不定方程初二及答案.docx
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不定方程初二及答案
2010年2月希望杯数学冬令营上课材料初二
不定方程
一、赛点分析
1、两个变量的不定方程axbyc,其中a,b,c为整数，且a,b都不为0,则有以下性质:
（1）不定方程有整数解的充要条件是（a,b）|c；
2、解不定方程（组）需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用一下知识与方法：
奇数偶数、整数的整除性、整系数分离法、因式分解、配方利用非负数性质、乘法公式、不等分析等。
二、例题精讲
例1、求方程4x5y21的整数解。
4k代入已知方程得x5（14k）k45k。
x45k
所以（k为整数）是方程的整数解，
y14k
并且当k取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。
变式1、求方程7x4y100的正整数解。
x4
x44t士
解：
通过观察得方程的一个特解：
•万程的通解是
（t为整数），
y18
y187t
4
4t1
3
17
•/x、y为正整数，•
-t
18
7t1
4
7
•/t为整数，•••t0,1或2，将它们分别代入通解,
•••t1或0,二原方程的正整数解为
25
共花了142元，问两种纪念册最少共买了多少本?
7y142，
解：
设小明买了x本小纪念册，y本大纪念册，则有5x
1422v
再设xya，•5a2y142,a十
•••a是正整数，y的值越大，a的值越小，0y20,
•依次取y=20,19,18,17代入a1422y试算，a都不是正整数。
5
变式1:
小燕付出了14.85元买了A、B两种卡片，A卡片的单价是2.16元，B卡片的单价
是4.23元。
问小燕共买了多少张卡片？
解：
设小燕买了A、B两种卡片的张数分别为x、y，则2.16x4.23y14.85,
•24x47y165，可知：
y是奇数，y是3的倍数；
•••当y3时，x1;当y9时，显然不合题意;
•小燕共买了4张卡片.
例3、（中国百鸡问题）鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。
百钱买百鸡,
问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
xyz100
5x3y-
3
消去z得：
7x
100
4y100,
显然x0,y
25是方程的一个特解，
•通解为x
y
4t
（t为整数），
257t
于是有z100
xy1004t（25
7t）753t
由x,y,z0,
4t0
即257t0
且t为整数可得t0,
1,2,
3,将t的值代入通解得
753t0
（X,y,z）=（0,25,75）,（4,18,78）,（8,11,81）,（12,4,84）。
变式1:
旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其
中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅行
团共住满了20间客房，问三种客房各住几间？
怎样消费最低？
解：
三人间、二人间、单人间分别为
x、y
、z间，
则有
xyz20口
x
10
z
得
这里x、
y、
z都是非负数,
3x2yz50
y
10
2z
由于y102z0,/
•0
z
5,•
z只能取
0,
1,2,3,4,
•••（X,y,z）=（10,10,0）,（11,8,1）,（12,6,2）,
（13,4,3）,（14,2,4）,（15,0,5）。
•/50人住宿的总消费为W60x60y50z120010z,
•••当z5时，即（x,y,z）=（15,0,5）,总消费最低。
•/x、y都是正整数，xy,•••xyxy,
x
y
105
x
y
35
xy
21
xy
13
x
y
1
x
y
3
xy
5
xy
7
x
53
x
19
x13
x
11
y
52
y
16
y8'
y
。
4
A、0
B、1
c、
8
D、无穷
x
y
1
xy
1991
xy
1
C•••（x
y）（x
y）
11
181,•
1
1991’
x
y
1991
xy
xy
xy
1991
x
y
11x
y
181x
y
11
xy
181
xy
1
x
y
181’x
y
11'x
y
181’
xy
11'
变式1、方程x2y2
1991的整数解的个数是（
）
这8个方程组的解均为整数，.••原方程的整数解的个数为8。
-一一一一112变式2、设p是大于2的质数且xy，求方程一一一的正整数解。
xyp
（2x
p）（2y
p）p2
•
p疋大于
2的质数且x
y,
2x
p1
2x
p
2
p•
2
pp
x
2
x
p1
2
2y
2
pp
，2y
p
…
1
yp1'
y
2
pp
y
解：
•-一一Z，/.2xy
xyp
22
变式3、有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数末
尾添一个0，然后加上前、后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数
的个位数字是5,求这个四位数。
解：
设四位数分成的前后两位数分别为a、b，则10aab100ab,
•（a1）（b90）90,•••a0,•b900,
•/b是两位数，且个位数字是5,「.b95，贝Ua118,•a19。
故所求的四位数是1995.
变式4、（2009年全国初中数学竞赛试题）关于x,y的方程x2xy2y229的整数解
（x，y）的组数为（）.
A、2组B、3组C、4组D、无穷多组
解：
可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2yx（2y229）0.
由于该方程有整数根，则判别式>0，且是完全平方数.
2222116由y4（2y29）7y116>0，解得y<16.57.于是
2y
0
1
4
9
16
116
109
88
53
4
显然，只有y216时，4是完全平方数，符合要求.
当y4时，原方程为x24x30，此时x11,x2
1凶
当y=—4时，原方程为x24x30，此时x3
易知x
10，
x
•-y
x1
2x
x1
1
，:
x,y都是整数，•
x1
•x11
c,x
2
x
0
•••x
2或x
0,从而
。
y
8
y
0
tx当
2时,
代入yax
b得:
:
2a
b80;
y8
当x0时，代入yaxb得：
b0。
y0
综上所述，a,b满足的关系式是2ab80或b0（a为任意实数）
x3
变式1、方程y0的整数解有（）
x1
A、1组B、2组C、3组D、4组
x32
Dy1为整数，•••x11,2，解得x0,2,1,3，故有4组。
x1x1
、、111
变式2、求方程的正整数解。
xy2
•原方程的正整数解为
解：
首先y必须是偶数。
否则，由
例6、求方程xy1z的质数解。
xy1能被x1整除，且xy1x11,
可知xy1可以分解，即xy1不等于质数z，但y又是质数，得y2；
•-zx212215,•••z为奇质数，于是x2z1为偶数，•x2,z5,故原方程的质数解是x2,y2,z5。
一22
变式1、方程x2y1的质数解是。
x32
•/1为奇数，2y2为偶数，•x必为奇数，令x2m1,
y2
由x2（2m1）24（m2m）14n1（m,n为正整数），可得：
4n12y21,
2
•y2n,.••y为偶数，又ty为质数，•y2，从而x3。
变式2、求证对于任意自然数n，方程x213yn0无整数解。
证明：
当
当
设x3k,3k1,3k2（k为自然数）
当x3k时，原方程化为9k213yn0,即3（yn3k2）1，这是不可能的;
当x3k1时，3（yn3k22k）2，这是不可能的；
三、能力训练：
1、（2000希望杯）若a,b均为正整数，且2ab,2ab10,则b的值为（D）
A、一切偶数B、2或4或6或8C、2或4或6D、2或4
2、（2006希望杯）方程xyz7的正整数解有（C）
A、10组B、12组C、15组D、16组
3、方程（x1）2（y2）21的整数解有（C）
A、1组B、2组C、4组D、无数组
4、（2005年希望杯）购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，
作业本4个，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需（B）
A.4.5元
B.5元C.6元
D.6.5元
5、方程6y6xxy
0的正整数解的个数是（
）
A、1B、2
C、3D、4
c36
Dx6-
tx,y均为正整数，•••-36-
6且6y是36的正约数，
6y
6y
从而6y9,12,18,36，解得y3,6,12,30，二
•原方程的正整数解有4个。
22
6、满足方程xy
3
x的正整数对（x,y）的个数是（）
A、0B、1
C、2D、无限个
22
Dtxyx
322
•yx（x1），•只要x
1为自然数的平方，
则方程必有整数解，
故方程有无限个正整数解。
7、有一个三位数abc，ac，把它的数字次序反过来所成之数被原来的数减时，若差的
个位数是4,则差的另两位数字从右到左为（）
A、不能确定B、5与9C、9与5D、5与4
Cabccba100a10100c10ca,：
差的个位数是4,且ac,
二10ca4,ac6，故100a10100c590，即差是594。
8、方程x23y216的整数解的组数是（B）
A、5B、6C、7D、7组以上
9、三元方程xyz1999的非负整数解的个数有（C）
A、20001999个B、19992000个C、2001000个D、2001999个
10、
11、
12、
13、
14、
15、
16、
17、
18
19、
20、
（2008年希望杯）使方程3x2y200成立的正整数对（x,y）有（B）
A、66个B、33个C、30个D、18个
11一
（2004希望杯）八
（1）班共有35名学生，其中一的男生和-的女生骑自行车上学，那么
23
该班骑自行车上学的学生的人数最少是（D）
A、9B、10C、11D、12
（2003年温州中考题）希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价
值为330元，这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元,那么其中排球有15个。
今有1分、2分和5分的硬币共计15枚，共值5角2分，则三种硬币个数的乘积
是45或80。
（2004希望杯）一个直角三角形的三条边的长均为整数，已知它的一条直角边的长是18,
那么另一条直角边的长有__2_种可能，它的最大值是80.
、、111
（2006年希望杯）方程有4组正整数解。
6xy
4x3y6
已知m是整数，且方程组有整数解，则m的取值为-4,-5,4,-13°
6xmy26
（2000年新加坡竞赛）正整数m、n满足8m9nmn6，则m的最大值为75°
方程x2y2x2y214xy0的整数解是°
x
1卡
x1
•-（xy1）2（xy）20,•••
xy
1
0
或
°
y
1
y1
x
y
0
方程组
333
xyz
3xyz的正整数解是
o
x22（yz）
x
2
y
1
•/3xyz0,
x,y,z为正整数，•••x3y3,
3x
3z
•xy,xz,
z
1
•••2xyz,•••x22（yz）x24x,x4，从第二个方程可知x为偶数,
•••x2,•y1,z1o
21、求所有的三个正整数，满足这三个数的和等于它们的积。
解：
不妨设这三个数为x,y,z，且1xyz，则有xyzxyz,
t1xyz，•xyzxyz3z，•1xy3，xy可取1，2，3。
当xy
1时，
x
1，
y
1，则2z
z无解；
当xy
2时，
x
1，
y
2，则3z
2z，z
3；
当xy
3时，
x
1，
y
3，则4z
3z，z
2y3，不合题意舍去
所有所求的三个数为1，2，3o
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