当a＝5时，代入a2－10a＋21，得52－10×5＋21＝－4≠0，故a＝5不是方程的根．
同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．（第二步）
∴三角形的周长是3＋7＋7＝17（cm）．
上述过程中，第一步是根据________________________________________________________________________
________________________________________________________________________，
第二步应用了________思想，确定a的值的大小是根据______________．
一元二次方程与直角三角形
3．已知a，b，c是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c（x2＋m）＋b（x2－m）－2ax＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
4．已知△ABC的三边长a，b，c中，a＝b－1，c＝b＋1，又已知关于x的方程4x2－20x＋b＋12＝0的根恰为b的值，求△ABC的面积．
一元二次方程与等腰三角形
5．等腰三角形一条边的长为3，它的另两条边的长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k的值是（ ）
A．27B．36C．27或36D．18
6．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a－c）＝0，其中a，b，c为△ABC的三边的长．
（1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
专训五：
可化为一元二次方程的分式方程的应用
名师点金：
可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根．
营销问题
1．某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：
第二次采购玩具多少件？
（说明：
根据销售常识，批发价应该低于销售价）
2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.5元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了（不考虑其他因素）？
若赔钱，赔多少？
若赚钱，赚多少？
行程问题
3．从甲站到乙站有150km，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，匀速行驶，1h后快车在慢车前12km，结果快车比慢车早25min到达乙站，快车和慢车每小时各行多少千米？
工程问题
4．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天．
（2）若甲工程队单独施工a天后，再由甲、乙两工程队合作________天（用含a的代数式表示）可完成此项工程．
（3）如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
答案
专训一
1．D 点拨：
由题意，得解得m≥－2且m≠3.
2．解：
（1）当时，它是一元二次方程，解得m＝1.
即当m＝1时，原方程可化为2x2－x－1＝0.
（2）当或者当m＋1＋（m－2）≠0且m2＋1＝1时，它是一元一次方程．
解得m＝－1或m＝0.
故当m＝－1或m＝0时，它是一元一次方程．
3．－2 点拨：
由题意得解得a＝－2.
4．解：
由题意，得解得m＝－1.
5．A 点拨：
∵关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a（a≠0），∴a2－ab＋a＝0.∴a（a－b＋1）＝0.
∵a≠0，∴a－b＝－1.
6．解：
把x＝0代入（k＋4）x2＋3x＋k2－16＝0，得k2－16＝0，解得k＝±4.
∵k＋4≠0，∴k≠－4.∴k＝4.
7．解：
∵实数a是一元二次方程x2－2016x＋1＝0的一个根，
∴a2－2016a＋1＝0.
∴a2＋1＝2016a，a2－2016a＝－1.
∴a2－2015a－＝a2－2015a－＝a2－2015a－a＝a2－2016a＝－1.
8．解：
存在．由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，∴m2－2m＝1，n2－2n＝1.
∴（7m2－14m＋a）（3n2－6n－7）＝[7（m2－2m）＋a][3（n2－2n）－7]＝（7＋a）（3－7）＝－4（7＋a），由－4（a＋7）＝8得a＝－9，故存在实数a，且a的值等于－9.
专训二
1．C 2.C 3.C
4．解：
x2＋4x－2＝0，
x2＋4x＝2，
（x＋2）2＝6，
x＋2＝±，
x1＝－2＋，x2＝－2－.
5．解：
x2－10x＋y2－16y＋89＝0，
（x2－10x＋25）＋（y2－16y＋64）＝0，
（x－5）2＋（y－8）2＝0，
∴x＝5，y＝8，∴＝.
6．D
7．解：
（1）x2－2x＝0，x（x－2）＝0，
x1＝0，x2＝2.
（2）16x2－9＝0，（4x＋3）（4x－3）＝0，x1＝－，x2＝.
（3）4x2＝4x－1，4x2－4x＋1＝0，
（2x－1）2＝0，x1＝x2＝.
8．B
9．解：
（1）3（x2＋1）－7x＝0，3x2－7x＋3＝0，
∴b2－4ac＝（－7）2－4×3×3＝13.
∴x＝＝.
∴x1＝，x2＝.
（2）4x2－3x－5＝x－2，
4x2－4x－3＝0，
∴b2－4ac＝（－4）2－4×4×（－3）＝64.∴x＝.
∴x1＝，x2＝－.
10．C 11.C 12.B
13．解：
（1）3y2－3y－6＝0，y2－y－2＝0，y2－y＋－＝0，＝，y－＝±，
∴y1＝2，y2＝－1.
（2）2x2－3x＋1＝0，∴b2－4ac＝（－3）2－4×2×1＝1.∴x＝.
∴x1＝1，x2＝.
14．解：
将原方程两边同乘6，得（6x）2＋19×（6x）＋60＝0.解得6x＝－15或6x＝－4.∴x1＝－，x2＝－.
15．解：
因为m－n＝8，所以m＝n＋8.
将m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0中，得n（n＋8）＋p2＋16＝0，所以n2＋8n＋16＋p2＝0，即（n＋4）2＋p2＝0.
又因为（n＋4）2≥0，p2≥0，
所以解得
所以m＝n＋8＝4，
所以m＋n＋p＝4＋（－4）＋0＝0.
16．B
17．解：
原方程即[（x－1）（x－4）][（x－2）（x－3）]＝48，
即（x2－5x＋4）（x2－5x＋6）＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为（y－1）（y＋1）＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
当x2－5x＋5＝7时，
解得x1＝，x2＝；
当x2－5x＋5＝－7时，Δ＝（－5）2－4×1×12＝－23<0，无实数根．
∴原方程的根为x1＝，x2＝.
18．解：
经验证，x＝0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得6x2－35x＋62－＋＝0，
即6－35＋62＝0.
设y＝x＋，则x2＋＝y2－2，
原方程可变为6（y2－2）－35y＋62＝0.
解得y1＝，y2＝.
当x＋＝时，解得x＝2或x＝；
当x＋＝时，解得x＝3或x＝.
经检验，均符合题意．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝，x3＝3，x4＝.
19．解：
设＝y，则原方程化为y－＝2，整理，得y2－2y－3＝0，∴y1＝3，y2＝－1.当y＝3时，＝3，∴x＝－1.当y＝－1时，＝－1，∴x＝1.经检验，x＝±1都是原方程的根，∴原方程的根为x1＝1，x2＝－1.
20．解：
方程组的解一定是原方程的解，解得x＝4029.
方程组的解也一定是原方程的解，解得x＝－2.
∵原方程最多有两个实数解，
∴原方程的解为x1＝4029，x2＝－2.
点拨：
解本题也可采用换元法．设x－2014＝t，则x－2013＝t＋1，原方程可化为t（t＋1）＝2015×2016，先求出t，进而求出x.
专训三
1．C 点拨：
当k＝0时，方程为一元一次方程，解为x＝1；当k≠0时，因为Δ＝（1－k）2－4k·（－1）＝k2＋2k＋1＝（k＋1）2≥0，所以当k＝1时，Δ＝4，方程有两个不相等的实数解；
当k＝－1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数解；
当k≠0时，Δ≥0，方程总有两个实数解．故选C.
2．解：
∵x2－2x－m＝0没有实数根，
∴Δ1＝（－2）2－4·（－m）＝4＋4m<0，
即m<－1.
∴对于方程x2＋2mx＋m（m＋1）＝0，
Δ2＝（2m）2－4·m（m＋1）＝－4m>4.
∴方程x2＋2mx＋m（m＋1）＝0有两个不相等的实数根．
3．
（1）证明：
Δ＝[－（m＋2）]2－8m＝m2－4m＋4＝（m－2）2.
∵不论m为何值，（m－2）2≥0，即Δ≥0.
∴不论m为何值，方程总有实数根．
（2）解：
解关于x的一元二次方程mx2－（m＋2）x＋2＝0，
得x＝＝.
∴x1＝，x2＝1.
∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数．∴m＝1或m＝2.
∵两根不相等，∴m≠2.∴m＝1.
4．解：
∵关于x的方程x2＋（2m－1）x＋4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2m－1）2－4×1×4＝0.
∴2m－1＝±4.
∴m＝或m＝－.
当m＝时，＝＝，
当m＝－时，＝＝－.
5．解：
∵关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4（a＋c）·＝b2－（a2－c2）＝0，
即b2＋c2＝a2.
∴此三角形是直角三角形．
专训四
1．C
2．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 分类讨论 方程根的定义
3．解：
△ABC是直角三角形．理由如下：
原方程可化为（b＋c）x2－2ax＋cm－bm＝0，Δ＝4ma2－4m（c－b）（c＋b）＝4m（a2＋b2－c2）．∵m>0，且原方程有两个相等的实数根，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．
4．解：
将x＝b代入原方程，整理得4b2－19b＋12＝0，解之得b1＝4，b2＝.当b＝4时，a＝3，c＝5，∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°.∴S△ABC＝ab＝×3×4＝6；当b＝时，a＝－1<0，不合题意舍去．因此△ABC的面积为6.
5．B
6．解：
（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
把x＝－1代入原方程，得a＋c－2b＋a－c＝0，所以a＝b.故△ABC是等腰三角形．
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
方程有两个相等的实数根，则（2b）2－4（a＋c）（a－c）＝0，所以b2－a2＋c2＝0，所以a2＝b2＋c2.故△ABC是直角三角形．
（3）如果△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，所以方程可化为2ax2＋2ax＝0.所以2ax（x＋1）＝0.所以方程的解为x1＝0，x2＝－1.
专训五
1．解：
方法一：
设第二次采购玩具x件，则第一次采购玩具（x－10）件，由题意得＋0.5＝.
整理得x2－110x＋3000＝0，
解得x1＝50，x2＝60，
经检验x1＝50，x2＝60都是原方程的解．
当x＝50时，第二次采购每件玩具的批发价为150÷50＝3（元），高于玩具的售价，不合题意，舍去；
当x＝60时，第二次采购每件玩具的批发价为150÷60＝2.5（元），低于玩具的售价，符合题意．
因此第二次采购玩具60件．
方法二：
设第一次采购玩具x件，则第二次采购玩具（x＋10）件，由题意得＋0.5＝，
整理得x2－90x＋2000＝0，
解得x1＝40，x2＝50，
经检验，x1＝40，x2＝50都是原方程的解，
第一次采购40件时，第二次采购40＋10＝50（件），所以第二次采购每件玩具的批发价为150÷50＝3（元），不合题意，舍去；
第一次采购50件时，第二次采购50＋10＝60（件），所以第二次采购每件玩具的批发价为150÷60＝2.5（元），符合题意．
因此第二次采购玩具60件．
2．解：
设小明的爸爸购乙种水果x千克，则购甲种水果（x－10）千克，所以甲种水果的批发价为每千克元，乙种水果的批发价为每千克元．根据题意得－＝0.5.
方程两边同乘x（x－10），
整理得x2－110x＋3000＝0，
解之得x1＝50，x2＝60.
经检验，x1＝50，x2＝60都是方程的根．
当x＝50时，乙种水果的批发价为每千克＝3（元），高于水果零售价，不合题意，舍去；
当x＝60时，乙种水果的批发价为每千克＝2.5（元），符合题意；甲种水果的批发价为每千克＝2（元），也符合题意．
因此，小明的爸爸购进乙种水果60千克，购进甲种水果60－10＝50（千克），小明的爸爸这一天卖水果盈利：
（50××2.8＋50××2.8×＋60×2.8）－（100＋150）＝44（元）．∴小明的爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了44元．
3．解：
设慢车每小时行xkm，则快车每小时行（x＋12）km，由题意得－＝.
解得x1＝－72（不合题意，舍去），x2＝60.
于是x＋12＝72.
∴快、慢车每小时分别行72km、60km.
4．解：
（1）设乙工程队单独施工x天可完成此项工程，则甲工程队单独施工（x＋30）天可完成此项工程，由题意得
20＝1，
整理，得x2－10x－600＝0，
解得x1＝30，x2＝－20，
经检验x1＝30，x2＝－20都是分式方程的解，但x2＝－20不符合题意，应舍去，故x＝30，x＋30＝60.
故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天．
（2）
（3）由
（2）和题意，得1×a＋（1＋2.5）·≤64.解得a≥36.
故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元．
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