关于房价的数学建模.docx
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关于房价的数学建模
问题重述
房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。
我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。
请根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市，解决以下几个方面的问题：
问题一：
房价的合理性，并进行定量分析；问题二：
房价的未来走势，并进行定量分析；问题三：
进一步探讨使得房价合理的具体措施；问题四：
进一步探讨对经济发展产生的影响，并进行定量分析。
二、问题分析
问题一分析：
本问需要我们通过分析所选城市的房价以及其影响因素，找出影响房价的主要原因，然后依此建立数学模型。
同时，根据得出的结论分析判断房价相对于当今社会经济是否合理。
第一，目前房地产业蓬勃发展的关键是社会的各项指标，各项因素综合决定
的，社会经济指标的发展是地产业持续发展的推动力。
由此，我们分析相关数据的目的是要得出几条对房地产影响较大的社会经济指标，从而为继续研究做好基础。
但是，要去逐一分析每一种经济因素是不可能办到的，只能抓住主要因素去着重分析，所以我们经过查询“中国统计年鉴网”中部分代表城市的房价数据和有关书籍中的资料，大致得出以下几条对房价影响缠身主导作用的因素：
建安成本，市场供求变化，土地成本、各种税费以及当地居民人均收入等。
然而，针对本问，虽然我们从相关资料中获取了大量数据，但从实际出发来看这些数据只能作为理论支撑的基础，模型并不是针对某一个城市，而是具有普遍用途，这样才能完美的达到本题的目的所在。
通过以上准备发现，该问题适合用随机模型和蛛网模型来解决。
通过随机模型模拟出影响价格的因素，再根据得出的因素作出假设，运用蛛网模型分析房价的合理性。
其中，随机模型是一种非确定性模型，变量之间的关系是以统计制的形式给出的，如果模型中任意变量不确定，并且随着具体条件的改变而改变，则该模型就是随机模型。
此模型主要是从投资者的投资组合的角度对房地产的形成机制进行考察，因此忽略了其他许多能够影响房地产价格形成的因素，如地价和房租价格等，也没有考虑房地产商及政府的作用。
而蛛网模型是一个动态模型。
在某些生产周期较长的商品在失去均衡时发生的不同波动情况的一种动态分析理论，是微观经济学里分析动态均衡价格比较经典的模型，一般用来分析诸如农产品、畜产品、房地产等生产周期较长的产品的均衡。
蛛网模型有收敛型蛛网、发散型蛛网、稳定型蛛网三种类型
问题二分析：
本问是对房价的未来走势进行定量分析，预测。
房价的高低涉及社会生活中多方面的经济利益，也是百姓生活中关注比较多、比较重要的问题之一。
较为准确的预测未来房地产的销售价格，对社会经济发展和人民生活极其重要，可以为经济决策提供参考，故其研究意义相当重大。
首先，我们应该进行数据挖掘，针对本文，一定要具备的是所研究城市的历年房价真实数据，从而才能真正意义上的通过建立模型、求解，拟算出下一阶段该城市的房价走势。
经分析可知，本问要用到相关的数学模型为灰色——马尔柯夫预测模型，根据大量的学者实验表明，该预测模型的算法可以提高预测的精度。
灰色——马尔柯夫预测模型由灰色系统和马尔柯夫预测模型结合而成，其中灰色模型是有中科技大学控制科学与工程系教授，博士生导师邓聚龙于1982年提出的。
是指如果一个系统具有层次、结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完备或不确定性，则称这些特为灰色性。
具有灰色性的系统称为灰色系统。
有由于灰色预测所需信息较少，计算简便，精度较高，因此在社会经济系统的建模、分析和预测中得到广泛应用，但由于灰色预测是指以GM（1,1）模型为基础所进行的预测，GM（1,1）模型的解为指数型曲线，共预测的几何图形是一条较平滑的曲线，因而对波动性较大的数据列的拟合较差，预测精度较低。
而马尔柯夫概率矩阵预测适合于随机波动性叫大数据列的预测问题。
但是，马尔柯夫概率矩阵预测对象不但要求具有马氏链特点，而且要具有平稳过程等特点。
而现实世界中更大量的是随时间变化而呈现某种变化趋势的非平稳随机过程。
以上分析可知，灰色GM（1,1）预测与马尔柯夫概率矩阵预测的优点可以互补，GM（1,1）预测用来揭示数列的发展变化总趋势。
而马尔柯夫概率矩阵预测则用来确定状态的转移规律。
因而把两者结合起来，形成一个灰色一
—马尔科夫预测模型，它能充分利用历史数据给予的信息，可大大提高随机波动较大数据列的预测精度，进一步拓广灰色预测的应用范围。
为随机波动性较大数据列的预测提供一种新的方法。
问题三分析：
房价问题一直是影响这国计民生的大问题，十分复杂，因此，要是某个城市的房价达到一定的合理程度，就要综合考虑影响房价的各个方面，各个层次，各个阶层的因素，然后针对每个方面提出相应的解决措施，改变原来的漏洞和缺陷，是房价逐步达到对每个方面都相对较为合理的程度。
问题四分析：
随着房地产事业的火爆发展，房地产逐渐渗透到我国社会经济的方方面面，可以毫不夸张地打个比方说，房地产业打个喷嚏，我国经济就要感冒。
根据在网络上所查得的数据，经过我们分析房价与全社会固定投资总额、人均GDP、居民消费价格指数、城镇居民可支配收入、城市居民恩格尔系数都呈一定的非线性变化，因此我们可用非线性回归模型对房家对于我国经济各个方面的影响进行分析。
其中非线性模型可利用回归分析法进行求解。
所谓回归分析法，是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式）。
这是针对实际科学研
究中常遇到不可线性处理的非线性回归问题，提出了一种新的解决方法。
它
是基于回归问题的最小二乘法，在求误差平方和最小的极值问题上，应用了
最优化方法中对无约束极值问题的一种数学解法。
三、模型的建立与求解
问题一：
随机模型假设：
假设1.在一个无交易成本的经济中，住房是同质的并且是无限可分的；
假设2.假定代表性消费者在每期具有两个收入来源，一是非资产性收入I
（t），如工资收入，我们假定它满足：
dl（t）=Ydt,其中丫为常数；
假设3.我们假定他拥有三种资产，无风险资产F、房地产H及除房地产资产
外的其他风险资产S，（如股票），我们用A={F,H,S}来表
示代表性消费者所拥有的资产集；
假设4.R（t）分别为三种资产的即期价格，i€A，并且服从ItO过程（几
何布朗运动）；
假设5.消费者通过按揭贷款来购买住房，并且按揭利率rm为大于零的常
数，首付率为（1-），其中为按揭额度，并且0<<1；
假设6.住房的折旧、日常的维护、物业管理费用及通货膨胀等因素可忽
略。
蛛网模型假设:
假设1.房地产产品具有一定的生产周期；
假设2.房价的计算只考虑生产成本和市场供求；
假设3.理想房价是仅基于成本得到的房价，不考虑供求；
假设4.成本的花费包括地价（地面价格）、建安造价和各种税收；且每
一个周期的地价、建安造价和税费率都维持不变；
假设5.容积率在每个周期维持不变；
假设6.需求量受到本周期的实际房价和理想房价的影响。
实际价格与理
想价格的比值越大，需求量越少；反之，实际价格与理想价格的比值越小，需求量越多；
假设7.供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。
预
测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；反之，预测价格与理想价格的比值越小，供应量越少；
假设8.理想房价=（地价+建安造价）*（1+税费率）；
假设9.供需平衡指：
供应量=需求量。
符号说明：
p：
房价（元/平方米）
p：
理想房价（元/平方米）
Pn:
第n个周期的预测房价（n=1,2,3……）
Pn:
第n个周期的预测房价（n=1,2,3……）
Pe:
需求曲线和供应曲线的交点出的房价
A:
地价（元/平方米）
B：
建安造价（元/平方米）
1：
税率（%）
2：
容积率（%）
d
Qn:
第n个周期，居民对房子的需求量（n=1,2,3……）
Qn:
第n个周期，地产商的供应量（n=1,2,3……）
随机模型的建立:
我们首先从离散时间的情形出发，假定消费者t期的财富为W（t）和资产价格
Pi在t期开始时是已知的，并定义M（t）为t期内,即t期到t+h期间（h>0）购买资产啲数量（Nh（t）=H（t））,假定消费者进入t期开始时拥有投资于各种资产的财富，并
（1）
Ni（t）具有
h）h
（2）
满足：
WNi^PB
iA
这样t期的消费C（t），住房首付率及按揭贷款的利率支付与资产拥有量
如下关系:
C（t）h
（1）pH（th）H（th）hrmPH（th）H（t
[Ni（t）Ni（th）]Pi（t）,
iA
因此，可以得到:
C（t）h
（1）pH（t）H（t）hrmPH（t）H（t）h
[Ni（th）Ni]Pi（th）
iA
[Ni（th）Ni（t）][Pi（th）Pi（t）]
iA
[Ni（th）Ni（t）]Pi（t）
iA
当h趋向于0时，
（1）式及（3）式可以变为：
WNi（t）Pi（t）,
iA
C（t）dt
（1）pH（t）H（t）dtrmPH（t）H（t）dt
dNi（t）dHi（t）dNi（t）?
Pi（t）
iAiA
对（4）式中的W（t）取微分，并由It。
引理可以得到
dW（t）Ni（t）Pi（t）dNi（t）?
Pi（t）dNi（t）dPi（t）.
iAiAiA
（6）式中的最后两项dNi（t）?
Pi（t）dNi（t）dPi（t）可以看成从非资本
iAiA
性收入中新增长财富的净值（它可以为负）。
即
dI（t）C（t）dt
（1）pH（t）H（t）dtrmPH（t）H（t）dt
dNi（t）?
PidNi（t）dPi（t）（7）
iAiA
因此我们可以得到代表性消费者的预算方程
dW（t）Ni（t）Pi（t）dI（t）C（t）dt
iA（8
（1）pH（t）H（t）dtrmPH（t）H（t）dt.
令ni（t）Ni（t）R（t）/W（t）,iA，则为n（t）为t期消费者所拥有
资产i的价值占总财富额的份额，由定义可知ni（t）1。
为了方便起见，我
iA
们省去时间标记t，这样便可以得到消费者的预算约束：
dW[rFnFWrSnSWrHnHWY
（1）nHWrmnHWC]dt
nSSWdzSnHHWszH.
（9）
假定代表性消费者的时间偏好率为n，因此，对于具有无限期界的代表性
消费者而言,其最优的资产组合选择和消费选择问题可以表述如下:
Cm,Ha,xnE00U（C（t）,H（t））etdt,
C,H,ni0
（10）
s.t.W（0）W0,
（11）
dW[rFnFWrSnSWrHnHWY
（1）nHWrmnHWC]dt
nSSWdzSnHHWszH.
（12）
ni（t）1.（13）
iA
随机模型的解：
我们运用动态规划方法来求解问题（12）—（15）,我们首先定义值函数:
J（W,t）maxEtU（C,H）E（st）ds,（14）
C,H,ni,iAt0
并令
rmnHWC，可以得到
Hamilton-Jacobi-Bellman方程:
0max[U（C,H）]
C,H,ni,iA
V
gVW
1（『S2S2nSnHS
2
2
hnh
2h）W2Vww]
（15）
定义：
（n,C,H;W,t）
U（C,H）
VgVW
（16）
122
（nsS2nSnHSH
2
2nh
2h）W2Vww
.
由问题的假设条件，存在
n
、C、
H满足（15）
0CmaxA{（n,C,H,w,t）}
C,H,ni,iA
（n*,C*,H*;W,t）,t.
我们定义Lagrangian函数：
其中，在问题（10）-（13）中，动态均衡时房地产价格的决定方程为:
蛛网模型的建立：
有上面的假设可以得到一个这样的价格系统，成本决定理想价格；理想价格和房价决定需求量；理想价格和地产商的预测价格决定供应量；需求量和供应量有共同决定房价。
成本
理想价格
求S
需数
求理想房价p:
首先,
其次,
最后,
将底价A转化为楼面地价C,其公式为:
根据理想房价的求法得出其表达式:
P（1i）（BC）②
将公式
（1）
代入公式
（2），整理可得:
（1
i）
（11）△
2
a,（1
i）
从公式③和④中，可以看出:
a和b为不为正常数，则可得:
第一，地价与理想房价之间为线性正相关关系；
第二，地价与理想房价之间影响的程度因建安成本、税费率和容积率的不同而不同；
第三，从某种角度上讲，理想房价就是成本费用的体现；根据假设4中，
成本不变，所以理想房价也维持不变。
将理想房价引入供求系统。
一.需求函数
根据假设6:
需求量受到本周期的实际房价和理想房价的影响。
实际价格与理想价格的比值越大，需求量越少；反之，实际价格与理想价格的比值越小，需求量越多。
证明假设的合理性：
取极限法，实际价格与理想价格的比值为无穷大，那么实际的价格就是无穷大，就没有人需要，因为都买不起；反之，比值为0，白送的房子你不要吗？
需求量自然就大。
所以，我们的假设是合理的。
需求方程:
Pn
P
其中和为正常数，P为理想价格，需求函数斜率为一
P
根据假设7:
供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。
预测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；反之，预测价格与理想价格的比值
越小，供应量越少
证明假设的合理性：
因为房屋的供应量由地产商所决定的，地产商在决定提供多少房屋之前，首先关心的是自己是否能够盈利，能够盈利多少，因此，地产商总会根据前几周期的价格预测下一周期的价格，再将预测的价格与成本（理想价格）比较，最终确定供应数量。
所以，假设合理。
地产商的预测和比较方法各异，为了简化起见，采用如下预测和比较方法：
预测价格为：
PnPn1（Pn1Pn2）
表明：
本期的价格是上一期的实际价格加上一个修正量，为修正系数⑸
比较方法：
预测价格与成本（理想价格）的比值越大，利润越高，供应量越大。
其中和是正常数，P为理想价格，供应函数斜率为近似为一
P
二.供需平衡方程：
Qn
Qn
即
Pn
Pn1
（Pn1Pn2）
P
P
整理后得到
Pn-
（1
）一
Pn1
-Pn2
P
蛛网模型的求解:
先求出方程的特解:
设方程的一个特解为，将其带入方程后得到等式
（1）
解得:
再求通解:
特征方程:
（1）n1
2
（1）
显然，0为其中的一个解
如果令:
远离Pe。
其中ki和k2两个任意常数，由具体情况决定。
将
1
p（1i）B——-A带入得
2
nn
Pnkiik22
11
-[（11）B1A]
2
由以上得到的房价的表达式：
分析Pnk--k22
11
——[（11）B1A]
2
根据以上的公式推导，综合所查部分代表性城市数据，如下表所示
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
北京
4747
6162
7375
10661
11648
13224
22310
上海
5761
6698
7039
8253
8115
12364
19168
天津
2950
3987
4649
5811
5598
6605
8958
重庆
1573
1901
2081
2588
2640
3266
5720
济南
2831
2993
3319
3720
4155
4790
7760
郑州
2004
2387
2691
3328
3598
4057
5689
西安
2394
2686
3073
3215
3768
3749
5398
无锡
2706
2964
3316
3526
4253
5160
7843
洛阳
1654
1956
2189
2564
3106
3524
4207
包头
1095
1356
1685
2106
2568
3016
3560
用matlab软件进行数据的处理（具体求解过程见附录2）：
1-
w
y\
/■、
才I再矿I
根据上面的问题分析，可以得出如下结论：
第一.成本与房价为正相关关系。
成本越多，房价越高，反之依然；
第二.供求变化对房价的波动与蛛网模型的结论一样，也有三种形式（见附
录）；
第三.地产商对价格的预测影响着价格。
第四.房价的合理性综合决定于成本、供求变化和地产商等因素。
问题二：
模型的假设：
假设1.选取的数据是北京市2000-2009年房产的完全均价；
假设2.索取数据不考虑政策等各种人文因素的干扰；
假设3.数据的波动属于合理的范围内；
假设4.“信息不完全”是绝对的。
模型的符号说明:
a:
待估参数向量；
X:
原始数据序列；
10
X:
X的生成数据序列；
Z
11
:
X的紧邻均值生成；
y?
:
X1的模拟值序列；
:
为X0的模拟值序列；
iSi:
X的灰色关联度；
灰色模型的建立：
灰色GM（1,1）模型
设原始数据序列X°（k）（k=1,2,3…..p）,则
ak
X
（1）（k+1）=（X0
（1）—u/a）e+u/a
令丫住）=X
（1）（k1）X⑴（k）
式中:
a特定的参数;
内生变量;
Y（k）——k时刻按GM（1,1）模型求得的原始数据的预测值。
Y（k）曲线反映了原始数据列的总变化趋势。
1.2状态划分
划分状态就是一丫（k）曲线为基准，划分成与丫（k）曲线平行的若干条形区域，每一条形区域构成了一个状态。
对于一个符合马氏链特点的非平稳随机序列丫（k）,Y（k）=X（0）（k1）,可
根据具体情况划分为n个状态，其任一状态i可表达为
i=1i，2iii
ii=Y（k）+Ai2i=Y（k）+B（i=1,2,••…n）
由于丫（k）是时间k的函数，因而灰元ii,2i也随时序变化。
即i具有动态性。
关于i的含义、状态划分数目n和灰元1i，2i确定，可根据研究对象和原始数据数目来确定。
1.3计算状态转移概率矩阵
PjMij（m）/Mi（i,j=1.2…）
式中Mij（m）为由状态i，经过m步转移到状态j的原始数据样本数；Mi为处于状态i的原始数据样本数。
状态转移概率矩阵为
P11P12（m）...P1n（m）
R（m）=
P21P22（m）...P2n（m）
Pn1Pn2（m）...Pnn（m）
R（m）反映了系统各状态之间转移的规律。
状态转移概率Pj（m）反映了
由状态i经过m步转移到状态j的概率。
这是马尔可夫概率矩阵预测的基础。
通过考察R（m）,则可预测系统未来状态的转向
一般只要考察一步转移概率矩阵R
（1），设预测对象处于k状态，则考察矩阵R
（1）中的第k行，若maxjPj
（1）=P“
（1），则可认为，下一时刻系统最有可能由k状态转向i状态。
1.4确定预测值的变动区间和预测值
通过考察一步转移概率矩阵，确定了系统未来的转移状态后，也就确定了灰元1i，2i，即确定了预测值的变动区间为1i,2i。
最可能的预测值丫（k）预测值可由下式计算：
Y（k）预测值=（ii+2i）/2由以上公式可得Y（k）预测值=Y（k）+（AiBi）/2
2.应用模型分析预测房地产价格我们利用网络资源，在中国统计年鉴上查得北京、上海、天津、济南、重庆、包头等城市的往年房价数据，表格如下
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
北京
4747
6162
7375
10661
11648
13224
22310
上海
5761
6698
7039
8253
8115
12364
19168
天津
2950
3987
4649
5811
5598
6605
8958
重庆
1573
1901
2081
2588
2640
3266
5720
济南
2831
2993
3319
3720
4155
4790
7760
郑州
2004
2387
2691
3328
3598
4057
5689
西安
2394
2686
3073
3215
3768
3749
5398
无锡
2706
2964
3316
3526
4253
5160
7843
洛阳
1654
1956
2189
2564
3106
3524
4207
包头1095135616852106256830163560
我们以上海市为例来说明模型的建立与求解。
应用灰色一马尔柯夫预测模型，根据以往的房地产交易价格，可以比较准确
地推算出将来的市场价格。
表1表示上海市从2001年1月至2010年的交易价格，共10组数据，每一个数据是该年内交易价格的平均值，例如1号数据是2001年房价平均值，其他依次类推。
表
年份
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
房价
5761
6698
7039
8253
8115
12364
19168
2.1建立GM（1,1）模型
（1）作AGO生成
k
X⑴（k）=X（0）（m）
m1
求得X⑴（k）如表2所示
K
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
X
（1）（k）
5761
12459
19498
27751
35866
48230
67428
（2）确定数据矩阵
升级会员 