第八章机械振动和机械波.docx
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第八章机械振动和机械波
第八章机械振动和机械波
高考要求
知识内容
能力要求
说明
弹簧振子，简谐运动，简谐运动的振幅、周期、频率，简谐运动位移-时间图象
Ⅱ
单摆.在小振幅条件下单摆做简谐运动.周期公式
Ⅱ
振动中的能量转化.简谐运动中机械能守恒
Ⅰ
自由振动和受迫振动的振动频率，共振及常见的应用
Ⅰ
振动在介质中的传播----波.横波和纵波.横波的图象.波长、频率、波速的关系
Ⅱ
波的叠加.波的干涉、衍射现象
Ⅰ
声波超声波及其应用
Ⅰ
多普勒效应
Ⅰ
本章特点
本章知识综合运用运动学、动力学和能的转化及守恒等方面知识，讨论机械振动的运动形式，以及振动在介质中的传播—机械波的特点和规律。
要特别理解波的形成过程和它与振动的区别及联系。
本章是高考的必考内容，题型多以选择题出现，近年来，题目的综合性呈加强趋势，一道题往往考察多个概念和规律。
特别是通过波的图象以及波的图象和振动图象的关系，综合考察对波的理解能力、推理能力和空间想象能力。
第一单元表征振动的物理量简谐运动
知识要点
一．机械振动
1．机械振动的意义
机械振动是指物体或物体的一部分在某一中心位置两侧所做的往复运动
机械振动的特点：
振动的特点是具有运动的重复性、周期性．
产生振动的条件：
振动的物体必须受到回复力的作用；所受的摩擦阻力足够小．
回复力：
物体离开平衡位置时受到指向平衡位置的力叫回复力．它可能是弹簧的弹力，也可能是重力、弹力、摩擦力或它们的分力、合力．其效果是使物体回到平衡位置．如：
单摆的回复力是重力沿切线方向的分力（不能误以为是重力与拉力的合力）．
2．描述振动的物理量
位移x：
由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段.振动的位移是以平衡位置为参考点的，即位移的大小是指物体离开平衡位置的距离，位移的方向总是由平衡位置指向物体某时刻所在的位置．但必须注意：
如果要求物体在某段时间内的位移，则应是该段时间始末位置的距离，方向由初位置指向末位置．而物体在某段时间内的路程，则是该段时间内通过的路途长度（包括往返距离）．
振幅A：
在数值上等于振动物体最大位移的绝对值.表示振动的空间范围，反映振动的强弱.
注意：
①位移是指从起始位置指向终止位置的有向线段，是矢量，振幅是标量.
②物体完成一次全振动经过的路程等于振幅的4倍．全振动是指物体先后两次运动状态（位移、速度）完全相同所经历的过程．不要误解为先后通过同一位置所经过的过程．
周期T、频率f：
物体完成一次全振动所需要的时间为周期，而频率等于单位时间内完成全振动的次数，它们是描述振动快慢的物理量．周期的大小与振幅无关．当周期和频率由系统本身的性质决定时（非受迫振动），叫系统的固有周期和固有频率.
二．.简谐运动
1．简谐运动：
物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动.简谐运动是最简单的振动，研究简谐运动要从物体的受力特征、运动特征和能量特征三个途径着手考虑.
受力特征：
F=－kx.
运动特征：
a=－kx/m
式中的负号表示回复力和加速度的方向与位移的方向相反，总是指向平衡位置.
简谐运动是一种变加速运动.在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处速度为零，加速度最大.
加速度和位移关系图象如图
能量特征：
振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大.简谐运动过程中，动能和势能相互转化，机械能守恒.物体作简谐振动时，通过回复力对物体做功，实现着不同形式能量间的转化．弹簧振子是通过弹簧的弹力做功（单摆是通过重力做功），完成了弹性势能（重力势能）与动能间的转化．其特点是总能量（机械能）是守恒的，其数值等于物体运动到振幅处的弹性势能（单摆最高点的重力势能），也等于物体过平衡位置时的动能．
注意：
①判断简谐运动的依据：
是否满足上述受力特征和运动特征．
②关于平衡位置：
是物体不振动时的静止位置．或者说是回复力（振动方向的合外力）为零的位置，不能说是合外力为零的位置．如单摆过平衡位置时合外力不为零．
③简谐运动的周期性：
物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、速度等矢量都随时间作周期性变化，其变化周期就是简谐运动的周期T，物体的动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为T/2
由于振动具有周期性，有关振动物理量的出现具有重复性．因此解题时要注意到这个特点，考虑是否出现多解问题．
④简谐运动的对称性：
物体的运动以平衡位置o为对称，即对应两个大小相等方向相反的位移x，加速度a,速度v、动量P、能量E的大小也相同；位移的大小相同时,所需的时间也相同．
简谐运动的对称性特征，往往是解题的突破口
2．简谐运动的图象
表示做简谐运动的物体的位移随时间的变化规律．
简谐运动的图象是正弦曲线.表示质点振动过程中各个时刻的位置．它反映质点的位移随时间的变化规律，切不可将图象看作质点的运动轨迹．
通过振动图象可以求振幅A（曲线位移坐标的最大值）、周期T（相邻两个位移最大值或最小值之间的时间间隔）、任意时刻振动物体相对于平衡位置的位移x、任意时刻振动物体的速度v和加速度a的方向（判定某时刻质点的运动方向是看下一时刻质点的位置在哪里，其运动方向指向下一时刻的位置，即“前看后”.任一时刻的加速度方向都指向平衡位置）．
三．受迫振动
1．受迫振动：
物体在周期性驱动力作用下的振动．
物体起振后，只在本身回复力作用下振动叫自由振动.物体作自由振动时频率由物体的特性决定，叫固有频率．而物体在周期性驱动力作用下作受迫振动时，其频率由驱动力的频率决定，而与物体的固有频率无关．
2．
共振
作受迫振动的物体当其所受驱动力的频率与物体的固有频率越接近时，物体的振幅就越大，当两者相等时达到最大，这就是“共振”.声音的共振叫共鸣．
f
共振曲线如右图所示
共振曲线
典型例题
【例1】下表中给出的是作简谐运动物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是对应的周期，则下列选项中正确的是
时刻
物理量
0
T/4
T/2
3T/4
T
甲
零
正向最大
零
负向最大
零
乙
零
负向最大
零
正向最大
零
丙
正向最大
零
负向最大
零
正向最大
丁
负向最大
零
正向最大
零
负向最大
A.若甲表示位移x,则丙表示相应的速度v
B.若乙表示位移x,则丙表示相应的速度v
C.若丙表示位移x则甲表示相应的速度v
D.若丁表示位移x则甲表示相应的速度v
解析：
做简谐运动的质点，当它的位移为零时，速度最大；当它的速度为零时位移最大。
而且最大速度与最大位移之间的时间间隔位T/4.若速度为零时速度为正向最大,则经过T/4后的位移为正向最大.本题考察的是简谐运动的基本特征．
A、D两个选项正确
【例2】一个质点做简谐运动，先后以相同的动量经过A、B两点，历时1s.质点经过B点后再经过1s第二次通过B点，在这两秒内，质点的路程为12cm，求质点振动的周期和振幅．
解析：
设质点作简谐运动的平衡位置为O点，振动到达的最远点分别为C、D，如图所示.A点B点具有相同的动量，则A、B关于O点对称，即OA=OB。
质点由B到A
的时间等于由A到B的时间，由A向左经C回到A的时间等于由B向右经D回到B的时间,令质点由A第一次通过B点需时间为1s，则周期为4s,根据对称性，OC=OD,AC=BD.做简谐运动的物体在一个周期内通过的路程为4倍的振幅，在半个周期内通过的路程为2倍振幅，所以质点的振幅为12/2=6cm
思考：
本题还有另一个解:
T=4s/3,A=2cm.请自己分析．
点评：
本题的求解充分利用了简谐运动的对称性特点．
【例3】如图所示电路，滑动变阻器是由均匀电阻丝绕成的，d是它的中点，电源电动势E=3v,内阻不计，问：
若要在ab间得到一正弦式电压，滑动触头P要如何滑动？
为什么？
若要使正弦式电压幅度最大，其电压有效值是多少?
解：
因为ab两点间并未接负载，故通过滑动变阻器各部分的电流相等，ab两点间的电压与pd两点间的电阻成正比，而pd两点间的电阻与它的长度成正比，所以要使ab间得到一正弦式电压，滑动触头P应以d为中心做简谐运动.
当滑动触头P移动的幅度越大，ab间所得的正弦式电压的幅度越大，故p应滑到滑动变阻器的两极端位置，即该正弦式电压的最大值为1.5v，所以其电压有效值为
U=
=
V
点评：
注意各部分知识间的相互联系
同步练习
1.一个质点做简谐运动，其位移与时间的关系如图所示，由图可知
A.t=2s时，速度和加速度方向相同
B.t=3s时，速度为正向最大，所受回复力为零
C.t=5s时，速度为正向最大，所受回复力为零
D.t=4s时，速度为零，加速度为正向最大
2．关于回复力的说法正确的是
A.回复力是指振动物体受到的指向平衡位置的力
B.回复力是指振动物体受到和外力
C.回复力是从力的作用效果来命名的，可以是弹力，也可以是重力或摩擦力，还可以是几个力的合力
D.回复力实质上就是向心力
3．物体做简谐运动，每当物体到达同一位置时，保持不变的物理量有
A.速度B.加速度C.动量D.动能
4．做简谐运动的质点，下列说法正确的是
A.速度增大时加速度减小
B.速度增大时加速度增大
C.加速度增大时速度减小
D.加速度减小时速度减小
5．关于简谐运动中几个物理量之间的关系正确的是
A.回复力与位移成正比，且与位移的方向相反
B.回复力与位移成正比且与位移的方向相同
C.加速度与位移成正比且与位移的方向相反
D.加速度的方向与位移的方向有可能相同
6．做简谐运动的质点若从经过某一位置时开始计，下列说法正确的是
A.当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期
B.当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期
C.当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时经过的时间为一个周期
D.当质点经过的路程为振幅的4倍时，经过的时间为一个周期
7.一个质点在平衡位置附近做简谐振动,下图的4个函数图象中,正确表达加速度a与对平衡位置的位移x的关系应是
8.下列说法正确的是
A.做简谐运动的质点其频率是由振动系统本身的条件所决定是固有频率
B.做受迫振动的物体达到稳定时的频率等于驱动力的频率
C.当驱动力的频率等于物体的固有频率时驱动力总对物体做正功
D.等幅振动一定是无阻尼振动
9．做简谐运动的质点，质量m最大速率v，从某时刻起，在半个周期内
A.回复力做的功一定等于零
B.回复力做的功可能是零到mv2/2之间的某一值
C.回复力冲量的大小可能是零到2mv之间的某一值
D.回复力冲量的大小一定不为零
10．如图所示，是质点p在0-4s时间内的振动图象，下列叙述正确的是
A.再过1s时，该质点的位移是正的最大
B.再过1s时，该质点的速度方向向上
C.再过1s时，该质点的加速度方向向上
D.再过1s时，该质点的加速度最大
11.对于简谐运动的物体，周期为T,振幅为A,下列叙述正确的是
A.在一个T内，物体通过的路程为4A
B.在T/4内，物体通过的路程为A
C.在T/2内，物体通过的路程为2A
D.在3T/4内，物体通过的路程为3A
12．一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，图1所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。
匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动。
把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。
若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图2所示。
当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图3所示。
若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则
A.由图线可知T0=4s
B.由图线可知T0=8s
C.当T在4s附近时，Y显著增大；当T比4s小得多或大得多时，Y很小
D.当T在8s附近时，Y显著增大；当T比8s小得多或大得多时，Y很小
13.把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，筛子在做自由振动时，完成10次全振动用时15s，在某电压下电动偏心轮转速是36r/min.已知如果增大电压可以使偏心轮转速提高，增大筛子的质量，可以增大筛子的固有周期.那么，要使筛子的振幅增大，下列哪些做法是正确的（）
A．提高输入电压B．降低输入电压
C．增加筛子质量D．减小筛子质量
14．支持列车车厢的弹簧，固有频率是2HZ,若列车行驶在每根长12.5m的钢轨连成的铁路线上，运动速度为多少时车厢振动最强？
第二单元简谐运动的典例---单摆、弹簧振子
知识要点
弹簧振子的受力特点和单摆的周期性特征是该部分知识的探究点.在一定条件下，弹簧振子和单摆的振动都是简谐运动．
一．单摆
1．单摆：
在一条不可伸长、质量忽略不计的细线下端拴上一个可视为质点的小球，上端固定，构成的装置叫单摆．
在摆角小于100情况下，单摆的振动可视为简谐运动
周期公式
注意：
（1）单摆振动的等时性：
单摆的振动周期由摆长决定与摆球质量、振幅均无关系．
（2）等效摆长：
摆长l是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离．在有些情况下，摆长不一定等悬线的长度,比如双线摆．如图所示
（3）等效重力加速度：
公式中的g为单摆所在处的测量值。
由单摆的空间位置和运动状态决定.（在稳恒场中等于在单摆所处的系统中，单摆停止摆动时细绳的拉力和质量的比值）（见后面例题）
2．单摆的应用：
利用它的等时性作计时器；测重力加速度
周期为2S的单摆叫秒摆．
2．弹簧振子
在弹性限度以内，弹簧振子所做的振动为简谐运动，它的周期只跟振动系统本身条件有关，如弹簧的劲度系数和振子的质量。
跟外界条件无关。
弹簧振子在运动方向上的合外力提供回复力,把握弹簧振子的受力特点和振动的对程性特点是解题的关键．
典型例题
【例1】一单摆做小角度摆动，其振动图象如图，以下说法正确的是
A．t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
答案:
D
解析：
由振动图线可看出，t1时刻和t3时刻，小球偏离平衡位置的位移最大，此时其速
度为零，悬线对它的拉力最小，故A、C错；t2和t4时刻，小球位于平衡位置，
其速度最大，悬线的拉力最大，故B错，D对。
点评：
本题考查对振动图象的理解，解答类此试题应认真审题，仔细观察提供的图象，从中提取有用的信息，再结合基本原理、规律得出结论。
【例2】某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，树枝在10s内上下振动了6次，鸟飞走后，他把50g 的砝码挂在P处，发现树枝在10s内上下振动了12次.将50g的砝码换成500g砝码后，他发现树枝在15s内上下振动了6次，你估计鸟的质量最接近
A.50g B.200g
C.500gD.550g
答案：
B
解析：
鸟在树枝上时，树枝振动的周期T0＝1.7s，挂上
50g的砝码时，树枝振动周期T＝0.83s，挂上500g的
砝时，树枝振动的周期T2＝2.5s，由于T1＜T0＜T2，
所以鸟的质量m应满足50g＜m＜500g，故B选项正确。
点评：
本题是一个估算题，直接给出的条件少，这类问题的处理方法是对题目的已知条件进行大胆、合理地“修整”，寻找隐含的条件、规律。
主要考查考生灵活运用知识的能力。
【例3】悬挂摆球的绝缘细线长度都相同，摆球均在纸面内做小角度振动，图A为地面上的普通单摆，图B中带正电摆球处于竖直向下的匀强电场中，图C中悬点处固定一带正电的点电荷，图D中带正电摆球处于垂直直面向里的匀强磁场中，试比较这几个摆动周期的大小
ABCD
分析和解：
图B中，摆球振动的等效重力加速度
因此对应的振动周期比A中的短；图C中摆球在振动过程中始终受沿摆线向外的库仑力作用；图D中摆球受到方向始终与摆线重合的洛仑兹力作用。
无论是库仑力还是洛仑兹力对摆球的回复力都没有贡献，故C、D两摆的振动周期与A相同．
解答本题，关键是要理解ABC三摆的回复力都是摆球重力沿圆弧切线方向的分力，而回复力才是影响振动快慢的原因所在．
【例4】如图示，一个光滑的圆弧形槽半径为R，圆弧所对的圆心角小于50，AD
长为s，今有一小球m1沿AD方向以初速度v从A点开始运动，要使小球m1可以与固定在D点的小球m2相碰撞，那么小球m1的速度应满足什么条件
解析小球m1的运动由两个运动合成：
沿AD方向的匀速运动和沿圆弧形槽的振动。
因为圆弧槽的圆心角小于50，所以小球沿圆弧槽的运动是一等效单摆.其圆弧半径即为等效摆长.
匀速运动的时间t1=s/v
沿圆弧形槽振动的时间
相碰撞的条件为t1=t2
（n=1、2、3…）
【例5】将质量为100g的平台A连接在劲度系数k=200N/m的弹簧上端，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放置mA=mB的物块B,使A、B一起上下振动,若弹簧原长为l0=5cm,求
（1）当系统进行小振幅振动时，平衡位置离地面的高度
（2）当振幅为0.5cm时，B对A的最大压力
（3）为使B在振动中始终与A接触，振幅不得超过多少？
解析A与B振动过程中的回复力是重力和弹簧弹力的合力提供的。
A与B处于平衡位置时，回复力为零，系统的合外力也为零。
当A与B振动到最低点时，B对A的压力最大，当B对A的压力为零时，B与A将分离
（1）将AB整体作为研究对象，A与B处于平衡位置时，根据平衡条件
kx=（mA+mB）gx=0.01m=1cm
平衡位置离地面的高度
h=l-x=4cm
（2）当AB振动到最低位置时,加速度最大
a=
=5m/s2方向竖直向上
设A对B的支持力为N
N-mBg=mAaN=1.5N根据牛顿第三定律，所以B对A的最大压力为1.5N
（3）当B振动到最高点时,设A对B的支持力为N/,加速度a/
mBg-N/=mBa/
当N/=0时，B的加速度最大，最大值为a/=g=10m/s2
对整体，kA=（mA+mB）a/=（mA+mB）g
A=0.01m=1cm为使B在振动中始终与A接触，振幅A≤1cm
同步练习
1.下图为一弹簧振子的振动图像，由此可知，（）
A．在t1时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大
B．在t2时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小
C．在t3时刻，振子的动能最小，所受的弹力最小
D．在t4时刻，振子的动能最小，所受的弹力最大
2.一个弹簧振子的振动周期是0.025s，从振子过平衡位置向右运动开始计时，经过0.17s时，振子的运动情况是：
A.正在向右作减速运动B.正在向右作加速运动
C.正在向左作减速运动D.正在向左作加速运动
3．一弹簧振子作简谐运动，周期为T：
A.若t和（t+△t）两时刻振子的运动位移的大小相等，方向相同，则△t一定等于T的整数倍
B.若△t=T，则在t和（t+△t）两时刻，振子运动的加速度一定相等
C.若t和（t+△t）两时刻振子运动的速度的大小相等，方向相同，则△t一定等于T/2
的整数倍
D.若△t=T/2，则在t和（t+△t）两时刻，弹簧的长度一定相等
4.做简谐运动的单摆,当其回复力由小变大时,它的哪些物理量是变小的：
A.动量B.摆锤的重力势能
C.摆线的张力D.摆锤的机械能
5.A、B两个单摆的振动图象如图所示，根据两条振动图线可以判定：
A.A、B两摆的摆长之比等于4：
9
B.A、B两摆的频率之比等于2：
3
C.A摆的最大摆角大于B摆的最大摆角
D.B摆的振动能量比A摆大
6.如图
（1）所示,一弹簧振子沿x轴在POQ之间做简谐振动,确定向右为正方向.若以某时刻作为计时零点（t=0）,经过1/4周期,振子具有正方向的最大速度,那么能够正确反映振子振动情况的振动图像应是图
（2）中的
7.已知在单摆a完成10次全振动的时间内单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6m,则两摆长la和lb分别为
A.la=2.5mlb=0.9mB.la=0.9mlb=2.5m
C.la=2.4mlb=4.0mD.la=4.0mlb=2.4m
8.一物体在某行星表面受到的万有引力大小是它在地球表面上受到的万有引力大小的1/4，在地球上走得很准的钟搬到此行星上，此钟的分针走一整圈的时间是
A.2hB.1hC.
hD.
h
9．两单摆摆长相等，平衡时两球刚好接触，现将摆球A、B分别拉开角度αβ（均小于100）以mAmB分别表示两摆球的质量，则
A．如果mA>mB,碰撞将发生在平衡位置右侧
B．如果α>β，碰撞将发生在平衡位置左侧
C．无论两摆球的质量之比是多少碰撞都不会发生在平衡位置右侧
D．无论αβ关系如何碰撞都不会发生在平衡位置左侧
10．如图所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度范围内，A和B一起在光滑水平面上作往复运动（不计空气阻力），并保持相对静止。
则下列说法正确的是
A．A和B均作简谐运动
B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．B对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B不做功
D．B对A的静摩擦力始终对A做正功，而A对B的静摩擦力始终对B做负功
11.弹簧振子B的质量为M，弹簧的劲度系数为k,在B上放一个质量为m的木块A，使A和B一起在光滑水平面上作简谐运动，振动过程中A和B无相对运动，当他们离开平衡位置的位移为x时，A与B之间的摩擦力大小是
12、在水平方向做简谐运动的弹簧振子,当振子正经过平衡位置O时,恰好有一块橡皮泥m从其上方落下,粘在振子上随其一起振动,那么,前后比较,振子的振幅变
13、如右图所示，为了测量一个凹透镜一侧镜面的半径R，让一个半径为r的钢球在凹面内做振幅很小的往复振动，要求振动总在同一个竖直面中进行，若测出它完成n次全振动的时间为t，则此凹透镜的这一镜面半径值R＝_______．
14.一学生用单摆测当地的重力加速度时，在挂好单摆后，在摆角小于5°的条件下，测得单摆的振动周期为T1；再使摆长增加Δl,仍在摆角小于5°的条件下，测得单摆的振动周期为T2，由此可计算出当地的重力加速度值g=.
15.将摆长为l、摆球质量为m的单摆放置在倾角为α的光滑斜面上，如图所示.则该单摆的周期．
16．下图是将演示简谐运动图象的装置作变更，当盛砂漏斗下面的薄木板被匀加速地拉出时,摆动着的漏斗中漏出的砂在木板上形成的曲线，A、B、C、D、E均为OO′轴上的点，AB=S1,DE=S2,摆长为L（可视作不变）摆角小于5°，则木板的加速度约为多少？
17.如图所示，物块质量m,压在弹簧上，作振幅为A的上下振动，物块对弹簧的最大压力为1.5mg，则物块对弹簧的最小压力为多大？
振幅不能超过多大，才能使振动时物体与弹簧不会分离？
18.光滑平面BC长0.5π,C处有一弹性档板，B处有一质量M的小球B.B点正上方1m处的O点有一摆长为1m，摆球质量为m的单摆A.将单摆悬线拉至偏离竖直方向60°后，将A球由静止释放．A、B正碰后，A球以碰前速度的1/10反向弹回，B球与挡板碰撞无机械能损失．要使A、B两球再次在B点相向碰撞，则两球的质量之比为
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