是非零向量，则“

第1页共10页

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

7．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链

与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点

A，另一端固定在点B，套上铅笔（如图所示）.作图时，使

B

铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M（长杆OB绕O转

M

动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若|OA|10，

|OB|12，细绳长为

8，则所得双曲线的离心率为

O

A

（A）6

（B）5

（C）3

（D）5

5

4

2

2

8．如图，在棱长为

2的正方体

ABCD

ABC

D

中，E,F,G分

D1

C1

111

1

别是棱AB,BC,CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线

A1

B1

D1P与平面EFG不存在公共点，则三角形

PBB1的面积的最小值

G

为

DC

2

（A）（B）1

2

（C）2（D）2

PF

AEB

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．在极坐标系中，圆C：

2sin的圆心到点（1,0）的距离为____．

10．（2x1）5展开式中x2的系数为____．

b

11．能够说明“设a,b是任意非零实数．若1，则ba”是假命题的一组整数a,b的值

．．

a

依次为____．

x

y≥1,

12．若x,y满足x

y≤1,

则zx

2y的最大值为____．

2x

y1

≥0,

13．动点A（x,y）在圆x2

y2

1上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t

0时，

点A的坐标是（

3,1），则当

0≤t≤6

时，动点A的纵坐标y关于t（单位：

秒）的函

22

第2页共10页

数的值域为____．

14．已知函数

x3

3x,x≥a,

f（x）

x

a.

2x,

①若a

0，则函数f（x）的零点有____个；

②若存在实数m，使得函数

y

f（x）m总有三个不同的零点，则实数

a的取值范围

是____．

三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15．（本小题13分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，a

3，b

23，cosB

1

.

3

（Ⅰ）求c的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积.

16．（本小题14分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，

侧棱PA底面ABCD，Q为棱PD的中点，PAAB．

P

Q

（Ⅰ）求证：

AQCD；

（Ⅱ）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；

AD

（Ⅲ）求二面角CAQD的余弦值．

BC

17．（本小题13分）

2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次

以进口为主题的国家级博览会

.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展

.其中企业产品

展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：

智能及高

消费电子

汽车

服装服饰及

食品及

医疗器械及

服务

展区类型

及家电

日用消费品

农产品

医药保健

贸易

端装备

展区的企

400

60

70

650

1670

300

450

业数（家）

备受关注

25％

20％

10％

23％

18％

8％

24％

百分比

备受关注百分比指：

一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区

的企业数的比值．

第3页共10页

（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”

展区备受关注的企业的概率；

（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注

的企业中，任选2家接受记者采访.

（i）记X为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X的

分布列；

（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％.记Y为这2家企业中来自于“消

费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量X,Y的均值E（X）和E（Y）的大小.（只需写出

结论）

18．（本小题14分）

x2

y2

b0）的右焦点为F（1,0），离心率为

1，直线l:

yk（x4）

已知椭圆

C:

2

21（a

a

b

2

（k0）与椭圆C交于不同两点

M,N，直线FM,FN分别交y轴于A,B两点.

（Ⅰ）求椭圆

C的方程；

（Ⅱ）求证：

|FA|

|FB|.

19．（本小题13分）

设函数

f

（）

a

sin

x

cos,

[0,]．

x

xxx

2

（Ⅰ）当a

1

时，求证：

f（x）≥0；

（Ⅱ）如果

f（x）≥0

恒成立，求实数

a的最小值．

20．（本小题13分）

a11,a12,

an1

a21,a22,

an2

记作{aij

}mn

（其中，当且仅当i

s,jt时，

将mn阶数阵

am1,am2,

amn

aijast）.如果对于任意的i

1,2,3,,m，当j1

j2时，都有aij1aij2

，那么称数阵

{aij}mn具有性质A.

第4页共10页

（Ⅰ）写出一个具有性质

A的数阵{aij}34，满足以下三个条件：

①

a114，②数列{a1n}是

公差为2的等差数列，③数列

{am1}是公比为

1的等比数列；

2

（Ⅱ）将一个具有性质A的数阵{aij}mn的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，

形成一个新的m

n阶数阵，记作数阵

{bij}mn.试判断数阵{bij}mn是否具有性质

A，并说明

理由.

丰台区2018~2019学年度第一学期期末练习

高三数学（理科）参考答案及评分参考

2019．01

一、选择题（共

8小题，每小题

5分，共

40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

D

B

C

D

A

D

C

二、填空题（共

6小题，每小题

5分，共30

分。

有两空的小题，第一空

3分，第二空

2分）

9．2

10．40

11．满足ba

0且

a,b

Z即可

12

．

1

13

1

1]

14

2

；

a

0

且

a

1

．[

2

．

三、解答题（共

6小题，共

80分）

15.（共13分）

解：

（Ⅰ）在△ABC中，因为a

3，b

2

3，cosB

1

，

3

由余弦定理b2

a2

c2

2accosB，

.2

分

可得c2

2c

3

0

，

.4

分

所以c

3，或c

1（舍）．

.6

分

（Ⅱ）因为cosB

1,B

（0,

），

3

第5页共10页

所以sinB1cos2B

22.

3

所以△ABC的面积S

1acsinB

1

3322

32.

.13

2

2

3

分

16.（共14分）

解：

（Ⅰ）因为PA底面ABCD，CD底面ABCD，

所以PACD，

正方形ABCD中ADCD，

又因为PAADA，

所以

因为

CD平面PAD，

AQ平面PAD，

所以AQ

CD．

.4

分

（Ⅱ）正方形ABCD中AB

AD，侧棱PA

底面ABCD.

如图建立空间直角坐标系

O

xyz，不妨设AB

2.

依题意，则

A（0,0,0）,C（2,2,0）,P（0,0,2）,Q（0,1,1）

，

所以CP

2,2,2,AC

2,2,0,AQ

0,1,1

.

z

设平面ACQ的法向量n

x,y,z，

P

nAC

0

因为

，

Q

nAQ

0

2x

2y

0

所以

z

0

.

y

A

Dy

x

1

B

令x1，得

y

1，即n

1,1,1，

C

x

z

1

所以cos

n,CP

nCP

1，

|n||CP|

3

所以直线PC

与平面ACQ所成角的正弦值为

第6页共10页

1；

11

分

3

（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD

平面PAD，所以DC2,0,0

为平面PAD的法向量，

因为cos

n,DC

nDC

3，且二面角C

AQ

D为锐角，

|n||DC|

3

所

以

二

面

角

CAQD的

余

弦

值

为

3．14分

3

17．（共13分）

解：

（Ⅰ）7个展区企业数共

400+60+70+650+1670+300+450=3600家，

其中备受关注的智能及高端装备企业共

400

25%

100家，

设从各展区随机选

1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件

A,

所

以

1

.

4分

0

P（A）

3600

36

6020%

12家，

（Ⅱ）消费电子及家电备受关注的企业有

医疗器械及医药保健备受关注的企业有

300

8%

24家，共

36家.

X的可能取值为

0，1，2.

P（X

0）

C242

46

C362

；

105

P（X

1）

C121C241

16

C362

；

35

P（X

2）

C122

11

C362

；

105

所以随机变量

X的分布列为：

P

0

1

2

X

46

16

11

105

35

105

11分

（Ⅲ）

E（X）E（Y）

13分

18.（共14分）

第7页共10页

c

，

1

c

1，

a

2，

b

3.

a

2

a2

b2

c2.

C

x2

y2

1

5

4

3

Mx1,y1,N

x2,y2

（x1

1且x21）.

y

k

x

4,

2

2

2

2

2

2

x

y

1.

4k

3

x

32kx

64k

120

4

3

=

32k

2

2

4

4k

2

3

64k

2

12

00

k

2

1

.

4

x1

x2

32k2

4k

2

3

8

64k2

12.

x1x2

4k2

3

kMF

kNF

y1

y2

x1

1

x2

1

kx1

4

k

x2

4

x1

1

x2

1

k2x1x2

5x1

x2

8

x1

1

x2

1

k2

64k

2

12

5

32k2

8

4k

2

3

4k2

3

x1

1

x2

1

0.