二次函数的应用.docx

二次函数的应用.docx

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二次函数的应用

1．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，要使y＞0，则x的取值范围是（）

A．﹣4＜x＜1B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣4或x＞1D．x＜﹣3或x＞1

2．如果将二次函数y=2x2的图象沿y轴向下平移1个单位，再向右平移3个单位，那么所得图象的函数解析式是___

3．如图，抛物线y1=-x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题：

（1）抛物线y2的解析式是_____，顶点坐标为_____；

（2）阴影部分的面积_____;

（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为_____，开口方向_____，顶点坐标为_____．

4.如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．

（1）请直接写出D点的坐标．

（2）求二次函数的解析式．

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

二次函数的应用——求周长面积问题

1．已知：

如图，二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，且函数的最大值为9．

（1）求二次函数的解析式；

（2）设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积．

2．如图，二次函数y=

x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点坐标是（8，6）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；

（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？

若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由．

3．已知：

二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2-4x-12=0的两个根．

（1）请直接写出点A、B的坐标，并求出该二次函数的解析式．

（2）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在

（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

5.如图所示，抛物线

与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣2，0）、B（4，0），其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）设P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在

（2）的条件下，当S取值最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，请直接写出P′点的坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

6．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=-

x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数

的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：

①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？

此时四边形PDCQ的面积是多少？

7.（难）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a

+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：

S△PBQ=5：

2，求K点坐标．

二次函数的应用——做特殊四边形

1．如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线

与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；

（3）①在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得△BEQ的周长最小？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3．抛物线

经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．

（1）求抛物线与x轴的交点坐标；

（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？

若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？

4．如图，抛物线y=

x2-mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1）．且对称轴x=l．

（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3？

若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由（使用图1）；

（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）

5．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点A的坐标为（0，2），点B在抛物线y=ax2+ax-2上．

（1）点B的坐标为，抛物线的关系式为；

（2）若点D是

（1）中所求抛物线在第三象限内的一个动点，连接BD、CD，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；

（3）若将三角板ABC沿射线BC平移得到△A′B′C′，当C′在抛物线上时，问此时四边形ACC′A′是什么特殊四边形？

请证明之，并判断点A′是否在抛物线上，请说明理由．

6．已知：

如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3BO．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（难）已知抛物线C：

y=-x2+bx+c经过A（-3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．

（1）求抛物线C的表达式；

（2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？

为什么？

8．（难）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）．

（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；

（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？

若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

二次函数的应用——做直角三角形

1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b，c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下：

①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

3．如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D，与x轴交于A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当四边形OBMC的面积最大时，求△BPN的周长；

（3）在

（2）的条件下，当四边形OBMC的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△CNQ为直角三角形？

若存在，直接写出点Q的坐标

二次函数的应用——相似三角形

1．如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以

个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）问：

当t为何值时，△APQ为直角三角形；

（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；

（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：

是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

2．如图

（1），直线

与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线

与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式及顶点P的坐标；

（2）连结AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）动点M从B点开始沿BO边向点O以每秒2个单位的速度运动，动点N从点O开始沿OC边向点C以每秒1个单位的速度运动，当点M到达O点时，点N也随之停止运动．在整个运动过程中，求：

线段MN的中点所经过的路程长．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线

过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D．

（1）求b、c的值；

（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；

（3）是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？

若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

4．如图，二次函数

的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）判断△BCM的形状，并说明理由；

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，∠OAB=90°，OA=2，AB=

，把△OAB沿x轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE．

（1）若过原点的抛物线y=ax2+bx+c经过点B、E，求此抛物线的解析式；

（2）若点P在该抛物线上移动，当点p在第一象限内时，过点p作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．若以O、P、Q为定点的三角形与以B、C、E为定点的三角形相似，直接写出点P的坐标；

（3）若点M（﹣4，n）在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B的对应点为B′．当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？

若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

6．如图1，抛物线y=

+3与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）点D为线段AC上的一个动点（不与A、C两点重合），在运动的过程中，将△ADO以x轴为对称轴翻折，得到点D的对应点为E．

求：

当点D的坐标为多少时，点E恰好落在抛物线的图象上？

并判断此时的四边形AEOD是否为菱形？

请说明理由．

（3）若点M（m，n）为抛物线上的动点，过点M作y轴的垂线，垂足为N，连接MC，则当m为何值时，△MCN和△AOC相似？

请直接写出m的值（与△AOC重合的除外）．

二次函数的应用——做等腰三角形

1．已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．

（1）求此二次函数解析式；

（2）连接DC、BC、DB，求证：

△BCD是直角三角形；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？

若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），且经过点（5，－2），点B与点A关于对称轴对称，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连结OB．

（1）求二次函数的解析式，并求出点B的坐标．

（2）把△AOB以每秒1个单位的速度向右平移，得到△PDE，PE交OB于点F，PD交BC于点M，设向右平移运动的时间为t（s）．设平移过程中与△OBC重叠部分的面积为S，试探求S与t的函数关系式，并求当t为何值时，S最大？

（3）在

（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使△OCE为等腰三角形？

若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

3．如图，已知直线

分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线

经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？

若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．