专题01 集合的概念与运算解析版.docx

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专题01集合的概念与运算解析版

专题01集合的概念与运算

【高频考点解读】

1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．

2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．

5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

7.能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.

8.集合部分主要以考查集合的含义、基本关系与基本运算为主，题目简单、易做，大多都是送分题．

9.近几年部分省市也力求创新，创造新情境，尽可能做到灵活多样，甚至进行一些小综合，比如新定义题目，与方程、不等式、函数、数列等内容相联系的题目出现．

10.题型以选择题为主，大多都是试卷的第1题.

【热点题型】

题型一考查集合的基本概念

例1、已知集合A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（　　）

A．0或

　　　　　　　　B．0或3

C．1或

D．1或3

【提分秘籍】

（1）研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.

集合

{x|f（x）＝0}

{x|f（x）>0}

{x|y＝f（x）}

{y|y＝f（x）}

{（x，y）|y＝f（x）}

集合的

意义

方程f（x）＝0的解集

不等式f（x）>0

的解集

函数y＝f（x）

的定义域

函数y＝f（x）

的值域

函数y＝f（x）

图象上的点集

（2）对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．

【举一反三】

已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）

A．3B．6

C．8D．10

【热点题型】

题型二集合与集合的基本关系

例2、已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则（　　）

A．A

BB．B

A

C．A＝BD．A∩B＝∅

【解析】A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，

B＝{x|－1＜x＜1}，所以B

A.

【答案】B　

【提分秘籍】

（1）判断两集合的关系常有两种方法：

一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．

（2）若两个集合相等，首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况等，然后列方程组求解，要注意挖掘题目中的隐含条件．

（3）易错警示：

①利用数形结合思想处理集合与集合之间的关系时，要注意数轴端点是实心还是空心．

②题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．

【举一反三】

已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则实数m的取值范围________．

【解析】　

由A＝{x|x2－3x－10≤0}，

得A＝{x|－2≤x≤5}，

∵B⊆A，

∴①若B＝∅，

则m＋1＞2m－1，

即m＜2，此时满足B⊆A.

②若B≠∅，如图，

则

解得2≤m≤3.

由①②得，m的取值范围是（－∞，3]．

【答案】（－∞，3]

【热点题型】

题型三集合的基本运算

例3、设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，

B＝{x|x2＋a<0}．

（1）当a＝－4时，求A∩B和A∪B；

（2）若（∁RA）∩B＝B，求实数a的取值范围．

【提分秘籍】

（1）在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩（Venn）图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩（Venn）图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．

（2）已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对集合进行讨论．

【举一反三】

已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N＝（　　）

A．MB．N

C．ID．∅

解析：

∵N∩∁IM＝∅，∴N⊆M，∴M∪N＝M.

答案：

A

【热点题型】

题型四以集合为背景的新定义题

例4、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4给出如下四个结论：

①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．1　　　　　B．2

C．3D．4

【提分秘籍】

1.对“类”的正确理解

（1）由“类”的定义知，[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4，即Z中的所有元素共分为[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，5类．

（2）“a，b属于同‘类’”⇒a＝5n1＋k，b＝5n2＋k⇒a－b＝5（n1－n2）；反之，a－b∈[0]⇒a－b被5除余数为0⇒a，b被5除余数相等．

2.解题方法

（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；本题根据所给的“类”的概念，对逐个选项进行判断，从中找出正确的结论．

（2）用好集合的性质．集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

【举一反三】

已知集合M，若a∈M，则

∈M，则称a为集合M的“亮点”，若M＝{x∈Z|

≥1}，则集合M中的“亮点”共有（　　）

A．2个B．3个

C．1个D．0个

【高考风向标】

1．（2014·北京卷）已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（　　）

A．{0}B．{0，1}

C．{0，2}D．{0，1，2}

【答案】C　

【解析】∵A＝{0，2}，∴A∩B＝{0，2}∩{0，1，2}＝{0，2}．

2.（2014·福建卷）若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：

①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是________．

若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；

若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；

综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.

3．（2014·广东卷）已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2，}，则M∪N＝（　　）

A．{0，1}B．{－1，0，2}

C．{－1，0，1，2}D．{－1，0，1}

【答案】C　

【解析】本题考查集合的运算．因为M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{－1，0，1，2}．

4．（2014·湖北卷）U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．（2014·辽宁卷）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝（　　）

A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1}D．{x|0

【答案】D　

【解析】由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U（A∪B）＝{x|0＜x＜1}．

6．（2014·全国卷）设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝（　　）

A．（0，4]B．[0，4）

C．[－1，0）D．（－1，0]

【答案】B　

【解析】因为M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1

7．（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝（　　）

A．[－2，－1]B．[－1，2）

B．[－1，1]D．[1，2）

【答案】A　

【解析】集合A＝（－∞，－1]∪[3，＋∞），所以A∩B＝[－2，－1]．

8．（2014·新课标全国卷Ⅱ]设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝（　　）

A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}

【答案】D　

【解析】集合N＝[1，2]，故M∩N＝{1，2}．

9．（2014·山东卷）设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝（　　）

A．[0，2]B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）

【答案】C　

【解析】根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选C.

10．（2014·陕西卷）设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝（　　）

A．[0，1]B．[0，1）C．（0，1]D．（0，1）

11．（2014·四川卷）已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（　　）

A．{－1，0，1，2}B．{－2，－1，0，1}

C．{0，1}D．{－1，0}

12．（2014·天津卷）已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，

集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．

（1）当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.

（2）设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：

若an

＝

－qn－1

＝－1<0，

所以s

13．（2014·浙江卷）设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝（　　）

A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}

【答案】B　

【解析】∁UA＝{x∈N|2≤x<

}＝{2}，故选B.

14．（2014·重庆卷）设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B＝________．

15．（2013·重庆卷）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U（A∪B）＝（　　）

A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}

【答案】D　

【解析】因为A∪B＝{1，2，3}，所以∁U（A∪B）＝{4}，故选D.

16．（2013·北京卷）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝（　　）

A．{0}B．{－1，0}C．{0，1}D．{－1，0，1}

【答案】B　

【解析】∵－1∈B，0∈B，1B，∴A∩B＝{－1，0}，故选B.

17．（2013·广东卷）设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝（　　）

A．{0}B．{0，2}

C．{－2，0}D．{－2，0，2}

【答案】D　

【解析】∵M＝{－2，0}，N＝{0，2}，∴M∪N＝{－2，0，2}，故选D.

18．（2013·湖北卷）已知全集为R，集合A＝

，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}

C．{x|0≤x<2或x>4}D．{x|0

【答案】C　

【解析】A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，∁RB＝{x|x<2或x>4}，可得答案为C.

19．（2013·湖南卷）设函数f（x）＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.

（1）记集合M＝{（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为________；

（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号）

①x∈（－∞，1），f（x）>0；

②x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；

③若△ABC为钝角三角形，则x∈（1，2），使f（x）＝0.

20．（2013·江苏卷）集合{－1，0，1}共有________个子集．

【答案】8　

【解析】集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8.

21．（2013·江西卷）已知集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z＝（　　）

A．－2iB．2i

C．－4iD．4i

【答案】C　

【解析】zi＝4z＝－4i，故选C.

22．（2013·辽宁卷）已知集合A＝

，B＝

，则A∩B＝（　　）

A．（0，1）B．（0，2]

C．（1，2）D．（1，2]

【答案】D　

【解析】∵A＝{x|1

23．（2013·全国卷）设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）

A．3B．4

C．5D．6

24．（2013·山东卷）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1B．3C．5D．9

25．（2013·陕西卷）设全集为R，函数f（x）＝

的定义域为M，则∁RM为（　　）

A．[－1，1]

B．（－1，1）

C．（－∞，－1]∪[1，＋∞）

D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

【答案】D　

【解析】要使二次根式有意义，则M＝{x︱1－x2≥0}＝[－1，1]，故∁RM＝（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

26．（2013·四川卷）设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝（　　）

A．{－2}　　B．{2}　　C．{－2，2}　　D．

【答案】A　

【解析】由已知，A＝{－2}，B＝{－2，2}，故A∩B＝{－2}．

27．（2013·天津卷）已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝（　　）

A．（－∞，2]B．[1，2]

C．[－2，2]D．[－2，1]

【答案】D　

【解析】A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．

28．（2013·新课标全国卷Ⅱ]已知集合M＝{x|（x－1）2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝（　　）

A．{0，1，2}B．{－1，0，1，2}

C．{－1，0，2，3}D．{0，1，2，3}

【答案】A　

【解析】集合M＝{x|－1

29．（2013·浙江卷）设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则（∁RS）∪T＝（　　）

A．（－2，1]B．（－∞，－4]

C．（－∞，1]D．[1，＋∞）

30．（2013·重庆卷）对正整数n，记In＝{1，2，…，n}，Pn＝

）．

（1）求集合P7中元素的个数；

（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．

【随堂巩固】

1．已知集合A＝{（x，y）|x，y是实数，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y是实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为（　　）．

A．0B．1C．2D．3

2．设集合A＝

，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝（　　）．

A．[－2,2]B．[0,2]

C．[0，＋∞）D．{（－1,1），（1,1）}

解析　A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．

答案　B

3．设集合A＝{x|1

（　　）．

A．（1,4）B．（3,4）

C．（1,3）D．（1,2）∪（3,4）

解析　因为∁RB＝{x|x>3或x<－1}，所以A∩（∁RB）＝{x|3

答案　B

4．已知全集I＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则（∁IA）∩（∁IB）等于（　　）．

A．{5,8}B．{7,9}

C．{0,1,3}D．{2,4,6}

5．设集合I＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁IM＝（　　）．

A．{1,4}B．{1,5}C．{2,3}D．{3,4}

解析　I＝{1,2,3,4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，

∴∁IM＝{1,4}．

答案　A

6．若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则（∁RA）∩B＝（　　）．

A．{x|－1≤x≤1}B．{x|x≥0}

C．{x|0≤x≤1}D．∅

解析　∁RA＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，

∴（∁RA）∩B＝{x|0≤x≤1}．

答案　C

7．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.

解析　∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.

答案　1

8．设全集I＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则（∁IA）∪（∁IB）＝________.

解析　依题意得知，∁IA＝{c，d}，∁IB＝{a}，（∁IA）∪（∁IB）＝{a，c，d}．

答案　{a，c，d}

9．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：

①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；

②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；

③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．

其中正确结论的序号是________．

10．已知集合A＝

，B＝{x|x2－2x－m<0}，若A∩B＝{x|－1

11．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．

（1）若a＝

，试判定集合A与B的关系；

（2）若B⊆A，求实数a组成的集合C.

∴C＝

.

12．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.

13．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．

（1）9∈（A∩B）；

（2）{9}＝A∩B.