AB
图1图2
例2已知锐角三角形ABC（图3），直角三角形A1B1C1（图4），钝角三角形A2B2C2（图5）
（1）分别作出这三个三角形的外接圆
（2）比较这三个三角形外心的位置，你能有什么发现？
（3）思考：
已知△DEF的外心在△DEF的一边上，若DE=3，EF=4，能否求出△DEF的外接圆半径？
2、巩固练习：
1、已知直角坐标平面内点P、A的坐标分别为（-1，0），（3，3），以P为圆心，AP为半径长画圆.
（1）判断下列各点与⊙p的位置关系.B（4，0）；C（1，5）；
（2）若圆上有一点D的横坐标为2，求D点坐标.
2、课本练习27.1
四、讨论合作，小结交流
1、本堂课你学会了什么？
还可以得到什么？
2、本堂课你的疑惑是什么？
你准备如何解决？
3、你觉得自己在本课中的表现如何？
五、作业布置，拓展延伸
必做题：
练习册27.1
分层题：
（任选2题）1、思考：
不共线的任意四点能否确定一个圆？
若能，则这四个点有何特征？
2、已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是△ABC的外心，G是△ABC的重心.求OG的长.
3、拓展：
对于一个一般三角形（如边长为4，6，8的三角形）能否计算它的外接圆半径？
（若能，设外接圆半径为x，请列出关于x的方程）
教案设计说明
《圆的确定》这一节内容较多，课的容量大，其中点与圆的位置关系的描述对以后研究直线与圆、圆与圆的位置关系起十分重要的铺垫作用.本课的设计过程有着以下几个方面的特点：
1、以现实生活场景“工地噪声污染”一题作为新课的情景引入，激发学习兴趣以及对新知识的探究欲望.通过多媒体的展示，自然引出圆内、圆上、圆外的概念，并用点与圆心的距离d与圆半径R之间的大小关系，来描述点与圆的三种不同的数量关系，领悟形数结合、分类讨论的数学思想方法.在《圆的确定》这一部分教学中，通过一系列问题的设疑，把确定圆的条件铺设成若干个小问题，由简到繁，由特殊到一般，学生的思维被激活，体验了重要的研究数学问题的方法，在合作交流中自主探究到了确定圆的条件：
不共线三点确定一个圆.
2、巩固与作业的布置上，着重体现了基础性，又有恰当的分层提高，这种提高是建立在巩固了良好的基础知识的前提上，使不同的学生在所学的知识上有不同的发展、不同的提高.
七、课后反思
对一点到圆的距离的理解要补充讲解，作图题要把满足要求的图形都作出来.
27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（1）
一、教学内容分析
本课是研究圆中四组量圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的第一课时，学生将理解圆弧、弦、圆心角、优弧、劣弧、弦心距等概念及定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦、弦心距相等.并能运用定理进行简单的论证及计算.
二、教学目标
知识与技能：
1、理解弧、弦、圆心角、弦心距、等圆等概念.
过程与方法：
通过操作、说理和证明，探索圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系.
情况态度与价值观：
培养严谨的学习态度..
三、教学重点及难点
圆心角、弧、弦、弦心距概念的理解.
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的论证及简单应用.
四、教具准备
课件、多媒体投影
五、教学流程
六、教学过程设计
（一）概念引入
1、演示观察，讲授概念
引出弧、圆心角、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等弧、等圆的概念.
（二）探索新知
1、思考：
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，思考他们所对的弧，所对的弦，所对弦的弦心距是否相等？
2、出示问题：
（图1）在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A’OB’时，它们分别所对的和是否能重合？
弦AB=A’B’吗？
作弦AB，弦A’B’的弦心距OC，OC’，则OC=OC’吗？
3、说理论证.
4、定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
（三）巩固练习
1、概念辨析
例1（图2）在⊙O中，两条弦AB，CD相交于点E，则与相等吗？
为什么？
若∠AOB=∠COD，那么与相等吗？
为什么？
例2判断：
相等的圆心角所对的弧一定相等吗？
为什么？
2、例题分析
例3如图（3），⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=∠AOC=120°，
（1）求证：
△ABC是等边三角形.
（2）
如果BC的弦心距为3厘米，求AB、AC的弦心距.
3、拓展延伸
如图（4），⊙O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC，∠AOB=∠BOC，探索△ABC的形状，并说明理由.
4、课堂反馈：
练习27.2
（1）
（四）课堂小结
1、这堂课的学习你有什么收获？
还有什么不同观点或想法？
2、你认为对本课的概念或定理的学习探究，需要注意些什么？
（五）作业布置
必做题：
练习册习题27.2
（1）
分层题：
（选作）如图（5）半圆⊙O上依次有四个点A、B、C、D，且∠AOB=∠COD，
求证：
四边形ABCD是等腰三角形.
教案设计说明
圆中弧、弦、圆心角、弦心距等概念在新教材中第一次出现，这些概念对研究圆中四组量的关系及理解垂径定理起至关重要的作用，故在课堂开始就利用PPT演示并作细致的讲解，把概念的内涵、关键点讲细、讲活.学生在掌握了圆心角、弦、弦心距等概念的基础上，进一步通过操作，发现圆心角、弦、弦心距、弧这四组两之间的关系，认知结构得到了螺旋发展.在掌握定理的前提下.展开对例题的训练研究，新知识得以巩固，思维能力得到培养.
七、课后反思
优弧和劣弧的表示方法要注意区分，证明题的推理要严谨.
27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（2）
一、教学内容分析
本课是研究同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量的关系的第二课时，在前节课得到的定理的基础上完成其推论，形成圆心角、弧、弦、弦心距四组量的关系的完整的知识结构，并能运用定理和推论进行简单的几何运算和证明.
二、教学目标
知识与技能：
会用定理和推论进行相关的几何证明和计算.
过程与方法：
通过同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量之间的关系的进一步研究，进一步掌握相关的概念以及它们之间的联系.
情感态度与价值观：
发展探索和发现能力，体验事物之间相互依存，相互制约的联系观点和等价转换思想.
三、教学重点及难点
能用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行相关的几何证明和计算.引导学生会对定理推论的探索和论证.
四、教学用具
课件、多媒体投影
五、教学流程
六、教学过程设计
一．探索发现
1．探究：
1）．问题：
如图
（1），在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE、OF分别是AB、CD的弦心距
（1）如果∠AOB＝∠COF，可得到哪些结论？
（2）如果，能否得到∠AOB＝∠COD？
（3）如果AB＝CD，能否得到∠AOB＝∠COD？
（4）如果OE＝OF，能否得到∠AOB＝∠COD？
2）．对上面探索活动所获结果进行归纳、小结.
二．获得新知
1．定理推论：
在同圆或等圆中如果两个圆心角，两条劣弧（或优弧），两条弦，两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.
2．用几何语言熟练描述圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系.
如图
（2）：
⊙O中，OE、OF分别是弦AB、CD的弦心距
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么_________________
（2）如果AB＝CD，那么____________________
（3）如果，那么____________________
（4）如果OE＝OF，那么____________________
三．巩固反馈
1、例题精讲例1如图（3），在⊙O中，弦AB、CD相交于E，
OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距
（1）如果OM＝ON，求证：
（2）如果求证：
EO平分∠AED
例2例题变式1如图（4），已知圆O中，过圆内一点E作圆O的两条弦AB和CD，AE＝DE，求证：
例3例题变式2如图（5），已知圆O外一点E，过E作二条射线分别交圆O于A、B、C、D四点，若AE＝DE，求证：
2、反馈练习：
练习26.2
（2）
四．课堂小结
1．会叙述圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
2．你觉得定理和推论在运用过程中需注意些什么？
五．布置作业
必做题：
练习册27.2
（2）
分层题：
（选作）如图（6）：
过圆O内一点P作弦AB、CD，且AB＝CD在上取两点E、F，且，求证：
直线PO是EF的垂直平分线
教学设计说明
本节课主要在第一课时获得定理的基础上，进一步探索研究圆心角、弧、弦、弦心之间的关系，从而完善了对这四组量关系的认知结构.教学中，采用教学引导、学生探索发现的教学模式，最后得到了推论，学生在一系列的活动过程中发展了探索发现的能力，体验事物之间相互依存、相互制约的联系观点和等价转换的思想.巩固练习部分，把课本例题进行了适当的整合与变化，进一步锻炼了学生思维的灵活性、创造性，使有余力的学生在课堂上能以知识的全面发展，体现了不同的学生在数学上有不同的收获.总之，本堂课以教师引导、学生探研发现为主，通过学生的自主探究、合作交流、体验知识探索成功后的收获与喜悦，培养了学生归纳总结能力，提高探索解决问题的能力.
七、课后反思
圆中一条弦对两条弧，应用定理时应注意区分弦所对的优弧和劣弧.
27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（3）
一、教学内容分析：
本课是圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的第3课时，主要内容是对圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的灵活运用.
二、教学目标
知识与技能：
灵活运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决相关的几何证明与计算.
过程与方法：
通过例题的学习，进一步发展逻辑推理能力.
情感态度与价值观：
提高学生的数学素养，用数学的眼光看世界.
三、教学重点与难点
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的灵活运用.
四、教学用具准备
课件、多媒体投影仪
五、教学流程
六、教学过程设计
（一）温故知新
回顾定理与推论：
同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条劣弧（或优弧），两条弦，两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等.
（二）应用举例
例4如图
（1）已知：
点F为圆O内一点，过点F作圆O的两条弦AB、CD，且∠AFO＝∠DFO
求证：
（1）AB＝CD
（2）
变式1：
将例4中条件结论互换，命题是否为真？
即已知点F为圆O内一点，过点F作⊙O的两条弦AB、CD，AB＝CD求证：
∠AFO=∠DFO（学生探索发现）
变式2：
若点F为⊙O上一点，过F作⊙O的弦FA、FD如图
（2）
若∠AFO＝∠DFO,求证：
AF＝DF（学生探索发现）
变式3：
如图（3）若点F为⊙O外一点，过F作两条射线分别交⊙O于点A、B、C、D，若∠AFO＝∠DFO，求证：
AB＝CD（学生探索发现）
例5已知，如图（4）：
⊙O是
△ABC的外接圆，AE平分△ABC的外角∠DAC，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM＝ON求证：
（1）AE∥BC
（2）AO⊥AE
（三）反馈练习
1、课本P11页，练习27.2（3）
2、将例5条件、结论互换，变式1：
把条件OM＝ON与结论AE∥BC互换，命题是否为真？
说明理由.
3、变式2：
把条件OM＝ON与结论AO⊥AE互换，命题是否为真？
说明理由.图（5）
（四）归纳小结
1.谈谈本堂课的收获
2.谈谈本堂课的疑惑
（五）布置作业
必做题：
练习册27.2（3）
分层题：
（选作）如图（6）：
已知半圆O中，直径AB＝2，作弦DC∥AB，设AD＝x，四边形ABCD的周长为y，求：
y与x的函数关系式，及自变量x的取值范围
设计说明
本节课主要内容是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的应用，对课本例题做了适当的变式，以问题为主线，探中有究，究中有探，通过例4的变式训练，引导学生灵活创新地运用定理、推论解决问题，根据学生已有的知识基础，设计出具有一定探索价值的问题链，进而让学生去发现、去创造，从而充分调动学生的思维，有效地提高课堂的效率，使整个课堂焕发出思维的活力.
七、课后反思
解题添辅助线时，应首选弦心距，往往可事半功倍.
27.3
（1）垂径定理
一、教学内容分析
学生已经知道，在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系.本节利用圆的轴对称性，进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联.因为圆是轴对称图形，且任意一条直径所在直线都是它的对称轴，所以课本对于这些量之间关系的讨论，从垂直于弦的直径的性质开始展开，并加以推理证明；
垂径定理及其推论揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在垂径定理得出的过程中，体验了从感性到理性、从具体到抽象思维过程，有助于培养思维的严谨性.
二、教学目标设计
知识与技能：
掌握垂径定理,能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题.
过程与方法：
经历垂径定理的探索和证明过程.
情感态度与价值观：
在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；
三、教学重点及难点
重点：
掌握垂径定理的内容并初步学会运用.
难点：
垂径定理的探索和证明.
四、教学用具准备
圆形纸片，圆规，三角尺
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、情景引入
1、观察
将圆形纸片翻折，能观察到什么？
说明什么？
二、学习新课
1、思考
如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，则图中有哪些相等的量？
为什么？
（学生观察，猜想，并得出以下结论）
CO=DO（同圆的半径相等）
②AM=BM,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC（如何证明？
）
（学生讨论，并得出推导过程，教师板书）
联结OA、OB，则OA=OB.
∵AB⊥CD,
∴AM=BM（等腰三角形三线合一）,
∠AOD=∠BOD,
∴弧AD=弧BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）.
∵∠AOC=∠BOC,
∴弧AC=弧BC.
2、定理：
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧.
3、例题分析
例1已知：
如图，以点O为圆心的两个圆中，
大圆的弦AB交小圆于点C、D两点，
求证：
AC=DB
分析：
作OH⊥AB，垂足为H
证明略
例2（赵州桥桥拱问题）1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）
分析：
如图，假设弧AB表示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1米）
1、结合图形解释桥拱的跨度、拱高及弓形的含义.
2、如何确定圆心的位置？
3、图中哪些表示圆O的半径？
4、如何建立等量关系？
解：
设圆O的半径为R，则OA=OB=OC=R
根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则OD=
∵OC⊥AB，且OC过圆心
∴AD=
AB=18.7
在Rt△AOD中，∠ADO=90°
∵AD
+OD
=OA
∴18.7
+
=
答：
桥拱所在圆的半径约为27.9米.
三、巩固练习
1、已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.
2、已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm，
求：
（1）点O到AB的距离；
（2）∠AOB的大小.
四、课堂小结
知识：
（1）圆的轴对称性；
（2）垂径定理及应用．
方法：
（1）垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键是构造直角三角形——作弦心距；
（2）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
五、作业布置
必做题：
练习册：
P
，习题27.3
（1）
分层题：
（选作3题）金牌P11～12
七、教学说明及反思
（1）本节一开始说明了圆是轴对称图形，然后在“思考”中提出问题，引导学生直观感知垂径定理的真实性，再用推理的方法加以证明.教学中，要注意展现垂径定理的导出和证明过程，让学生获得“实验—归纳—猜测—论证”的过程经历.
（2）对于垂径定理文字描述的理解，在“边款”中特别指出，垂径定理条件中的“弦”可以是直径,结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧；垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，也可表述为“圆的半径垂直于弦”，或者“圆心到弦的垂线段”.这样，学生在实际问题背景下，可灵活运用垂径定理来解决数学问题.
（3）例题1是垂径定理的初步运用.学生有可能还是习惯用等腰三角形“三线合一”来证明，要引导学生对不同的证明方法进行比较，帮助学生理解新的定理在几何证明中所起的作用，看到不同证明方法之间的联系和课本中证明过程的简约.
（4）例题2是运用垂径定理解决简单的实际数学问题.本题的背景赵州石拱桥，教学时要指导学生如何将现实生活中的数学问题抽象为数学模型，要关注这个转化的过程，渗透数学建模思想.同时，可结合本例渗透“两纲”教育，激发学生的爱国热情.例题中有拱高，后面又提出了弓形的概念，教学时要向学生解说，并注意“边款”中对“弓形”与“拱形”两个概念的区别的说明.
27.3
（2）垂径定理
一、教学内容分析
垂径定理及其推理论是圆中的一个重要内容，它揭示了弦、直径及弦所对的弧之间的一种特殊的位置关系.解题时过圆心作已知弦的垂线是常用辅助线，其目的是应用垂径定理的有关结论.
二、教学目标
知识与技能：
掌握垂径定理的推论；会利用推论进行简单的作图、计算和论证；培养观察、比较、分析、概括问题的能力及动手操作的基本技能.
过程与方法：
在证明垂径定理的推论的活动中，领会分类讨论的数学思想；
情感态度与价值观：
提高数学素养，用数学的眼光看世界.
三、教学重点难点
垂径定理推论的探索及应用.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、新课引入：
同学们，上节课我们学习了圆的重要性质垂径定理．请两名中等生回答定理内容，并说出这个定理的题设和结论．这时教师引导学生观察．若
（1）过圆心；
（2）垂直于弦；则（3）平分弦；（4）平分这条弦所对的弧．结合图形可表示为
∵CD是⊙O的直径
（1）
AB⊥CD
（2）
∴AM=BM（3）
弧AD=弧BD（弧AC=弧BC）（4）
将
（2）和（3）对调，得到一个命题，
∵CD是⊙O的直径
（1）
AM=BM（3）
∴AB⊥CD
（2）
弧AD=弧BD（弧AC=弧BC）（4）
将
（2）和（4），又得到一个命题．
∵CD是⊙O的直径
（1）
弧AD=弧BD（弧AC=弧BC）（4）
∴AM=BM（3）
AB⊥CD
（2）
将
（1）和（3）对调，得到一个命题；
∵AM=BM（3）
AB⊥CD
（2）
∴CD是⊙O的直径
（1）
弧AD=弧BD（弧AC=弧BC）（4）
将
（1）
（2）和（3）（4）同时对调，得到一个命题；
∵AM=BM（3）
弧AD=弧BD（弧AC=弧BC）（4）
∴CD是⊙O的直径
（1）
AB⊥CD
（2）
将
（1）和（4）对调，得到一个命题；
∵弧AD=弧BD（弧AC=弧BC）（4）
AB⊥CD
（2）
∴AM=BM（3）
CD是⊙O的直径
（1）
这些命题是真是假？
就是我们本节要学习的垂径定理的推论．这时教师点题．“27.3
（2）
垂径定理
（二）”．
二、学习新课
1、引导学生结合图形给出证明，并用文字进行表述．
2、总结上述讨论可以概括为：
在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。
[说明]当条件为直线“经过圆心”、“平分弦”时，还要指出这条弦不是直径，才能推出其余两组关系．
3、例题分析
例3如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D，
∠AOB=120°，AD=8．求OA的长．
例4已知弧AB,用直尺和圆规平分这条弧．
三
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