对称性奇偶性和周期性的综合运用.docx
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对称性奇偶性和周期性的综合运用
对称性、奇偶性和周期性的综合运用
二函数的对称性
（一）函数yf（x）的图象自身对称
1、轴对称
对于函数f（x）的定义域内任意一个X，
f（ax）f（bx）yf（x）
图象关于直线
x（ax）2（bx）a2b对称.
推论1:
f（ax）f（ax）
yf（x）的图象关于
直线xa对称•
推论2:
f（x）f（2ax）
yf（x）的图象关于
直线xa对称•
推论3：
f（x）f（2ax）
yf（x）的图象关于
直线xa对称•
求对称轴方法：
x（ax）2（b
x）ab
2
2、中心对称
f（ax）f（bx）2cyf（x）
（专,C）对称.
对于函数f（x）的定义域内任意一个X，的图象关于点
推论：
f（ax）f（ax）2b
yf（x）的图象关于
点（a,b）对称.
论：
f（x）f（2ax）2b
yf（x）的图象关于
点（a,b）对称.
论：
f（x）f（2ax）2b
yf（x）的图象关于
点（a>b）对称.
求对称中心方法横坐标x『ILA纵坐标y今°
小结：
轴对称与中心对称的区别
轴对称：
f（a+x）=f（b-x）中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等（差为零）；
中心对称：
f（a+x）=-f（b-x）+2c中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.
（二）两个函数的图象相互对称
1、函数yf（ax）与函数yf（bx）图象关于直线
x对称；
特别地，函数y=f（a+x）与y=f（a—x）关于直线x=0（y轴）轴对称；
求对称轴方法：
令
a+x=b-x,得
称;
2、函数y=f（a+x）+c与y=—f（b—x）+d关于点（宁，铲）中心对称；
特别地，函数y=f（a+x）与y=—f（a—x）关于点（0,0）（原点）中心对称.
函数y3与函数yf（x）图象关于原点对称函数•
求对称中心方法：
横坐标令a+x=b-x,得ba
x〒，纵坐标y=甘.
二.函数的奇偶性
1.如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x,
都有f（—X）=f（x）_（f（x）___—f（—x）=0）,
那么函数f（x）叫做偶函数•偶函数的图象关
于y车由（x=0）对称.
推论：
若y=f（x+a）为偶函数，则f（x+a）
=f（—x+a）,即y=f（x）的图像关于直线x=a轴对称.
2.如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x,都有f（—x）=—f（x）（f（x）+f（—x）=0），
那么函数f（x）叫做奇函数.奇函数的图象关于原点（0,0）对称.
推论：
若y=f（x+a）为奇函数，贝I」f（—x+
a）=—f（a+x），即y=f（x）的图像关于点（a,0）中心对称.
三.函数的周期性
1.定义：
对于f（x＞定义域内的任意一个x，都存在非零常数T，使得f（xT）f（x）恒成立，则称函数“）具有周期性，T叫做f＜x＞的一个周期，则kT（kZ,k0）也是f（x）的周期，所有周期中的最小正数叫『"）的最小正周期.
2.推论:
（11）若函数y=f（x）同时关于直线x=a与x=b轴对称，则函数f（x）必为周期函数，且T=2|a-b|.
推论：
偶函数yf（x）满足f（ax）f（ax）yf（x）J周T2a
（12）若函数y=f（x）同时关于点（a,0）与点
（b,0）中心对称，则函数f（x）必为周期函数，且T=2|a—b|.
推论：
奇函数yf（x）满足f（ax）f（ax）0yf（x）J周T4a
（13）yf（x）有一条对称轴xa和一个对称中心
（b,0）f（x）的周期T=4|a—b|.
小结：
①函数对称性、奇偶性和周期性定义共
同点：
"对于函数f（x）定义域内任意一个
x；
2对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”；
3定义在R上的函数yf（x），在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在•
题型分类
1.求函数值
f（x）是（，
1时，f（x）
）上的奇函数，f（2x）f（x）,，则f（7.5）等于（-0.5）
（B）-0.5;（C）
-1.5.
满足条件f（x+1）=f（x-
log-,5）
3
例1.设
当。
x
（A）0.5;
1.5；（D）
例2.偶函数y=f（x）
1），且当x€[—1,0]时,f（x）=3x+9，则f（
0,1
例3.若f（x）（xR）是以2为周期的偶函数，当
t1
时，f（x）X1998,试比较嚅）、f（护、f（1；04）的大小.
乙1
解：
f（x）（xR）是以2为周期的偶函数，又f（x）x碗在0,1上是增函数，且0舟曙黑1,
D.1
解：
由于偶函数
-1）,，说明函数的周期为2,f（-x）=f（x）
X€[-1,0]时,f（x）
y=f（x）
满足条件f（x+1）=f（x
当
=3+4，则对于log25=-log35，
f（―）f（I6）f（£）,即f（98）f（^04）.
171915171915
3、求函数解析式
例4.已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）=
f（4-x），且当x2.0时，f（x）=—2x+1，求当x4,6时求f（x）的解析式.
例5.设f（x）是定义在（，）上以2为周期的周期函数，且f（x）是偶函数，在区间2‘3上，f（x）2（x3）24.求x1,2时，f（x）的解析式.
解：
当x3,2，即x2,3，
f（x）f（x）2（x3）242（x3）24
x1,2
又f（x）是以2为周期的周期函数，于是当即3x42时，
有f（x）f（x4）
f（x）2（x4）3242（x1）24（1x2）.
f（x）2（x1）4（1x2）.
4、判断（证明）函数性质
x）f（2x）对
（2x）f（2x）
例6.已知foo的周期为4,且等式f（2任意xR均成立，
判断函数f（x）的奇偶性.
解：
由f（x）的周期为4,得f（x）f（4x），由得
f（x）f（4x），f（x）f（x）,故f（x）为偶函数.
且满足
例7.已知f（x）是定义在R上的函数，
1
f（x+999）=帀，f（999+x）=f（999—x），试
判断函数f（x）的奇偶性.
例8.已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）=f（4-x），且当x2，0时，f（x）是减函数，求证当x4,6时f（x）为增函数
x24x140
解：
设4xx26则2•••f（x）在［-2，0］上是减函数•••
f（X24）f（xi4）
又函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）=f（4-x），类比命题3
（1）知函数f（x）的周期为4
故f（x+4）=f（x）f（x2）f（xj
f（-x）=f（x）.f（X2）f（xi）
故当x4,6时f（x）为增函数
例9.设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于x=1对称，证明f（x）是周期函数
例10.设f（x）是定义在R上的函数，且满足f（10
+x）=f（10—x），f（20—x）=—f（20+x），则f（x）是（C）
A.偶函数，又是周期函数B•偶函数，
但不是周期函数
C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，
但不是周期函数
例11.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且
满足对任意x€R都有f（2+x）=-f（x），又当x€[-1,1]时f（x）=x
⑴证明：
直线x=1是f（x）图像的一条对称轴；
⑵当x€[1,5]时，求函数f（x）的解析式.
判断函数的单调性
5、确定函数零点个数
例12.设函数f（x）对任意实数x满足f（2x）f（2x）,f（7x）f（7x）,且f（0）0,判断函
数f（x）图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交占丿J八\、・
解：
由题设知函数f（x）图象关于直线x2和x7对称，又由函数的性质得
f（x）是以10为周期的函数•在一个周期区间0,10上，
f（0）0,f（4）f（22）f（22）f（0）0且f（x）不能恒为零，
故f（x）图象与x轴至少有2个交点•
而区间30,30有6个周期，故在闭区间30,30上f（x）图象与x轴至少有13个交点•
6、求参数的值（范围）
例13.①若函数f（x）=|x+a|，且f（x）满足对
x€R都有f（3+x）=f（2-x）,则实数a=.
②若函数f（x）=（x+a）3，且f（x）满足对x€R
都有f（3+x）=-f（2-x）,则实数a=.
例14.f（x）满足f（x）=-f（6-x）,f（x）=f（2-x）,
若f（a）=-f（20OO）,a€［5,9］且f（x）在［5,
9］上单调.求a的值.
例15.设fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fxx2.若对任意的xa,a2,
不等式fxaf42x恒成立，则实数a的取值范围是（）
A.aoB.a<2C.a\2
D・a0
7.两个函数图像的对称性
例16.函数y=f（x）是定义在实数集R上的函
数，那么y=—f（x+4）与y=f（6—x）的图象之间（D）
A.关于直线x=5对称B•关于直线x=1对称
C.关于点（5,0）对称D.关于点（1,0）对称解：
据复合函数的对称性知函数y=—f（x+4）与y=f（6—x）之间关于点（（6—4）12,0）即（1,0）中心对称，故选D.
例17.求与函数y=lg（l+x）的图像关于点（2,1）成中心对称的函数解析式.
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