二元一次方程应用.docx
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二元一次方程应用
二元一次方程应用
知识点讲解
1.行程问题：
（1）追击问题：
追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。
这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。
其等量关系式是:
两者的行程差＝开始时两者相距的路程；
；
；
（2）相遇问题:
相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是：
双方所走的路程之和＝总路程。
（3）航行问题：
①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：
飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2．工程问题：
工作效率×工作时间=工作量.
3．商品销售利润问题：
（1）利润＝售价－成本（进价）；
（2）
；（3）利润＝成本（进价）×利润率；
标价＝成本（进价）×（1＋利润率）；（5）实际售价＝标价×打折率；
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）
4．储蓄问题：
①利息＝本金×利率×期数
②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数）
③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
④税后利息＝利息×（1－利息税率）。
5．配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：
总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
6．增长率问题：
解这类问题的基本等量关系式是：
原量×（1＋增长率）＝增长后的量；原量×（1－减少率）＝减少后的量.
7．和差倍分问题：
解这类问题的基本等量关系是：
较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
8．数字问题：
解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。
如当n为整数时，奇数可表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：
两位数=十位数字
10+个位数字
9．优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理安排。
需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
典型例题
一、鸡兔同笼
【典型例题】
例1、鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少28条，问鸡与兔各有几只?
例2、停车场上停了35辆小轿车和两轮摩托车，地面上数一上共有100个轮子，请问小轿车和摩托车各有多少辆?
【变式练习】
1、鸡兔同笼，共有头30个，足86只，求鸡兔各有多少只?
2、有20张5元和10元的人民币，一共是175元，5元和10的人民币各有多少张?
3、王老师圆珠笔和钢笔共买了15支，圆珠笔每支1.5元，钢笔每支4.5元，共花了49.5元，圆珠和钢笔各买了几支?
二、增收节支
【问题引入】
（1）某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20%，今年的总产值为_________.
（2）某工厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出为_________.
（3）某工厂今年的利润为780万元，根据
（1）、
（2）可得_________=780万元（利润=总产值－总支出）.
【典型例题】
例1、校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加了10%，总支出节约了20%，因而总收入比总支出多100万元.求去年我校校办工厂的总收入和总支出各多少万元?
例2、某工厂去年的利润（总产值－总支出）为200万元，今年的总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。
去年的产值、总支出各是多少万元?
【变式练习】
1、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位蛋白质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位蛋白质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要?
2、现有两种溶液，甲种溶液由酒精1升，水3升配制而成，乙种溶液由酒精3升，水2升配制而成，要配制成50%的酒精溶液7升，问两种溶液各需多少升?
3、某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对
、
两种商品实行打折出售．打折前，购买5件
商品和1件
商品需用84元；购买6件
商品和3件
商品需用108元．而店庆期间，购买50件
商品和50件
商品仅需960元，这比不打折少花多少钱?
三、里程碑上的数
“里程碑上的数”既是一个数字问题，又是一个行程问题，相对较难。
【典型例题】
1、一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为_________；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为_________.
2、有两个两位数x和y，如果将x放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数就可以表示为_________；如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数，那么这个新的四位数又可表示为_________.
3、北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示.现在有一种调运方案的总运费为7600元.问：
这种调运方案中北京、上海分别应调给武汉、重庆各多少台?
【变式练习】
1、一个两位数，个位上的数为m，十位上的数为n，如果在它们之间添上一个零，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为_________.
2、小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，他首先看到的里程碑是一个两位数字，它的两个数字之和为7，其次看到的里程碑与首先看到的里程碑数字正好颠倒了，新数比原来的两位数大45，你能确定小明首先看到的里程碑上的数吗?
3、两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
二元一次方程组解应用专题题型讲解
【题型一：
分配问题】
1、运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨?
2、用白铁皮做罐头盒。
每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。
现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套?
3、现要加工400个机器零件，若甲先做1天，然后两人再共做2天，则还有60个未完成；若两人齐心合作3天，则可超产20个.问甲、乙两人每天各做多少个零件?
4、一船队运送一批货物，如果每艘船装50吨，还剩下25吨装不完；如果每艘船再多装5吨，还有35吨空位．求这个船队共有多少艘船，共有货物多少吨?
5、某船的载重为260吨，容积为1000 m3.现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8m3，乙种货物每吨体积为2m3，若要充分利用这艘船的载重与容积，甲、乙两种货物应各装多少吨?
（设装运货物时无任何空隙）
6、某种口服液礼品盒有大盒、小盒两种包装，现在知道3大盒、4小盒共装了108瓶；2大盒、3小盒共装了76瓶，现在有一个人一共买了6大盒、6小盒，问他一共买了多少瓶?
【题型二：
倍数问题】
1、学校的篮球比足球数的2倍少3个，篮球数与足球数的比为3：
2，求这两种球队各是多少个?
2、有甲、乙两种金属，甲金属的16分之一和乙金属的33分之一重量相等，而乙金属的55分之一比甲金属的40分之一重7克，求两种金属各重多少克?
3、某厂第二车间的人数比第一车间的人数的五分之四少30人.如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的四分之三.问这两个车间各有多少人?
4、今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.
5、游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。
如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗?
6、甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少?
7、甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿来10本，那么甲拥有的书是乙所剩书的5倍；如果乙从甲处拿来10本，那么乙所有的书与甲所剩的书相等，问甲、乙两人原来各有几本书?
【题型三：
行程、工程问题】
1、整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划由一部分人先做4小时，再增加两人和他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应安排多少人工作?
2、一条船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米。
那么这条轮船在静水中每小时行千米?
3、车工班原计划每天生产50个零件，改进操作方法后，实际上每天比原计划多生产6个零件，结果比原计划提前5天，并超额8个零件，间原计划车工班应该生产多少个零件?
4、甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少?
5、一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相同而行，从相遇到离开需4秒；如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16秒，求两车的速度。
6、李明与王云分别从
、
两地相向而行，若两人同时出发，则经过80分钟两人相遇；若李明出发60分钟后王云再出发，则经过40分钟两人相遇，问李明与王云单独走完
全程各需多少小时?
【题型四：
金融问题】
1、某厂买进甲、乙两种材料共56吨，用去9860元。
若甲种材料每吨190元，乙种材料每吨160元，则两种材料各买多少吨?
2、某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15％，乙股票下跌10％时卖出，共获利1350元，试问某人买的甲、乙两股票各是多少元?
3、购买甲种图书10本和乙种图书16本共付款410元，甲种图书比乙种图书每本贵15元，问甲、乙两种图书每本各买多少元?
4、2008年5月12日，四川省汶川县发生里氏8.0级强烈地震，给当地人民造成巨大的损失．全国迅速组织捐款支援灾区，我校七年级
（1）班55名同学共捐款830元，捐款情况如右表．表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由．
捐款
10
15
30
50
人数
18
4
5、某酒店客房部有三人间、双人间客房，收费数据如下表．
普通（元/间/天）
豪华（元/间/天）
三人间
150
300
双人间
140
400
为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间?
6、某中学组织一批学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金每辆220元，60座客车租金为每辆300元，试问：
⑴这批学生人数是多少?
原计划租用45座客车多少辆?
⑵若租用同一种车，要使每位学生都有座位，怎样租用更合算?
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