初中几何常见辅助线作法50种.docx
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初中几何常见辅助线作法50种
初中常见辅助线作法
任何几何题目都需分析题目条件和结论找到解题思路，本讲从常见的条件和结论出发说明50种辅助线作法，分三角形部分、四边形部分、解直角三角形部分、圆。
每种辅助线作法均配备了例题和练习。
三角形部分
1．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.
例：
如图，已知D、E为△ABC内两点，求证：
AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
证法
（一）：
将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N
在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE①
在△BDM中，MB＋MD＞BD②
在△CEN中，CN＋NE＞CE③
①＋②＋③得
AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE
证法
（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G,
在△ABF和△GFC和△GDE中有，
①AB＋AF＞BD＋DG＋GF
②GF＋FC＞GE＋CE
③DG＋GE＞DE
∴①＋②＋③有
AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE
注意：
利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.
练习：
已知：
如图P为△ABC内任一点，
求证：
（AB＋BC＋AC）＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC
2.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.
例：
已知D为△ABC内任一点，求证：
∠BDC＞∠BAC
证法
（一）：
延长BD交AC于E，
∵∠BDC是△EDC的外角，
∴∠BDC＞∠DEC
同理：
∠DEC＞∠BAC
∴∠BDC＞∠BAC
证法
（二）：
连结AD，并延长交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角，
∴∠BDF＞∠BAD
同理∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：
∠BDC＞∠BAC
3.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.
例：
已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1=∠2，∠3=∠4，
求证：
BE＋CF＞EF
证明：
在DA上截取DN=DB，连结NE、NF，则DN=DC
在△BDE和△NDE中，
DN=DB
∠1=∠2
ED=ED
∴△BDE≌△NDE
∴BE=NE
同理可证：
CF=NF
在△EFN中，EN＋FN＞EF
∴BE＋CF＞EF
4.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.
例：
已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：
BE＋CF＞EF
证明：
延长ED到M，使DM=DE，连结CM、FM
△BDE和△CDM中，
BD=CD
∠1=∠5
ED=MD
∴△BDE≌△CDM
∴CM=BE
又∵∠1=∠2，∠3=∠4
∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180o
∴∠3＋∠2=90o
即∠EDF=90o
∴∠FDM=∠EDF=90o
△EDF和△MDF中
ED=MD
∠FDM=∠EDF
DF=DF
∴△EDF≌△MDF
∴EF=MF
∵在△CMF中，CF＋CM＞MF
BE＋CF＞EF
（此题也可加倍FD，证法同上）
5.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.
例：
已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：
AB＋AC＞2AD
证明：
延长AD至E，使DE=AD，连结BE
∵AD为△ABC的中线
∴BD=CD
在△ACD和△EBD中
BD=CD
∠1=∠2
AD=ED
∴△ACD≌△EBD
∵△ABE中有AB＋BE＞AE
∴AB＋AC＞2AD
6.截长补短作辅助线的方法
截长法：
在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：
延长较短线段和较长线段相等.
这两种方法统称截长补短法.
当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：
①a＞b
②a±b=c
③a±b=c±d
例：
已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任一点，
求证：
AB－AC＞PB－PC
证明：
⑴截长法：
在AB上截取AN=AC，连结PN
在△APN和△APC中，
AN=AC
∠1=∠2
AP=AP
∴△APN≌△APC
∴PC=PN
∵△BPN中有PB－PC＜BN
∴PB－PC＜AB－AC
⑵补短法：
延长AC至M，使AM=AB，连结PM
在△ABP和△AMP中
AB=AM
∠1=∠2
AP=AP
∴△ABP≌△AMP
∴PB=PM
又∵在△PCM中有CM＞PM－PC
∴AB－AC＞PB－PC
练习：
1.已知，在△ABC中，∠B=60o,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O
求证：
AC=AE＋CD
2.已知，如图，AB∥CD∠1=∠2,∠3=∠4.
求证：
BC=AB＋CD
7.条件不足时延长已知边构造三角形.
例：
已知AC=BD，AD⊥AC于A，BCBD于B
求证：
AD=BC
证明：
分别延长DA、CB交于点E
∵AD⊥ACBC⊥BD
∴∠CAE=∠DBE=90o
在△DBE和△CAE中
∠DBE=∠CAE
BD=AC
∠E=∠E
∴△DBE≌△CAE
∴ED=EC，EB=EA
∴ED－EA=EC－EB
∴AD=BC
8.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.
例：
已知，如图，AB∥CD，AD∥BC
求证：
AB=CD
证明：
连结AC（或BD）
∵AB∥CD，AD∥BC
∴∠1=∠2
在△ABC和△CDA中，
∠1=∠2
AC=CA
∠3=∠4
∴△ABC≌△CDA
∴AB=CD
练习：
已知，如图，AB=DC，AD=BC，DE=BF，
求证：
BE=DF
9.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
可归结为“垂直加平分出等腰三角形”.
例：
已知，如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E
求证：
BD=2CE
证明：
分别延长BA、CE交于F
∵BE⊥CF
∴∠BEF=∠BEC=90o
在△BEF和△BEC中
∠1=∠2
BE=BE
∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC
∴CE=FE=
CF
∵∠BAC=90o,BE⊥CF
∴∠BAC=∠CAF=90o
∠1＋∠BDA=90o
∠1＋∠BFC=90o
∠BDA=∠BFC
在△ABD和△ACF中
∠BAC=∠CAF
∠BDA=∠BFC
AB=AC
∴△ABD≌△ACF
∴BD=CF
∴BD=2CE
练习：
已知，如图，∠ACB=3∠B，∠1=∠2,CD⊥AD于D，
求证：
AB－AC=2CD
10.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.
例：
已知，如图，AC、BD相交于O，且AB=DC，AC=BD，
求证：
∠A=∠D
证明：
（连结BC，过程略）
11.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.
例：
已知，如图，AB=DC，∠A=∠D
求证：
∠ABC=∠DCB
证明：
分别取AD、BC中点N、M，
连结NB、NM、NC（过程略）
12.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.
例：
已知，如图，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，
求证：
∠BAP＋∠BCP=180o
证明：
过P作PE⊥BA于E
∵PD⊥BC，∠1=∠2
∴PE=PD
在Rt△BPE和Rt△BPD中
BP=BP
PE=PD
∴Rt△BPE≌Rt△BPD
∴BE=BD
∵AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE
∴AE=CD
∵PE⊥BE，PD⊥BC
∠PEB=∠PDC=90o
在△PEA和△PDC中
PE=PD
∠PEB=∠PDC
AE=CD
∴△PEA≌△PDC
∴∠PCB=∠EAP
∵∠BAP＋∠EAP=180o
∴∠BAP＋∠BCP=180o
练习：
1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，
PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求证：
BP为∠MBN的平分线
2.已知，如图，在△ABC中，∠ABC=100o，∠ACB=20o，CE是∠ACB的平分线，D是AC上一点，若∠CBD=20o，求∠CED的度数。
13.有等腰三角形时常用的辅助线
⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线
例：
已知，如图，AB=AC，BD⊥AC于D，
求证：
∠BAC=2∠DBC
证明：
（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1=∠2=
∠BAC
又∵AB=AC
∴AE⊥BC
∴∠2＋∠ACB=90o
∵BD⊥AC
∴∠DBC＋∠ACB=90o
∴∠2=∠DBC
∴∠BAC=2∠DBC
（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）
（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）
⑵有底边中点时，常作底边中线
例：
已知，如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：
DE=DF
证明：
连结AD.
∵D为BC中点，
∴BD=CD
又∵AB=AC
∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题
例：
已知，如图，△ABC中，AB=AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE=AF，求证：
EF⊥BC
证明：
延长BE到N，使AN=AB,连结CN,则AB=AN=AC
∴∠B=∠ACB,∠ACN=∠ANC
∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC=180o
∴2∠BCA＋2∠ACN=180o
∴∠BCA＋∠ACN=90o
即∠BCN=90o
∴NC⊥BC
∵AE=AF
∴∠AEF=∠AFE
又∵∠BAC=∠AEF＋∠AFE
∠BAC=∠ACN＋∠ANC
∴∠BAC=2∠AEF=2∠ANC
∴∠AEF=∠ANC
∴EF∥NC
∴EF⊥BC
⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
例：
已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F
求证：
DF=EF
证明：
（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB=∠ACB，∠NDE=∠E，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB
∴∠B=∠DNB
∴BD=DN
又∵BD=CE
∴DN=EC
在△DNF和△ECF中
∠1=∠2
∠NDF=∠E
DN=EC
∴△DNF≌△ECF
∴DF=EF
（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB=∠B（过程略）
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线
例：
已知，如图，△ABC中，AB=AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD=AE，连结DE
求证：
DE⊥BC
证明：
（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则
∠AFE=∠B
∠AEF=∠C
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠AFE=∠AEF
∵AD=AE
∴∠AED=∠ADE
又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE=180o
∴2∠AEF＋2∠AED=90o
即∠FED=90o
∴DE⊥FE
又∵EF∥BC
∴DE⊥BC
（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略）
（证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略）
⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形
例：
已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80o,P为形内一点，若∠PBC=10o∠PCB=30o求∠PAB的度数.
解法一：
以AB为一边作等边三角形，连结CE
则∠BAE=∠ABE=60o
AE=AB=BE
∵AB=AC
∴AE=AC∠ABC=∠ACB
∴∠AEC=∠ACE
∵∠EAC=∠BAC－∠BAE
=80o－60o=20o
∴∠ACE=
（180o－∠EAC）=80o
∵∠ACB=
（180o－∠BAC）=50o
∴∠BCE=∠ACE－∠ACB
=80o－50o=30o
∵∠PCB=30o
∴∠PCB=∠BCE
∵∠ABC=∠ACB=50o,∠ABE=60o
∴∠EBC=∠ABE－∠ABC=60o－50o=10o
∵∠PBC=10o
∴∠PBC=∠EBC
在△PBC和△EBC中
∠PBC=∠EBC
BC=BC
∠PCB=∠BCE
∴△PBC≌△EBC
∴BP=BE
∵AB=BE
∴AB=BP
∴∠BAP=∠BPA
∵∠ABP=∠ABC－∠PBC=50o－10o=40o
∴∠PAB=
（180o－∠ABP）=70o
解法二：
以AC为一边作等边三角形，证法同一。
解法三：
以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则
EB=EC=BC，∠BEC=∠EBC=60o
∵EB=EC
∴E在BC的中垂线上
同理A在BC的中垂线上
∴EA所在的直线是BC的中垂线
∴EA⊥BC
∠AEB=
∠BEC=30o=∠PCB
由解法一知：
∠ABC=50o
∴∠ABE=∠EBC－∠ABC=10o=∠PBC
∵∠ABE=∠PBC,BE=BC,∠AEB=∠PCB
∴△ABE≌△PBC
∴AB=BP
∴∠BAP=∠BPA
∵∠ABP=∠ABC－∠PBC=50o－10o=40o
∴∠PAB=
（180o－∠ABP）=
（180o－40o）=70o
14.有二倍角时常用的辅助线
⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角
例：
已知，如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=2∠C，
求证：
AB＋BD=AC
证明：
延长AB到E，使BE=BD，连结DE
则∠BED=∠BDE
∵∠ABD=∠E＋∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∵∠ABC=2∠C
∴∠E=∠C
在△AED和△ACD中
∠E=∠C
∠1=∠2
AD=AD
∴△AED≌△ACD
∴AC=AE
∵AE=AB＋BE
∴AC=AB＋BE
即AB＋BD=AC
⑵平分二倍角
例：
已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC=2∠DBC
求证：
∠ABC=∠ACB
证明：
作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE=∠CAE=∠DBC
∵BD⊥AC
∴∠CBD＋∠C=90o
∴∠CAE＋∠C=90o
∵∠AEC=180o－∠CAE－∠C=90o
∴AE⊥BC
∴∠ABC＋∠BAE=90o
∵∠CAE＋∠C=90o
∠BAE=∠CAE
∴∠ABC=∠ACB
⑶加倍小角
例：
已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC=2∠DBC
求证：
∠ABC=∠ACB
证明：
作∠FBD=∠DBC,BF交AC于F（过程略）
15.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.
例：
已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E
求证：
BF=
FC
证明：
连结AF，则AF=BF
∴∠B=∠FAB
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠BAC=120o
∴∠B=∠C∠BAC=
（180o－∠BAC）=30o
∴∠FAB=30o
∴∠FAC=∠BAC－∠FAB=120o－30o=90o
又∵∠C=30o
∴AF=
FC
∴BF=
FC
练习：
已知，如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC延长线于N
求证：
BM=CN
16.有垂直时常构造垂直平分线.
例：
已知，如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D
求证：
CD=AB＋BD
证明：
（一）在CD上截取DE=DB，连结AE，则AB=AE
∴∠B=∠AEB
∵∠B=2∠C
∴∠AEB=2∠C
又∵∠AEB=∠C＋∠EAC
∴∠C=∠EAC
∴AE=CE
又∵CD=DE＋CE
∴CD=BD＋AB
（二）延长CB到F，使DF=DC，连结AF则AF=AC（过程略）
17.有中点时常构造垂直平分线.
例：
已知，如图，在△ABC中，BC=2AB,∠ABC=2∠C,BD=CD
求证：
△ABC为直角三角形
证明：
过D作DE⊥BC，交AC于E，连结BE，则BE=CE，
∴∠C=∠EBC
∵∠ABC=2∠C
∴∠ABE=∠EBC
∵BC=2AB，BD=CD
∴BD=AB
在△ABE和△DBE中
AB=BD
∠ABE=∠EBC
BE=BE
∴△ABE≌△DBE
∴∠BAE=∠BDE
∵∠BDE=90o
∴∠BAE=90o
即△ABC为直角三角形
18.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.
例：
已知，如图，在△ABC中，∠A=90o，DE为BC的垂直平分线
求证：
BE2－AE2=AC2
证明：
连结CE，则BE=CE
∵∠A=90o
∴AE2＋AC2=EC2
∴AE2＋AC2=BE2
∴BE2－AE2=AC2
练习：
已知，如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC，P为BC上一点
求证：
PB2＋PC2=2PA2
19.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.
例：
已知，如图，在△ABC中，∠B=45o，∠C=30o，AB=
，求AC的长.
解：
过A作AD⊥BC于D
∴∠B＋∠BAD=90o，
∵∠B=45o，∠B=∠BAD=45o，
∴AD=BD
∵AB2=AD2＋BD2，AB=
∴AD=1
∵∠C=30o，AD⊥BC
∴AC=2AD=2
四边形部分
20.有平行线时常作平行线构造平行四边形
例：
已知，如图，Rt△ABC，∠ACB=90o，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB交BC于H
求证：
CE=BH
证明：
过F作FP∥BC交AB于P，则四边形FPBH为平行四边形
∴∠B=∠FPA，BH=FP
∵∠ACB=90o，CD⊥AB
∴∠5＋∠CAB=45o，∠B＋∠CAB=90o
∴∠5=∠B
∴∠5=∠FPA
又∵∠1=∠2，AF=AF
∴△CAF≌△PAF
∴CF=FP
∵∠4=∠1＋∠5，∠3=∠2＋∠B
∴∠3=∠4
∴CF=CE
∴CE=BH
练习：
已知，如图，AB∥EF∥GH，BE=GC
求证：
AB=EF＋GH
21.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段.
例：
已知，如图，在□ABCD中，AB=2BC，M为AB中点
求证：
CM⊥DM
证明：
延长DM、CB交于N
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∴∠A=∠NBA∠ADN=∠N
又∵AM=BM
∴△AMD≌△BMN
∴AD=BN
∴BN=BC
∵AB=2BC，AM=BM
∴BM=BC=BN
∴∠1=∠2，∠3=∠N
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N=180o，
∴∠1＋∠3=90o
∴CM⊥DM
22.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.
例：
已知，如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE=ED，P为对角线BD上一点，PF⊥BE于F，PG⊥AD于G
求证：
PF＋PG=AB
证明：
证法一：
过P作PH⊥AB于H，则四边形AHPG为矩形
∴AH=GPPH∥AD
∴∠ADB=∠HPB
∵BE=DE
∴∠EBD=∠ADB
∴∠HPB=∠EBD
又∵∠PFB=∠BHP=90o
∴△PFB≌△BHP
∴HB=FP
∴AH＋HB=PG＋PF
即AB=PG＋PF
证法二：
延长GP交BC于N，则四边形ABNG为矩形，（证明略）
23.直角三角形常用辅助线方法：
⑴作斜边上的高
例：
已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交于点E
求证：
AC=CE
证明：
过A作AF⊥BD，垂足为F，则AF∥EG
∴∠FAE=∠AEG
∵四边形ABCD为矩形
∴∠BAD=90oOA=OD
∴∠BDA=∠CAD
∵AF⊥BD
∴∠ABD＋∠ADB=∠ABD＋∠BAF=90o
∴∠BAF=∠ADB=∠CAD
∵AE为∠BAD的平分线
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE－∠BAF=∠DAE－∠DAC
即∠FAE=∠CAE
∴∠CAE=∠AEG
∴AC=EC
⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：
①有斜边中点时
例：
已知，如图，AD、BE是△ABC的高，F是DE的中点，G是AB的中点
求证：
GF⊥DE
证明：
连结GE、GD
∵AD、BE是△ABC的高，G是AB的中点
∴GE=
AB，GD=
AB
∴GE=GD
∵F是DE的中点
∴GF⊥DE
②有和斜边倍分关系的线段时
例：
已知，如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且DA⊥BA于A，AC=
BD
求证：
∠ACB=2∠B
证明：
取BD中点E，连结AE，则AE=BE=
BD
∴∠1=∠B
∵AC=
BD
∴AC=AE
∴∠ACB=∠2
∵∠2=∠
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