奥数课程不定方程教案.docx
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奥数课程不定方程教案
不定方程
适用学科
小学数学
适用年级
小学六年级
适用区域
北京
课时时长（分钟）
120
知识点
等式的意义
方程的意义
列表
枚举（一一列举）
教学目标
不定方程的定义、常见题型
教学重点
理解不定方程的定义并能解答相关问题
教学难点
对于不定方程的一些需要辨析内容的训练
教学过程
一、复习预习
当方程中未知数的个数比方程的个数多时，我们就称这样的方程为不定方程。
比如：
3x-4y=6，方程只一个，但未知数却有两个，这就是不定方程。
古希腊著名数学家丢番图曾在其著作《算术》中介绍过关于不定方程，所以不定方程又叫丢番图方程。
很明显，在不定方程3x-4y=6中，x、y的取值有无数个，不定方程的解往往有无数个。
我们这里介绍的不定方程，一般都会有条件限制，比如说上述不定方程中的x、y只能是自然数，这样我们可以根据限制的条件来求出不定方程的解。
所以，解答这类方程，一定要找出题中明显或隐含的限制条件。
同时，我们这里介绍的不定方程，最主要是介绍不定方程在解答应用题方面的作用。
二、知识讲解
考点1系数上的考虑
如7x+11y=276，我们有两种解法，一是变形为：
x=（276-11y）÷7；二是变形为：
y=（276-7x）÷11。
我们对照下这两种解法中的取值情况。
第一种：
Y有0---25种取值可能；而第二种X有39种取值可能，很明显，第一种解法比第二种解法相对来说速度会更快些。
但我们换个角度，由于X、Y都是自然数，由上述两种变形可知，X应是7的倍数，Y应是11的倍数，而1---276中7的倍数有39个，11的倍数有25个，那么，很明显，从倍数上考虑，第二种解法比第一种解法相对来说速度更快些。
所以，在解不定方程时，一定要注意未知数前面的系数，选择恰当的变形来解不定方程。
考点2尾数上的考虑
例如解不定方程5X+4Y=59的自然数解。
和的个位数是9，说明5X的个位数字一定是5，那么X一定取奇数；4Y的个位数字一定是4，那么Y只能是1、4、6、11、14。
这样解的过程就容易多了，速度也上来了。
考点3奇偶性上的考虑
上道例题还可以从数的奇偶性入手考虑。
59是一个奇数，4Y一定是个偶数，那么，5X就一定是个奇数，那么X取值只能取奇数，如1、3、5、、、、等等，也能起到简便解题过程的作用。
考点4倍数关系上的考虑
例如解不定方程2X+3Y=21的自然数解。
我们注意到，21是3的倍数，3Y肯定也是3的倍数，2X=21-3Y，那么2X也应是3的倍数，这样X只能取是3的倍数的数了，如：
0、3、6等等，这样就能起到简化解题过程的作用了。
三、例题精析
【例题1】
【题干】一天，张明问李军的生日，李军说：
“将我生日的月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347。
”你知道李军的生日是几月几日吗？
【答案】解：
设李军生日的月份数为x，生日的日期数为y，列方程：
31x+12y=347
变形后得：
y=
………………………………………………………………
（1）
即y=29-3x+
∵x、y为整数，且1≤x≤12，5x-1能被12整除
x=5
y=16
∴x=5
把x=5代入
（1），得所列方程的整数解为:
答：
李军的生日是5月16日。
【解析】如果设李军生日的月份数为x，生日的日期数为y，则原题实际上就是求不定方程31x+12y=347的正整数解。
【例题2】
【题干】我国古代有一位著名的数学家张丘建，曾经提出并解决了“百钱买鸡”这个有名的数问题：
“一百元买一百只鸡，公鸡五元钱一只，母鸡三元钱一只，小鸡一元钱三只，公鸡、母鸡、小鸡各买几只？
”
【解析】该题共有三个未知数，若设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡z只，根据题意可以建立方程则然后进行分析解答。
【答案】解：
设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡（100-x-y）只，可得方程
5x+3y+
×（100-x-y）=100
化简整理得：
7x+4y=100
由此有：
1≤x≤
即1≤x≤14
注意到100和4y都是4的倍数，而7和4互质，所以x也应是4的倍数，x就是三种可能：
4、8、12。
x=4时，y=18；x=8时，y=11；x=12时，y=4。
所以此题有三个答案：
1.买公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；2.买公鸡8只，母鸡11只，小鸡84只；3.买公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。
【例题3】
【题干】红旗剧场共有座位1000个，排成若干排，总排数大于16，从第二排起，每排比前一排多一个座位。
问：
居场共有多少排座位？
【解析】设剧声共有x排座位，要找到总座位数与排数的关系，还必须设第一排有座位m个，那么第二排有座位（m+1）个，第三排有座位（m+2）个，……，第x排有座位（m+x-1）个，剧场共有座位m+
·x个（想一想，这是怎样得到的）。
因剧场总座位数已知，所以就可以得到有关x和m的一个不定方程。
【答案】解：
设剧场共有x排座排，第一排有m个座位，则第x排有座位（m+x-1）个，
根据题意列方程得：
m+
·x=1000
将方程变为：
因为x,m均为整数，所以x为奇数，且x是1000的约数
∵1000=23×53
∴1000的奇约数只有5，25，125
∵x＞16，∴x=5不合题意
又当x=125时，m=8-62，不合题意
当x=25时，m=28，符合题意
答：
剧场共有25排座位。
【例题4】
【题干】（《小学生数学报》第九届数学竞赛决赛试题）新世纪学校的学生总数是一个三位数，平均每个班36个。
统计员提供的学生总数却比实际总人数少180人。
原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位、十位上的数字对调了。
这个学校学生总数最多是多少人？
【答案】解：
设这个学校学生总人数是abc,
则abc-bac=180
即（100a+10b+c）－（100b+10a+c）=180
化简得a-b=2
这个学校的总人数只能是：
20□，31□，42□，53□，64□，75□，86□，97□。
又知道总人数是36的倍数，直接除以36，可知：
总人数只能是648、756、864或972。
答：
这所学校的学生总人数最多是972人。
【解析】假设这个学校总人数是abc,那么abc-bac=180，化简a－b=2，根据这个不定方程，结合数的整除性，就可以确定这个学校学生的总人数。
四、课堂运用
【基础】
1.求不定方程7x+11y=276的自然数解
【答案】题中不定方程的限制条件就是x、y都是自然数
将不定方程7x+11y=276变形为x=（276-11y）÷7
由于x、y都是自然数，说明276-11y应该是7的倍数，
y可以从最小的自然数1开始试验
经过试验，y可取6、13、20
相对应，x=30、19、8
2.大客车有48个座位，小客车有30个座位。
现有306名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位，需要大、小客车各多少辆？
【答案】方法
（一）列举法
通过画表列举的方法，一一尝试，最终把答案找出来。
方法
（二）假设法
假设全部用小客车，需要10辆，另空出6个座位
由于题目要求不能有空位，所以首先要弄清楚的是换几辆小客车挪出的空位正好能换成大客车，即是48的倍数。
经过尝试，退出3辆小客车，就有3×30+6=96人没座位，正好可乘两辆大客车。
所以，需要大客车2辆，小客车7辆
方法（三）不定方程
由于旅客人数、车辆数都是自然数，所以我们可以列出符合题意的不定方程，并求出它的自然数解。
设需要大客车x辆，小客车y辆
则48x+30y=306即8x+5y=51
Y=（51-8x）÷5
由于y是自然数，所以51-8x应该是5的倍数
我们不难找出：
x=2；y=7
（另注：
在解这个不定方程时，我们还可以从奇偶数的角度来解。
8x是一个偶数，51是个奇数，那么5y肯定是个奇数。
那么5y的个位数字一定是5，由于和是51，可见8x的个位数字一定是6，即x=2或7，把它代入不定方程中，很容易得出：
x=2；y=7）
【巩固】
1.学校里共有12间宿舍，可以住80人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，问中、小宿舍共有多少间？
【答案】设中宿舍x间，小宿舍y间，那么大宿舍就有（12-x-y）间
则8（12-x-y）+7x+5y=80
即x+3y=16
解得：
y=1、x=13或y=2、x=10或y=3、x=7或y=4、x=4或y=5、x=1
由于总的宿舍间数是12间，所以前两种答案不符题意。
即y=3、x=7或y=4、x=4或y=5、x=1
2.某地水费，不超过10吨时，每吨0.45元;超过10吨的,超过部分按每吨0.80元收费;张家比李家多交水费3.30元,如果两家的用水量都是整数吨,问张家和李家各交水费多少元?
（两家所用水量均为整数吨）
【答案】为了便于理解,题中所有单位为元的数字全部转化成以分为单位,这样就没有小数了
由于张家比李家多交水费330分,而330分既不是45的整数倍,也不是80的整数倍,说明一定是张家的用水量超过10吨,而李家的用水量不到10吨.
设张家用水x吨,李家用水y吨,且x>10,y<10,x,y均为自然数
则（x-10）×80+10×45-45y=330
即16x-9y=136
x=（136+9y）/16=8+（8+9y）/16
y可取1、2、3、、、、9，经尝试，只有y=8时，x才是整数，x=13
所以，张家交水费：
10×45+3×80=690（分）=6.9元
李家交水费:
6.9-3.3=3.6元
【拔高】
1.今年,祖父的年龄是小明的6倍,几年后,祖父的年龄将是小明的5倍.又过几年后,祖父的年龄是小明的4倍.求祖父今年多少岁?
【答案】设小明今年x岁,祖父今年就是6x岁,y年后,祖父的年龄是小明的5倍
则5（x+y）=6x+y即x=4y
又设m年后,祖父的年龄是小明的4倍,
则4（x+y+m）=6x+y+m即2x=3y+3m
把x=4y代入2x=3y+3m,
得8y=3y+3m即5y=3my=（3/5）m
由于y是整数,所以m=5、10、15、20、、、
可算出y=3、6、9、12、、、、
那么x=12、24、36、48、、、
那祖父的年龄就是72、144、、、、
很明显，只有当m=5，y=3，x=12时，祖父的年龄是72岁才符合实际。
2.某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。
原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。
后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。
问：
一、二、三等奖的学生各有几人？
【答案】设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。
则
6x+3y+2z＝22
9x+4y+z＝22
由
×2－
，得12x+5y＝22
y＝
x＝1
x只能取1。
y＝2，代入
得z＝5，原方程的解为y＝2
z＝5
故一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。
课程小结
1、在一个问题中，如果未知数的个数多与题目中所给的条件，就会列出未知数比方程的个数多的方程，这样的方程叫做不定方程。
2、不定方程的解题思路是：
给出一个未知数的值，代入求另一个的值。
3、解题步骤：
先根据题目中的条件缩小未知数的范围，再逐个去试验。
课后作业
【基础】
求下面方程组的自然数解。
1.4x+3y－2z＝72.7x+9y+11z＝68
3x+2y+4z＝215x+7y+9z＝52
【答案】
1.
x＝1
y＝3
z＝3
2.x＝3x＝4
y＝4y＝2
z＝1z＝2
【巩固】
1.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是多少？
【答案】
设电话号码的前三位为x,后三位y,第四位为a（a≠0）.由题意有
①
②
①-②,化简得.
当a=1时,x=837,y=692;
当a≥2时,y<0,不合题意.
所以电话号码为8371692.
2.某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工多少人？
【答案】设有女职工x人,男职工y人,那么有孩子
人.这个条件说明3|x+y.
由已知
即
由12|4（x+y）,12|72.
所以12|y,又
≤
.
所以，y=12,x=3.即有女职工3人.
【拔高】
1.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:
获一、二、三等奖的学生各几人?
【答案】设获一、二、三等奖的人数分别为
根据题意有:
①
②
2×②得
③
③-①得
④
解④求得整数解为x=1,y=2.
代入②可求得z=5.
答:
获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.
2.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个?
【答案】设买A种物品a个,B种物品b个,找回100元的m张,10元的n张,则有:
①
②
其中b>a,n<10.
①-②得
③
所以
故
由b>a,n<10知m由此推知n=9,m=1,b=a+9.
代入①式,解得a=3.B=12.
答:
购A物3个,B物12个.
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