行列式的计算技巧和方法总结.docx
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行列式的计算技巧和方法总结
计算技巧及方法总结
一、一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做
1、二阶行列式
a11a22
a12a21
a11
a12
a13
a21
a22
a23
=a11a22a33a12a23a31
a31
a32
a33
2、三阶行列式
aiiai2
a21a22
a13a21a32a13a22a31a11a23a32
a12a21a33.
123
例1计算三阶行列式405
（1）150426
106
1
2
3
解
4
0
5
106
1
0
6
25
（1）34030
104858.
但是对于四阶或者以上的行列式,
不建议采用定义，最常采用的是行列式的
性质以及降价法来做
但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。
以便计算
311
计算上三角形行列式
F三角形行列式
对角行列式
0&22
00
9h0
a21a22
an1an2
0
a21a22
an1an2
Qn
a2n
ann
0
0
ann
0
0
ann
9119229nn
a11a22ann.
a11a22ann
二、用行列式的性质计算
1、记住性质，这是计算行列式的前提
将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为Dt或D',即若
an
a12
a1n
an
a21
an1
D
a21
a22
a2n
则dt
a12
a22
an2
an1
an2
ann
a1n
a2n
ann
性质1行列式与它的转置行列式相等，即DDt.
注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质，它的列
也同样具有•
性质2交换行列式的两行（列），行列式变号•
推论若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零•
性质3用数k乘行列式的某一行（列）,等于用数k乘此行列式,即
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
D1
kai1
kai2
kain
k
ai1
ai2
ain
kD
an1
an2
ann
an1
an2
ann
第i行（列）乘以k,记为ik（或Gk）.
推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面推论2行列式中若有两行（列）元素成比例，则此行列式为零•
性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，
a11a12
a1n
a11a12
性质5
bi102
an1an2
将行列式的某一行
bin
ann
ci1°i2
an1an2
a1n
cin
ann
D1D2•
（列）的所有元素都乘以数
k后加到另一行（列）对应位置的元
an
a12
a1n
D
bi1Ci1
bi2Q2
bincin
an1
an2
ann
素上，行列式不变
注：
以数k乘第j行加到第i行上，记作rikrj；以数k乘第j列加到第i列上，记作
CikCj•
2、利用“三角化”计算行列式
计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算•例如化为上三角形行列式的步骤是：
如果第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0；
然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为
0；
再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式，如此继续下去，直至
使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值
1
2
3
1
1
0
例2若D
10
1
，则dt
2
0
1
0
1
运
3
1<2
D.
1
2
1
0
1
1
（1）
0
1
1
1
2
1
2
1
0
2
1
0
1
2
1
1
1
2
（2）
0
1
1
0
1
1
2
1
0
2
0
1
（第一、二行互换）
例3
（第二、三列互换）
（3）
（第一、
二两行相等）
（4）
0（第二、三列相等）
（1）
0因为第三行是第一行的2倍.
0因为第一列与第二列成比例
即第二列是第一列的4
1
0
2
例5若D
3
1
0
，则
1
2
1
2
0
4
1
0
2
3
1
0
（2）
3
1
0
1
2
1
1
2
1
2D
a11
a12
a13
6a〔1
2a12
10a13
例6设
a21
a22
a23
1,求
3a?
1
a22
5a23
a31
a32
a33
3a31
a32
5a33
解利用行列式性质，有
6an
2a12
10a13
2a11
a12
5a13
a11
a12
a13
3a21
a22
5a23
2
3a21
a22
5a23
2（3）5
a21
a22
a23
3a31
a32
5a33
3a31
a32
5a33
a31
a32
a33
4
0
2
1
0
2
又
12
1
0
4
3
1
0
4
2
1
1
2
1
4D.
例7
（1）23
11
1130
11
11v'25
（2）0327
21V21
102）
32
1
（2）
3122
40
12,而
32
12
1230
13
13
20
例8因为
（92）（04）15.
3122
因此
1230
32
1
2
13
2
0
2（3）5130.
注：
一般来说下式是不成立的
a11bn
a21
b12
P1
a11a12
九b12
1
3
1
1
3
1
例9
（1）
1
4
1
ar1
0
1
0
2
3
1
2
3
1
上式表示第一行乘以
-1后加第二行上去，其值
不变.
1
3
1
1
3
0
（2）
1
4
1
C3C1
1
4
0
2
3
1
2
3
3
上式表示第一列乘以
1后加到第三列上去
其值不变.
3
6
12
例10计算行列式
D
2
3
0
5
1
2
解先将第一行的公因子
3提出来
3
6
12
1
24
2
3
0
3
2
30
5
1
2
5
12
再计算
1
2
4
D3
2
3
0
3
5
1
2
3
124
124
122
102
078
27
078
54
074
54
034
0918
012
011
001
543162.
1
1
2
1
3
1
2
rr
1
3
1
2
C2
1
5
3
4
r2r1
「45「1
0
8
4
6
0
2
1
1
0
2
1
1
5
1
3
3
0
16
2
7
1
3
1
2
1
3
1
2
0
2
1
1
0
2
1
1
「3
「34「2
0
8
4
6
r,8「c
0
0
8
10
0
16
2
7
14v12
0
0
10
15
C1
D
1
3
1
2
2
1
1
0
5
3
1
3
4
1
3
「2
11计算D
例12计算D
3
1
1
1
1
3
1
1
1
1
3
1
1
1
1
3
10
52
=40.
4个数之和都是6.故把第2，3，出公因子6,再由各行减去第一行化为上三角形行列式
解注意到行列式的各列
4行同时加到第
1行，可提
注：
仿照上述方法可得到更一般的结果
a
b
b
b
b
a
b
b
[a（n1）b]（ab）n1
b
b
b
a
a1
a1
0
0
a2
a2
0
0
a3
1
1
1
例13计算
0
0
a3
1
6666
1111
1111
1311
1311
rr
0200
6
「3A6
1131
1131
0020
1113
1113
rr
r4r1
0002
48.
解根据行列式的特点，可将第
1列加至第2列，然后将第
2列加至第3列，再将第3
a1
0
0
0
a1
0
0
0
0
a2
a2
0
C3C2
0
a2
0
0
0
0
as
a3
0
0
a3
a3
1
2
1
1
1
2
3
1
列加至第4列，目的是使D4中的零元素增多
c2c1
D4^=
a1
0
0
0
C4C3
0
a2
0
0
0
0
a3
0
1
2
3
4
4aia283.
a
b
c
d
a
a
b
a
bc
a
b
cd
a
2a
b
3a
2bc
4a
3b
2c
d
a
3a
b
6a
3bc
10a
6b
3c
d
例14计算D
解从第4行开始，后一行减前一行:
a
b
c
d
a
b
c
d
「4「3
rr
'31
0
a
a
b
a
bc
「4「3
0
a
ab
ab
c
「2「1
0
a
2a
b
3a
2bc
「3「2
0
a
a
2a
b
0
a
3a
b
6a
3bc
0
a
a
2a
b
abcd
r4r30aababc
00a2ab
000a
三、行列式按行（列）展开（降阶法）
1、行列式按一行（列）展开
定义1在n阶行列式D中，去掉元素a,所在的第i行和第j列后，余下的n1阶行列式，
称为D中元素a,的余子式，记为Mj,再记
Aj
（1）ijMj
称Aj为元素aj的代数余子式.
引理（常用）一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除ay外都为零，则该行列式
等于ay与它的代数余子式的乘积，即
DaijAij
定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
Dai1Ai1ai2A2ainAin（i1,2，，n），
或Da1jA1ja2jA2janjAnj（j1,2，，n）.
推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，
即
a1Aj1ai2Aj2ainAjn0，ij，
或a1iAja2iA2janiAnj0，ij.
2、用降价法计算行列式（常用）
直接应用按行（列）展开法则计算行列式，运算量较大，尤其是高阶行列式.因此，计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行（列）化为仅含有一个非零元素，再按此行（列）展开，化为低一阶的行列式，如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.
3、拉普拉斯定理（一般少用）
定义2在n阶行列式D中,任意选定k行k列（1kn）,位于这些行和列交叉处的k2个元素，按原来顺序构成一个k阶行列式M,称为D的一个k阶子式，划去这k行k列，余下的元素按原来的顺序构成nk阶行列式，在其前面冠以符号
（1）i1ikj1jk,称为M的代
数余子式,其中ii,,ik为k阶子式M在D中的行标,ji,j2,,jk为M在D中的列标.
注：
行列式D的k阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质.
定理2（拉普拉斯定理）在n阶行列式D中，任意取定k行（列）（1kn1）,由这k行（列）组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D.
例15求下列行列式的值
2
1
3
3
2
7
（1）
1
2
1
（2）
0
5
2
4
1
2
0
2
1
（1）
2
解
（1）1
4
2（41）（23）4（16）
6528
27.
3523（54）
21
3.
1234
例16计算行列式
1012D
3110
1
4
6
0
2
「1耳
1
2
1
1
2
「32巾
2
5
9
0
1
1205
1
2
3
4
7
0
1
4
1
0
1
2
儿2r3
1
0
1
2
3
1
1
0
「42D
3
1
1
0
1
2
0
5
7
0
2
5
解D
7
32
（1）
（1）1
7
1
（1）6261824.
1
例17计算行列式D0
91
53120
17252
02310
04140
02350
1）
52
312
231
414
235
31
t-4
35
「2
（2）片
2
100
0
72
10
（2）20（4212）1080.
66
1
2
3
4
1
1
2
3
1
x
1
2
例18求证
1
x
x
1
1xxx
1xxx
1）n
1xn2
「2「3
证D
「3巾
rn1rn
（1）n1
0
0
0
0
01x1
11
11
11
11
1
1x1
11
111
1x11
1x1
01x
11
11
11
11
rir2
「2b
（
~rr~T4
1）n
00
cc/八n1n2
00
（1）x
例19设D
3
1
1
2
求AnA12A3A14及M11
A11
A12
D中元素aj的余子式和代数余子式依次记作
M21M31M41
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
5
1
1
0
5
1
3
1
3
r3r1
2
2
0
2
2
4
1
3
1
1
0
0
解注意到A1A2A13A4等于用1,1,1,1代替D的第1行所得的行列式，即
AI3A14
1
1
5
1
1
5
C2q
2
2
2
—
2
0
2
1
1
0
1
0
0
4.
又按定义知
M11M21M31M41A11
1521
1105
1313
1413
152
110
131
010
1
5
3
0
12
（1）10
11
110
r12r3
510
311
0.
例20用拉普拉斯定理求行列式
解按第一行和第二行展开
Mj和Aj,
23
12
01
00
00
30
23
12
2300
1230
0123
0012
23
/八1212
23
20
/XX1213
13
30
/XX1223
03
（1）
（1）
（1）
12
12
13
02
23
02
112011.
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