解法一对物体在斜面上和水平面上时受力分析如图所示，知物体下滑阶段FN1=mgcos37º
故f1=μFN1=μmgcos37º
由动能定理得
mgsin37º·l1-μmgcos37º·l1=mv12/2①
在水平面上运动过程中
f2=μFN2=μmg
由动能定理得
-μmg·l2=0-mv12/2②
由①、②两式可得
l=（sin37º-μmgcos37º）·l1/μ=（0.6-0.4×0.8×5）m/0.4=3.5m
解法二物体受力分析同上
物体运动的全过程中，初、末状态的速度均为零，对全过程运用动能定理有
mgsin37º·l1-μmgcos37º·l1-μmg·l2=0
得l2=（sin37º-μcos37º）·l1/μ=（0.6-0.4×0.8×5）m/0.4=3.5m
[答案]3.5m
[总结]应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无须深究物体的运动过程中变化的细节，只需考虑整个过程中的功及过程始末的动能。
若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑。
若不涉及中间过程量时，用整个过程分析比较简单。
但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待，求出总功、计算时要把各力的功连同符号（正、负）一同代入公式。
[变式训练2]一质量为1.0kg的物体，以4m/s的速度在光滑的水平面上向左滑行，从某一时刻起对物体施以一水平向右的恒力，经过一段时间，物体的速度方向变为向右，大小仍为4m/s，则在这段时间内水平力对物体所做的功为（）
A．0B．-8JC．-16JD．-32J
[答案]A
[难点解析]动能定理的综合应用性问题
[例3]图中ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角
为θ的斜面，CD是水平的。
BC是与AB和CD都
相切的一小段圆弧，其长度可以忽略不计。
一质量
为m的小滑块在A点从静止状态释放，沿轨道滑下，
最后停在D点，A点和D点位置如图所示。
现用一
沿着轨道方向的力推滑块，使它缓慢地由D点推回
A点停下，设轨道与滑块间的动摩擦因数为μ，则推力对滑块做的功等于（）
A．mghB．2mgh
C．μmg（l+h/sinθ）D．μmgl+μmghcotθ
[思路分析]对全过程应用动能定理。
滑块从A滑到D，初、末态动能都为零。
由动能定理，有
mgh-Wf=0①
推力F把滑块从D推到A过程做功WF，重力做功为-mgh，摩擦力做功仍为Wf，初、末动能仍为零。
WF-mgh-Wf=0②
把①代入②中，得WF=2mgh。
故B选项正确。
[答案]B
[总结]在题中不涉及中间物理量的情况下，全过程应用动能定理较为方便。
[变式训练3]以初速度v1竖直上抛一个质量为m的物体，物体落回到抛出点时的速度大小为v2，如果物体在上升和下降过程中受到的空气阻力大小恒定，即大小相等，求物体能上升的最大高度
[答案]H=（v12+v22）/4g
[难点精析2]利用动能定理求变力的功
[例4]如图所示，某人用定滑轮吊起一质量为1的物体，绳子
长为L,每单位长的质量为m2,试求此人将物体从地面吊至高
度为L的过程中至少应做多少功?
[思路分析]因绳子有质量，则拉物体上升过程中的拉力变化,
属变力做功情况.欲使人做功最小,须使物体m1到达高度为L
处时速度为零,则动能改变量ΔEK=0,可设绳子全部质量集中
于重心上，则m1上升L时,绳子重心上升到L/2,有动能定理得：
Wmin－m2gl·L/2－m1gl=ΔEK=0
Wmin=m1gl+m2gl2/2
[答案]Wmin=m1gl+m2gl2/2
[方法总结]当物体受力有变力时，其它的力所做的功和物体动能改变量都比较容易求得时，用动能定理求变力的功。
[误区警示]计算绳子的重力做功时，要用重心上升高度L/2而不能认为上升高度为L。
[变式训练4]一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点。
小球在水平拉力F的作用下，从平衡位置P点缓慢地移动到
Q点，如图所示，则力F所做的功为（）
A．mglcosθB．mgL（1－cosθ）
C．FlcosθD．Flcosθ
[答案]B
[难点精析3]
动能定理与功率问题综合
[例5]质量为5t的汽车，在平直公路上以60kW恒定的功率从静止开始启动，速度达到24m/s的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m。
运动过程中汽车所受的阻力不变，求汽车运动的时间。
[思路分析]汽车以恒定功率启动后的加速过程是加速度不断减小的变加速运动过程，因此不能利用匀变速运动的功率来求加速运动的时间，但可以利用动能定理来计算。
在汽车运动的全过程中，有两个力对物体做了功，牵引力做的功为Pt1阻力做功为-Ffs，由动能定理得：
Pt1－Ffs=0①
当汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则有：
P=FvMAX=FfvMAX②
由①②两式联立可得：
汽车加速运动的时间应为：
t1=Ffl/P=l/vMAX=1200s/24=50s
关闭油门后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动，由牛顿第二定律及匀变速直线运动公式可得：
a=Ff/m=P/（vMAX·m）③
t2=vMAX/a④
由③④两式联立可求得汽车匀减速所用的时间为：
t2=m·vMAX2/P=5×103×242/（60×103）=48s
则汽车在全程运动的时间为：
t=t1＋t2=50s+48s=98s
[答案]t=98s
[总结]当变力做功，而力的功率恒定时可考虑由W=Pt求变力做功。
在实际生活中往往会遇到变力做功的情况，在计算变力所做的功时应注意利用适当的功的表达式。
本题考查的是利用功率公式求汽车运动时间的情况。
对于较为复杂的物理过程，首先分析清楚物体在各个阶段的运动特点，明确各物理量间的关系，再利用合适的物理规律求解。
特别是对求物体受到的力做功时，切不可主观臆断，直接利用恒力做功公式求功。
[变式训练5]一列火车由机车牵引沿水平轨道行使，经过时间t，其速度由0增大到v，已知列车总质量为M，机车功率P保持不变，列车所受阻力f为恒力。
求这段时间内列车通过的路程。
[答案]（Pt-mv2/2）/f
[难点精析4]动能定理在流体问题中的运用
[例6]新疆达坂城风口风速约为v=20m/s，设该地区空气密度ρ=1.4kg/m3，若把通过横截面积为S=20m2的风的动能全部转化为电能，则该处风力发电站的发电功率为多大？
[思路分析]取很短一段时间Δt内的空气作为研究对象，则这段时间内空气的质量为m=ρΔv=ρsvΔt，
这些空气的动能为EK=mv2/2=ρsv3Δt，由题知动能全部转化为电能，EK=E电，所以发电功率为P=E电/Δt=ρsv3/2，代入数据得P=1.12×105W。
[答案]1.12×105W
[总结]在生活、生产、科技实践中，经常会遇到这样的问题，例如水轮机发电、风力发电、火箭喷气、血液流动等，称为连续流体问题。
在处理这类问题时，我们不便于取整体为研究对象，通常是取很短一段时间内的质量Δm作为研究对象，将其看成质点，再进行分析讨论，这是解答此类问题的技巧。
[变式训练6]太阳能烟囱式热力发电原理如图所示，像种蔬菜大棚一样的太阳能集热棚将太阳能收集起来，对空气加热，热空气进入烟囱，由于烟囱内热空气的压强大于外界的大气压，在烟囱中就会形成强大的热气流，推动安置在烟囱底部的空气涡轮发电机发电。
已知太阳每平方米的辐射功率为P0,太阳集热棚的面积为S0,烟囱内部的半径为R,烟囱底部与外界冷空气的压强差为Δp,烟囱内热空气的密度为ρ,热空气的动能转化为电能的效率为η,不考虑发电过程中空气温度的变化.
（1）求烟囱热空气的流速;
（2）
求发电机的发电功率
[答案]
（1）v=P0S0/ΔpπR2
（2）P电=ρP03S03η/2Δp3π2R4
[难点精析5]动能定理在往复式运动中的运用
[例7]如图所示,AB与CD为两个对称斜面，其上部足够长，
下部分别与一个光滑的圆弧面两端相切,圆弧圆心角为120˚,
半径R为2.0cm,一个物体在离弧底E高度为h=3.0m处,以
初速度4.0m/s沿斜面运动，若物体与两斜面的动摩擦因数
为0.02,则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多长
路程?
（g取10m/s2）
[思路分析]斜面的倾角为θ=60˚,由于物体在斜面上所受到的滑动摩擦力小于重力沿斜面的分力（μmgcos60˚），所以物体不能停留在斜面上物体在斜面上滑动时，由于摩擦力做功，使物体的机械能逐渐减小，物体滑动面上的高度逐渐降低，直到物体再也滑不到斜面上为止。
最终物体将在B、C间往复运动。
设物体在斜面上运动的总路程为s,则摩擦力所做的总功为-μmgscos60˚,末状态选为B（或C）,此时物体速度为零,对全过程由动能定理得
mg[h-R（1-cos60˚）]-μmgscos60˚=0-mv02/2
物体在斜面上通过的总路程为
s=[2g（h-R/2）+v02]/μg
=[2×10×（3.0-1.0）+4.02]m/（0.02×10）=280m
[答案]280m
[总结]物体在往复式运动中，重力做功与路径无关,摩擦力做功与路径无关.对整个过程运用动能定理较为简单。
[变式训练7]如图所示，斜面的倾角为θ，质量为m的滑块距
挡板P为s0，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩
擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面的瞎话力，若
滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块经过的路程。
[答案]s=s0tanθ/μ＋v02/2μgcosθ
[综合拓展]
一．动能定理的内容和表达式
合外力所做的功等于物体动能的变化，即
W=EK2-EK1
二．动能定理的应用技巧
1．一个物体的动能变化ΔEK与合外力对物体所做的功W具有等量代换关系。
若ΔEK>0，表示物体的动能增加，其增加量等于合外力对物体所做的正功；若ΔEK<0，表示物体的动能减少，其减少量等于合外力对物体所做的负功的绝对值；若ΔEK=0，表示合外力对物体所做的功为零。
反之亦然。
这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法。
2．动能定理中涉及的物理量有F、s、m、v、W、EK等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。
由于只需从力在整个位移内的功和这段位移始末两状态的动能变化去考虑，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于动能和功都是标量，无方向性，无论是直线运动还是曲线运动，计算都会特别方便。
当题给条件涉及力的位移，而不涉及加速度和时间时，用动能定理求解比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力做功过程、曲线运动等。
[例8]电动机通过一绳吊起一质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起用最快的方式将物体吊高90m（已知此物体在被吊高接近90m时已开始以最大速度上升）所需时间为多少？
[思路分析]有P=F·v知v=P/F。
因牵引力最大值为120N，所以vmin=P/Fmin=1200m/s/120=10m/s，故不可能开始就以额定功率上升，而题目要求以最快方式提升90m，那只能开始以最大拉力作用下匀加速上升，达到额定功率后再以额定功率上升。
因为牵引力F最大值Fmax=120N，所以上升过程要以额定功率上升，最小速度vmin=P/Fmax=1200m/s/120=10m/s，故不可能从静止开始以额定功率上升。
要使重物上升90m时间最短，则必须开始以最大拉力匀加速上升，加速度a=（Fmax-mg）/m=（120-80）m/s2/8=5m/s2
设匀加速上升t1到v1时达到额定功率
则据P=F·v得：
1200=120v1，所以v1=10m/s
而v1=at1，所以t1=2s
匀加速上升的高度h1=v1·t1/2=10m
设最后以额定功率上升t2秒
有动能定理得P·t2-mg（h–h1）=mvmax2/2-mv12/2①
而最终速度vmax=P/F1=P/mg=1200m/s/80=15m/s②
将各数据代入①得t2=5.75s
所以共需时间t=t1+t2=7.75s
[答案]t=7.75s
[总结]机车的两种特殊运动，在运用其规律的同时，还要根据题目的实际要求具体问题具体分析，不能生搬硬套。
这类题目可结合图象帮助求解，大家不妨试一下。
如上图所示，从图象上，v1、vmax一目了然，同学们更容易理解。
[活学活练]
[基础达标]
1．改变汽车的质量和速度，都能使汽车的动能发生变化，在下面几种情况下，汽车的动能是原来的2倍的是（）
A．质量不变，速度变为原来的2倍
B．质量和速度都变为原来的2倍
C．质量减半，速度变为原来的2倍
D．质量变为原来的2倍，速度减半
2．A、B两物体在光滑的水平面上，分别在相同的水平恒力F作用下，由静止开始通过相同的位移l。
若A的质量大于B的质量，则在这一过程中（）
A．A获得的动能较大
B．B获得的动能较大
C．A、B获得的动能一样大
D．无法比较A、B获得的动能大小
3．一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m，这时物体的速度为2m/s，则下列说法中错误的是（g取10m/s2）（）
A．手对物体做功12JB．合外力对物体做功12J
C．合外力对物体做功2JD．物体克服重力做功10J
4．如图所示，质量为m的物体与转台之间的动摩擦因数为μ，
物体与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加
到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速转
动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功为（）
A．0B．2πμmgR
C．2μmgRD．μmgR/2
5．如图所示，一足够长的木块在光滑的水平面上以速度v匀速运动，现将质量为m的物体竖直向下轻轻地放置在木板上的P处，已知物体m和木板
之间的动摩擦因数为μ，为保持木板的速度不变，从物体m
放到木板上到它相对木板静止的过程中，对木板施一水平向
右的作用力F，力F要对木板做功，做功的数值为（）
A．mv2/4B．mv2/2C．mv2D．2mv2
6．质点所受的力F随时间变化的规律如图所示，力的方
向始终在一直线上，已知t=0时，质点的速度为零，在图
示t1、t2、t3和t4各时刻中，哪一时刻质点的动能最大？
A．t1、B．t2C．、t3D．t4
7．质量为m的物体在水平力F的作用下，由静止开始沿光滑地面前进，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离，使物体的速度增大到2v，则（）
A．第二过程动能增加量等于第一过程的动能增加量
B．第二过程动能增加量是第一过程的动能增加量的2倍
C．第二过程动能增加量是第一过程的动能增加量的3倍
D．第二过程动能增加量是第一过程的动能增加量的4倍
8．质量分别是M1、M2的两只船静止于湖面上，两船用绳相连，质量为m的人站在质量为M1的船上用恒力F拉绳，经过一段时间后，两船的位移大小分别为s1、s2，速度大小分别为v1、v2，则这段时间内人总共做的功为（）
A．Fs2B．M2v22/2
C．F（s1+s2）D．M2v22/2+（M1+m）v12/2
9．人将放在手中的铅球沿水平方向推出，球在出手时具有的动能是180J。
铅球原来是静止的，人在推球的过程中对球做功是J。
10．一颗子弹以700m/s的速度打穿第一块木板后速度为500m/s，若让它继续打穿第二块同样的木板，则子弹的速度变为m/s（木板对子弹的阻力恒定）。
11．如图所示，质量m=10kg的物体放在水平面上，物体与地面间的动摩擦因数μ=0.4，g=10m/s2，今用F=50N的水平恒力作用与物体上，使物体由静止开始做匀加速直线运动，经时间t=8s后，撤去F，求：
（1）力F所做的功
（2）
8s末物体的动能
（3）物体从开始运动直到最终静止
的过程中克服摩擦力所做的功.
12．如图所示，物体沿一曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，下滑的高度为5m，若物体的质量为1kg，到B点时速度为6m/s，则在下滑过程中，物体克服阻力所做的功为多少？
13．如图所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含重力）。
今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。
求：
（1）飞机受到的升力大小；
（2）从起飞到上升至h高度的过程中升
力所做的功及在高度h处飞机的动能。
x
14．物体从高出地面H米处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至地面进入沙坑h米停止（如图所示），求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍。
15．质量为m=3000t的火车，在恒定的额定功率下由静止出发，运动中受到一个恒定不变的阻力作用，经过103s，行程12km后，达到最大速度72km/h。
求列车的额定功率和它受到的阻力
基础达标答案
1．C2．C3．B4．D5．C6．B7．C8．CD9．18010．100
11．
（1）1600J
（2）EK=320J（3）1600J12．32J
13．
（1）mg（1+2hv02/gt2）
（2）mgh（1+2hv02/gt2）；mv02/2（1+4h2/l2）
14．（H+h）/h倍15．P=1.5×106W；f=7.5×104N
[能力提升]
1．一辆汽车在平直的公路上以速度v0开始加速行使，经过一段时间t，前进了距离s，此时恰好达到其最大速度vmax。
设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作，汽车所受的阻力恒为F，则在这段时间里，发动机所做的功为（）
A．FvmaxtB．P·t
C．mvmax2/2+Fs-mv02/2D．Ft（v0+vt）/2
2．如图所示，一个原来静止的质量为m的物体，放在光滑的
水平面上，在互成60˚角的大小相等的两个力的作用下，经过
一段时间物体获得的速度为v，在力的方向获得的速度分别为
v1、v2。
那么在这段时间内其中一个力做的功为（）
A．mv2/6B．mv2/3
C．mv2/4D．mv2/2
3．竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于球的速度，则（）
A．上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功
B．上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功
C．上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率
D．上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力的平均功率
4．一个质量为0.3kg的弹性小球，在光滑水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同，则碰撞后小球速度变化量Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为（）
A．Δv=0B．Δv=12m/s
C．W=0
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