5.（汽车转弯问题）在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。
如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些，汽车的运动可看做是半径为R的圆周运动。
设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。
已知重力加速度为g，要使车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设路面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtanθ＝m
，又由数学知识可知tanθ＝
，联立解得v＝
，B正确。
6.（轻绳模型）（多选）如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
答案 CD
解析 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v＝
，C正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确。
7.（轻绳模型）如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为（ ）
A．0B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意知，乘客受到座椅的压力F＝mg，则F＋mg＝2mg＝m
，故最高点处速度大小v＝
，C正确。
8．（拱形桥问题）城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。
如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则（ ）
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－m
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
答案 A
解析 由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg－FN＝m
，解得FN＝mg－m
＜mg，故其处于失重状态，A正确，B错误；FN＝mg－m
只在小汽车通过桥顶时成立，而在其上桥过程中不成立，C错误；由mg－FN＝m
，FN≥0，解得v1≤
，D错误。
9.（轻杆模型）如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。
小球运动到最高点时速度为v＝
，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是（ ）
A.
mg的拉力B.
mg的压力
C．零D.
mg的压力
答案 B
解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，mg＝m
，解得v′＝
，而
<
时，故杆对球是支持力，即mg－FN＝m
，解得FN＝
mg，由牛顿第三定律，球对杆的压力为
mg，故选B。
10.（拱形桥问题）如图所示，是一座半径为40m的圆弧形拱形桥。
一质量为1.0×103kg的汽车，行驶到拱形桥顶端时，汽车运动速度为10m/s，则此时汽车运动的向心加速度为多大？
向心力为多大？
汽车对桥面的压力是多少？
（取g＝10m/s2）
答案 2.5m/s2 2.5×103N 7.5×103N
解析 汽车的向心加速度
an＝
＝
m/s2＝2.5m/s2。
汽车的向心力
Fn＝ma＝1.0×103×2.5N＝2.5×103N。
在桥的最高点，汽车的向心力由重力和桥的支持力的合力提供，如图所示，Fn＝mg－FN，
则FN＝mg－Fn＝1.0×103×10N－2.5×103N＝7.5×103N，
根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力
F压＝FN＝7.5×103N。
11．（汽车转弯问题）某游乐场里的赛车场地为圆形，半径为100m，一赛车和车手的总质量为100kg，轮胎与地面间的最大静摩擦力为600N。
（g取10m/s2）
（1）若赛车的速度达到72km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧滑？
（2）若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为30°，赛车的速度多大时，车手感觉不到自己有相对车侧向运动的趋势？
答案
（1）不会侧滑
（2）24m/s
解析
（1）赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供。
赛车做圆周运动所需的向心力为Fn＝m
＝400N<600N，所以赛车在运动过程中不会发生侧滑。
（2）由题意得车手不受座椅侧向的摩擦力，于是车手只受支持力和重力，由牛顿第二定律知mgtanθ＝m
，解得v＝
≈24m/s。
B组：
等级性水平训练
12.（火车转弯问题）（多选）火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动，当火车以规定速度通过时，内外轨道均不受侧向挤压，如图。
现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是（ ）
A．减小内外轨的高度差B．增加内外轨的高度差
C．减小弯道半径D．增大弯道半径
答案 AC
解析 当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：
即Fn＝mgtanθ＝m
，故v＝
，若使火车经过弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误。
13.（轻杆模型）（多选）如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度是
B．小球通过最高点时的最小速度为零
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
答案 BD
解析 圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，故小球通过最高点的最小速度为零，A错误，B正确。
小球在水平线ab以下时，合外力必须有指向圆心方向的分力提供向心力，故外侧管壁一定对小球有作用力，C错误，D正确。
14.（轻杆模型）长L＝0.5m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2kg。
现让A在竖直平面内绕轻杆另一端O点做匀速圆周运动，如图所示。
在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小。
（g＝10m/s2）
（1）A的速率为1m/s；
（2）A的速率为4m/s。
答案
（1）16N
（2）44N
解析 以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，
则有mg＋F＝m
。
（1）代入数据v1＝1m/s，
可得F1＝m
＝2×
N＝－16N，
即A受到杆的支持力为16N。
根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16N。
（2）代入数据v2＝4m/s，
可得F2＝m
＝2×
N＝44N，
即A受到杆的拉力为44N。
根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44N。
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