第四章向量组的线性相关t.docx
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第四章向量组的线性相关t
第四章向量组的线性相关t
第—节向量组及其线性组合
定义:
n个有次序的数a,aya_所组成的数组称为u维问量
记作α=（ay,az….,a_）.第i个数a,称为向量o的第i个分量。
分量全为实数的向量勒实问量，分量为豆翻闵量称为复向品
列向量用a,b,a,β表示，行向量用a,b,o,表示。
-髅所说向量，不加说明时，指列向量.
维向量全体组成的集1
R”—{（*1,2..,'lN,2-....NER}
叫做n维向量空间。
向量组:
由若干个同维数的列题或行向量所组成的集至
定义给定向量组A:
口g。
对于任何一组实薮
k,k.k，表达式
4+k,og+...kw
称为问量组A的一个线性组合，k,k,.k_称为这个线性组合
的系数-
例:
-1—1求线性组合2a—a-
解:
2c一a---（-3-8
例:
向量组α=（1,2,1）,求向量组的全体线性组合组成
的集合L（a）
kα
解:
L（α）={kα|k∈R}
一{（k,2k,k）'|keR}
例:
=（1,0,0）T，=（0,1,0）'的全部线性组合组成的
集合L。
和为由向量x,a,生成的问量空配作（,az）
解:
L={ka+k,alk,k∈R}
y
{（,k,o|k,kER}po
L（,z）=xoy平面
定义:
给定向量组:
&,&...和向勖，如果存在一
组数3,元2.,使b=入+入αy+...+Amm
称向最能由向量县线性表示
ox）
例:
动-oeileo则a-工。
可以由,,e,e线性表示
8o8a-可以t
5）....o_
a-中于1+o=xe+x,e,+xge
lolo
任何一o维向量都可以由,ez,e线性表示.
如何判断向最可以由向量组A线性表示?
u定理:
向量b可以由4:
线性表示的充要条件是
方程组Ax-b有解其中A的列向量组由4....o,构成。
注:
所得解N...x,，就是线性表示的系数见P83
例、设a-1.a-2a--.b-o
证明向量b能由向量组,,α线性表示,求表达式。
解:
设b戈+.x,+.x3as
mi..
即（a,以,-b即4x=b是否有解.
有解则可以,,线性表示，无解则不警示↓
cAb—,,s,D-:
oooio,
R（A1）=R（A,b）=2<3-n
有无穷多1
b可以由,g,ag线性表示
.x+3.x,-2
解同解方程组
l1—2.x,—-1
令x,=c，则v1=2-3c,x2=2c—1,
-2-3c,x,=2c-1,x,=c,（c为任意实数）
将解代入=.141+.x;Cg+.g2g,得
b=（2-3c）21+（2c-1）o,+co3
由c的任意性可知，表达环惟一!
u
[无标题]
例:
向量组的部分组氓由整个向量组线性耘。
证:
设整个向量组为:
A:
…..o,A的一个部分组为
B:
.o
则:
4-1-44+Q-+..+Q-a,,
-0-1+l-o+...+0-os，
-0-+0-+...+1-+...+O-2s，
所以B可以由A线性表示反之不然
例:
三维空间的坐标并位向量,e,e与e,ez.
eq不能由e,e,线性表示
如何判断向量邹能由向量皿4线性表示t
如果不求表达式，有南判断方法
向量揶能由问量绷线性表示s矩阵方秘x-B有解
-x
1-
（月....）一（…..）
lx2-x'
注意矩阵的写法
x
=11+xz+..+xmaCu—（a...r
判断方法二
向量组B能由向量雏线性表示令R（4）=R（4,B）
aa-M--
证明向量组b,bz,b,可以由向量组a,a,线性表示。
:
33）r331:
.3313）
（A.B）-H0183i331o。
。
oo
R
（1）=R（A,B）=2b,bz,b可以由a,,a,线性表示。
定义:
若向量组与向量韩能互相线性表示，i
两向量组等价。
例设a,ax,b,b,b,同上，证明向量组,,a与问量i,b,,b,等价-
证:
（A,B）r3i-（4,B）
ml881888
所以R（B）=2
oo故R（B）=R（4,B）=R
（1）=2
A向量组也可以由B向量组线性表示，两向量组等节
B向量组可以由A向量组线性表示，
u
判断两向量组等价的法
向量组A与问量组B等价的充要条件是
R（41）=R（A,B）=R（B）
immiiiimn
向量组A与向量组B等价的充要条件是
矩阵方程AX=B及BY=A都有解
推论:
若存在可逆矩阵P，使得AP―B成立，
则向量组A与向量组B等价。
例:
设β—2，B—+2αg，B-+3αgr
则向量组,o,,og与向量组B,B,βy等价。
证明:
显然B,B,B可以,,az线性表示
反解，得=区=（5一月）/2
-5-'B+6
所以，,,az可以由.,β,β线性表示，
向量组α,z,g与向量组β,β,β等价。
其它两种方法
u
解2-。
B—+2a，马-+3a.
1o
（β，区，B，）=（4,2g,ag）021
loo3
记作B=AK即矩阵方程X-B有解
又K|-6≠0，K可逆所以，4=BK-
向量组可以由向量组线性表示
所以，两向量组等价。
（oo
定义s-o--..--叫做n维单位坐标向量.
例3证明:
n维单位坐标向量组,er…-2。
能由向量邹
线性表示的充分必要擢是R（A）=n.
证:
根据定理，向量失,e2,eg能由向量雏线性表示
的充分必要条件匙
（1）=R（4,E）.
而R（A,E）≥R（E）=n,且（A,E）只含n行，R（4,E）≤n,
所以出R（4,E）—n,因此条件R（4,E）=R（A1）即R
（1）—n
定理3设向量佣:
β,B……β能由向量斜:
ag-.ow
线性表示，球（区.B...B）≤R（,.…w）-
证明:
记A=（,2…,m）,B一（嘈,B.....β），
因为向量组B:
B,B..B能由向量组A:
2,,.线性表示
故R（A1）=R（4,B）
而R（B）≤R（A,B），
所以，R（B）≤R（4,B）=R（A1）
即R（D,D2.b）≤R（1，（1.a1m）
练习:
求齐次方程组土22N3x二o的通解.
l—.x+3.x-o
解:
令x=C=c有-—2c,+c,
x,-c.-3c,
所以:
通解为
x,=G
x=Cx
x-2
（1）ail（1.1
+43=c1a+cz，其中aio
H（oi
叫作基础解系
解向量是基础解系的线性组合
+2.x3—.4-0
解2:
i-.N3+3-o
令x-G,8-cz,则x3-x,+3x,=G+3c,,
——2x,+x-—2c1-6c,+c,=—2c,-5c,
-
通解为-c1+c，c,+c，5
x
xlo1
β,β也是同一个方程组的基础解系
两个基础解系α,2与区,B是等价向量组.
总结
l、向颡可以由向量...a线性表示就是指方程绖
Av-b有解。
A=（,...o）
注:
所得解,xm就是线性表示的系数。
向量邹能由向量组4线性表示s矩阵方程X-B有解
向量能由向量邹线性表示R（4）=R（A,B）
向量组A与向量组B等价
矩阵方程AX=B及BY=A都有解
R（4）=R（A,B）=R（B）
内容回顾
向量组B能由向量机线性表示<→>R（4）=R（4,B）
向量组A与向量组B等价
R（A1）-R（A,B）=R（B）
4X二B及BY=A有解
向量组等价的意义若α,α,与B,β等价
则L（a4,）=Lβ,B）
a.
B
第二节向量组的线性相关1
定义4给定向量组A:
o.-...o,如果存在
不全为零的数,k....k,使
至少一个不是0
k+K+...+kmom=0,
则称向量组A是线性相关的，否则，
称它线性无关。
若k+ku,+...+lk..a一0则k,k，ko.只能全是o.
例:
讨论o-a-（a-的线性相关性。
解:
因x3）-3-
即α-3α——4
1-44-3-ag+1-2=o
所以，,,α线性相关，
只要找到一组数（至少一个不是0）,使线性表达式-0,
则向量组线性相关.
例:
证明-（-（是线性无关的。
证:
若有kk,,使得k+k,2=o,即
0）+1）-%）
Or—-M-o
所以α,α线性无关
有无其它判别线性相关性的方法?
向量组α,a,αg线性相关、无关取决于向量方程
x+.x,+.x,=0是否有和解。
如果有非0解则线性相关,若只有0解,则线性无关。
方程的另一个写法4,,a-o记作4x=o
定理:
向量组A:
a…,ag线性相关的充分必要
条件是-0有非O解。
即有无穷多解。
定理:
向量组:
a,a.,a,线性无关的充分必3
条件是4x=0只.解（唯一解。
例。
证明a-0--G线性无关的
证:
考虑方程4x=o
一（.a）-o3）
因为4=1≠0，4可逆
Ax—0的两边左乘，x=0（向量）
方程组4x=0只郁解。
α,线性无关。
Ax=0有l0解、R（A1）Ax-0只郁解R（A1）=n
判断向量组线性相关线性无关的方法三
定理:
向量组A:
a,2,.,a线性相关的充分必要
条件是R（a1,az--a,）定理:
向量组A:
a1,2,--a线性无关的充分必要
条件是R（a,a2---.an）-n（秩=列向量的个数
方法三
远5已知ai--]
试讨论向量组,&,a以及向量组o,α,的线性相关性。
解:
对,,g作初等行变换
=204+a
.a;r-D
R（a,以z,s）=2<3所以α,Qg,a线性相关。
R（aux）=2=向量个数
所以α,α,线性无关U
例已知向量组a,α,α线性无关，B-+a，
=α+as,B$-α+α,试证向量组B,B,B线性无关-
证、反证法:
若区,区,B,线性相关，则有k,,k,k，
至少k,k,k,之一不是影0，满足kβ+k,β+kB3-0
即k,（+α）+k（+z）+k（+）=0
即（k+k）+（k+k）α+（k+kx）2s=0
因为向量组α4,2g,αz线性无关，所以
+k-只有一个解:
-O,k,-0,k3-0.
k+k-0,
与假设矛盾
+k3-o,
所以，向量组B.B,B线性无关-
例已知向量组,a,a线性无关，月-+x，
-+as,马-α+α,试证向量绡,β,β线性无关.
证法二、
o1
（,B，）-（4,2,a,11o，记作B-AK，
o11
因A|-2≠0，所以，K可逆，
R（B）=R
（1）
因为&,z,α线性无关，R
（1）=向量个数=3
所以R（B）=R（4）=3=B的向量个数
g,B,B线性无关。
U
例已知向量业,g,a线性无关，B=+a，
-+α,马-a+α,试证向量3,β,β线性无关.
证法三、
o1）
（区,区,5—（,a,,a）11o记作B=AK，
o11
若Bx=o,AKx=o,
因为α,2,,α线性无关Ay=0只郇0解
Kx=0，因和|-2≠0，所以，K可逆，
x=0，Bx=0只郁解
g,B,B线性无关，
u常用的结论
线性相关一般指k≥2个向量
（1一个向o，若α=0,则线性相关。
都≠0,则线性无关.
（2两个问量ar,线性相关的充要条件厨应分量成比例:
Ro
即:
两向量共线
3个向量线性相关则3向量共面。
3含有零问量的问量组一定线性相关-
1-o+0o，+...+0α=o
向量组4:
a,a5-..a.（≥2）线性相关，则A中至少有
一个向量能用其余n-1个向量线性表示。
证:
.am（m1≥2）线性相关，则有不全为0的数k,k
...km,使+k,+...+Kmam=o
由于kk..,.m不全为o。
不妨设k≠0,则
4-H（4....k..am）
若α可以由...α.,.线性表示，
则α...m,o线性相关。
（④一个向量组的部分组S相关，则全组必线性相关-
设a...m中的部分组z..zz（l有,k...,k,,至少—个不为o，使得
k....+k,=0
所以k+...+kα,+0&+...+Oαm-0
全组线性相关
逆否命题
全组线性无关，部分Y线性无关
U
m个n维向量组成的向量组当向量个痴大于维数t时
—定线性相关。
特别地n+1个n维向量一定线性相关
R（o…..m.）≤n（行数）lami
设向量强:
4-c..线性无关，而向量:
a-,2,b
线性相关，则向能由向量组线性表示，且表示
是唯一的。
m=R（….ow）R（-...w,b）R（4-…,g,b）=R（--R（-...2w,b）—小结
向量组A:
a,a.--.构成的矩阵记作A=（a,a.-.4）
三个办法
a.,α,线性相关,2g,&,线性无关
（1有不全为的数k..k,使得①k,+k+...+k,-0
则k-k-...一k-0
1+kαo+...+k-o
（2）R（,2g….·%）-n
（2）R（,&...2）秩=列向量的个数
秩<列向量的个数
（3）4x=0Q肓零解
（3）4x=0有非零解
内容回顾
向量组A:
x,ay….4构成的矩阵记作A—（a,ay..4）
三个办法
ai,a2.,a,线性相关
la1.a2…,a线性无关
l）有不全为的数k..k,,使得）若ka+k,ax+...+k,a。
-0
ka+ka+...+k,an=0
则k一k,-..—k。
—0
（2）R（a,a,）（2）R（a,a.,a）—n
秩=列向量的个数
秩<列向量的个数
（3）4x=OQ肓零解
（3）4x=0有非零解
u第三节向量组的秩
定义5设有向量组A,如果在A中能选出r个向量α,.z,满足
（1向量组4∶z,a,a,线性无关;无关
（2向量组4的任意+l个向量都线性相关最大
则称向量组A是向量组A的一个最大线性无关向量组
简称最大无关组
r称为向量组A的秩记作R
只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.
（）向量组4:
1,a--..,a,线性无关;无关
（2问量组A的任意r+1个向量都线性相关。
最大
例:
Aio]-AA
a,α线性无关，,a,a线性相关
o,是A的最大无关组
a,α也是A的最大无关纤
最大无关组不唯.
u例8全体n维向量构成的向量组记作R",求R"的
一个最大无关组及R"的秩。
解:
考虑n维单位坐标向量构成量组
E:
e1，e2.,en
则e,e..线性无关
根据定晋，任意n+1个n维向量都线性相关
所以eege,是R"的最大无关组
R"的秩是n.
R"的维数是n.
定理6矩阵的秩等于它的列量组的秩，也等于它的向量组的秩
证:
设A-（,a..a）R（4）-r,并设r阶子式D≠0,
设D，在A的第.i,列，则R（a…,a）二r有r阶0子式
又R（as,a;）≤r（列数）
故R（as,...a,）=r所以as,....,线性无关
记ag,-,ak为A的任意r+1个列向量，
R（ag，ag）≤R（a,aya._.）=rA中任意r+1个列问量都线性相关。
---ai构成A的列向量组的一个最大无关组。
矩阵的秩=列秩类似可以证明:
矩阵骸-行秩
以后，向量组（ag,a…，a_.）的秩也记作R（a,a,.）-
A是具体的列向量组，求的最大无关组
需要解决的问题
1、A的最大无关组由几个向量组成
最大无关组向量个数RAR
（1）求A的秩即可.
2、如何保证找到的是最无关组:
（1）无关性R（4）=R（,a-&）=s秩=向量个数
2个数最大s=R
（1）
例:
求向量=（1,-1,5,1）,z-（112,3）,
-（3,-1,8,1）1,44-（1,3,-9,7）的一个最大无关，
并将其余向量用最大朕组线性表示找谁?
解:
1、把A货行最简o2-1
i31ri
Z-11-3oa12
s-o0=B
ooooj
R（A）=2
b，bb,b.
所以只需在A中找2个线性无关的列向量
因为R（,）-2，所以，α,α,线性无关
又{,&响量个数2一R
（1），达到最大个数
所以&,u,是A的列向量组的最大无关组·_
（1,,a）:
l）
oooo
s-R-1HsH=26,+1bs=2a+10
888
b，——1b+2b,4——1a+2a
理由:
Ax=0与Bx=0是同解方程组对B的列向量
组成立的线性关系对A的列向量组也成立
[无标题]
练习:
最大无关组的等价定义
推论设向量组。
:
a,4…a,是向量组的一个部分组
且满足
（l）向量组A线性无关;
（2）向量组A的任何—个向量都能由向量组A线性表示;
那么向量组A,便是向量组A的一个最大无关组。
例:
向量纰-（1,21）,求向量组的全体线性惭组成
的向量组（α）的秩。
ka
解:
L（{ka|keR
α≠0，线性无关任何βeL（，有β-ko
α是L）的最大无关组，向量组L（α）的秩是1
—U
x,+2x,+x,—2.x-0,
o设次线性方程乡i一25x,+7龙二o
的全体解向量构成的问量组为S，求S的秩。
解:
先解方程，为此把系菱阵A化为行最简形
-3-2（112H（o-34
-3o1～o--→3°3
-1-57lo-3-69y.<-）（oooo
得j-3x,—4x,,
山基知量v,-c---gJr
=3c-4c,2=—2c+3cz
u）
则通解为~-c,B,+c,B,-
解向量全体为:
S-{C1+c,1c1c,eR},
显然，B,β的四个分量不成比例线性无关
又S中任意一个向量能由强组β,β线性表示，所以
区,B是S的最大线性无关组。
所以，Rs=2.解集合的秩-n―R4-2
这个最大无关组称为齐次方程（9）的基础解系。
=自由未知数个数
最大无关组的3个等价定义
A:
a--,a,线性无关，是A的部分组
如果满足以下三个条件之一，则Ag为A的最大无关组。
1A中任何r+1个向量都线性相关
（2）A中任何一个向量可以逊线性表示
（3）R（A）=R（Ao）
第3条最易于实际应用
作业
P10811
（2）12
（2）15
选做题P10817、18.
例:
粒=（1,0,0）T，a=（0,1,0）'的全部线性组合组成的
集缸。
称为由向量ix,z生成的向量空配作L（4,az）
求L（α,α）的秩。
解:
L（,α）={+ko|k1,keRa.y
（oit
显然，4-0a-1线性无关，
lolo
又L（α,a中任何一个向量都可以由α,α线性表示，
所以，,2是L（,α）的最大无关组
L（,α）的秩是2。
u推论:
设A是A的部分组，Ag:
41….a,线性无关，
且R（Ao）一R（A）,则A,是A的最大无关组.
证明:
只需讧A中任何一个向量,,可以邮4。
组线性表示
断言:
a1a,,a;—定线性相;
因为，若不然….ar,a;线性无关
A有r+1个线性无关的向量
R（A）-R（1..ay,...）二R（1-a,,a;）=r+1
'R（A）-R（Ao）-r矛盾
所以，aa,,a,线性相关又a....a,线性无关
则a,可以由a,a.,线性表示
求数字问量组的最大无关组的方法
设R（A）=r,若R（）=r,
则口..,就是A的列向量组的最大无关组。
引理:
如果—（,&….·w.）以（a,&..m）则
（,a;9-...x）（,&.&R）
R（a,o5…a）HR（a,,og.,）
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