倒立摆实验报告.docx
《倒立摆实验报告.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《倒立摆实验报告.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
倒立摆实验报告
直线二级倒立摆实验报告
目录
第1章倒立摆简介1
1.1倒立摆设备介绍1
第2章直线二级倒立摆的建模及仿真2
2.1直线二级倒立摆的数学模型2
2.2.1拉格朗日方法建模2
2.1.2系统的阶跃响应分析4
第3章相关极点设计的MATLAB仿真6
3.1远距离的闭环极点仿真6
3.2近距离极点的仿真6
第4章不同RQ值的MATLAB仿真7
4.1不同RQ值仿真7
结论10
第1章倒立摆简介
1.1倒立摆设备介绍
倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。
由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为必备的控制理论教学实验设备。
学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。
倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。
由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。
二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点，每年在专业杂志上都会有大量的优秀论文出现。
深圳市元创兴科技有限公司为高等院校的自动控制教学提供了整套基于倒立摆系统的实验解决方案。
包括各种摆的开发生产、实验内容的安排和配置，以及对应的自动控制理论教学内容和相关经典教材的推荐。
元创兴科技开发生产的倒立摆系列包括直线运动型、圆周运动型和复合倒立摆三个大系列，主要特点包括：
开放性：
采用四轴运动控制板卡，机械部分和电气部分非常容易扩展，可以根据用户需要进行配置。
系统软件接口充分开放，用户不仅可以使用配套的实验软件，而且可以根据自己的实际需要扩展软件的功能。
模块化：
系统的机械部分可以选用直线或者旋转平台，根据实际需要配置成一级、二级或者三级倒立摆。
而三级摆可以方便地改装成两级摆，两级摆可以改装成一级摆。
系统实验软件同样是基于模块化的思想设计，用户可以根据需要增加或者修改相应的功能模块。
简易安全：
摆实验系统包括运动控制板卡、电控箱（旋转平台系统中和机械本体联在一起）、机械本体和微型计算机几个部分组成，安装升级方便。
同时在机械、运动控制板卡和实验软件上都采取了积极措施，保证实验时人员的安全可靠和仪器安全。
方便性：
倒立摆系统易于安装、升级，同时软件界面操作简单。
先进性：
采用工业级四轴运动控制板卡作为核心控制系统，先进的交流伺服电机作为驱动，检测元件使用高精度高性能光电码盘。
系统设计符合当今先进的运动控制发展方向。
实验软件多样化：
用于实验的软件包括经典的VC++，以及控制领域使用最多的仿真工具Matlab，提供完备的设备接口和程序接口，方便用户进行实验和开发。
第2章直线二级倒立摆的建模及仿真
2.1直线二级倒立摆的数学模型
系统建模可以分为两种：
机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起
系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用拉格朗日方法建立直线型二级倒立摆系统的数学模型。
2.2.1拉格朗日方法建模
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线二级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2-1所示。
小车质量
摆杆1的质量
摆杆2的质量
质量块的质量
小车摩擦系数
摆杆1转动轴心到杆质心的长度
摆杆2转动轴心到杆质心的长度
加在小车上的力
小车位置
摆杆1与垂直向上方向的夹角
摆杆2与垂直向上方向的夹角
图2-1直线二级倒立摆模型
表2-1元创兴直线二级倒立摆实际系统的物理参数
摆杆1质量
0.124kg
摆杆2质量
0.111kg
摆杆1转动轴心到杆质心的长度
0.15m
摆杆2转动轴心到杆质心的长度
0.25m
摆杆1长度
0.2m
摆杆2长度
0.5m
质量块的质量
0.1kg
重力加速度
9.81m/s*s
利用拉格朗日方程推导运动学方程。
拉格朗日方程为：
其中L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，T为系统的动能，V为系统的势能。
其中i＝1,2,3……n,
为系统在第i个广义坐标上的外力。
在二级倒立摆系统中，系统的广义坐标有三个广义坐标，分别为
。
得到系统状态空间方程如下:
将表2-1中的物理参数代入以上各式求得:
可以得到直线二级倒立摆系统的精确模型:
2.1.2系统的阶跃响应分析
系统的单位阶跃响应如图2-2：
图2-2系统单位阶跃响应
可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆1、摆杆2角度都是发散的，即系统是不稳定的。
（2）系统的能控性判断
图2-3系统能控性判断
系统能控性矩阵ctrb（A,B）的行列式不为零，所以可以进行任意极点配置。
第3章相关极点设计的MATLAB仿真
本报告分别采用了距离虚轴远近的极点来比较其响应曲线的趋势，得出不同距离的极点与过渡时间的关系。
3.1远距离的闭环极点仿真
1.选取距离虚轴较远的期望闭环极点
其中：
响应曲线如下图
图3-1
3.2近距离极点的仿真
2.选取距离虚轴较近的期望闭环极点
其中：
。
响应曲线为
图3-2
第4章不同RQ值的MATLAB仿真
状态方程中的六个状态量
分别代表小车位移、摆杆1角度、摆杆2角度、小车速度、摆杆1角速度、摆杆2角速度。
下面通过Matlab中的lqr函数求解反馈矩阵K并对系统进行仿真。
4.1不同RQ值仿真
1其中选取小车位置权重为1000，摆杆1角度权重为1000，摆杆2角度权重为1000，R＝1。
MATLAB程序如下：
A=[000100;000010;000001;
000000;052.7970-16.1000000;
0-47.5267-43.9288000];
B=[0;0;0;1;3.7407;-0.5970];
C=[100000;010000;001000];
D=[0;0;0];
Q1=[100010001000000];
Q=diag（Q1）;
R=1;
K=lqr（A,B,Q,R）;
Ac=[（A-B*K）];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];
T=0:
0.005:
5;
U=0.2*ones（size（T））;
[Y,X]=lsim（Ac,Bc,Cc,Dc,U,T）;
plot（T,X（:
1）,'.'）;holdon;
plot（T,X（:
2）,'.'）;holdon;
plot（T,X（:
3）,'-'）;holdon;
plot（T,X（:
4）,'-'）;holdon;
plot（T,X（:
5）,'-'）;holdon;
plot（T,X（:
6）,'-'）
legend（'CartPos','CartSpds','Pend1Ang','Pend1Spd','Pend2Ang','Pend2Spd'）
xlabel（'时间（秒）'）
title（'系统阶跃响应'）
grid
相应的响应曲线为
图4-1
2其中选取小车位置权重为1500，摆杆1角度权重为1500，摆杆2角度权重为1200，R＝1。
MATLAB程序如下：
A=[000100;000010;000001;
000000;052.7970-16.1000000;
0-47.5267-43.9288000];
B=[0;0;0;1;3.7407;-0.5970];
C=[100000;010000;001000];
D=[0;0;0];
Q1=[150015001200000];
Q=diag（Q1）;
R=1;
K=lqr（A,B,Q,R）;
Ac=[（A-B*K）];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];
T=0:
0.005:
5;
U=0.2*ones（size（T））;
[Y,X]=lsim（Ac,Bc,Cc,Dc,U,T）;
plot（T,X（:
1）,'.'）;holdon;
plot（T,X（:
2）,'.'）;holdon;
plot（T,X（:
3）,'-'）;holdon;
plot（T,X（:
4）,'-'）;holdon;
plot（T,X（:
5）,'-'）;holdon;
plot（T,X（:
6）,'-'）
legend（'CartPos','CartSpds','Pend1Ang','Pend1Spd','Pend2Ang','Pend2Spd'）
xlabel（'时间（秒）'）
title（'系统阶跃响应'）
grid
相应的响应曲线为
图4-2
。
结论
比较图3-1和图3-2的单位阶跃响应曲线趋势可以看出极点距离虚轴较远且取值合适时，比极点距离虚轴较近时稳定所需要的时间短。
由图4-1和图4-2可知，若Q对应于角度的元素增加，使得角度变化速度减小，而位移的响应速度减慢；若Q对应于位移的元素增加，使得位移的跟踪速度变快，而角度的变化幅度增大。
升级会员 