高考山东卷理数试题含答案.docx

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高考山东卷理数试题含答案

绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时

120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、

考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答

案写在试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

参考公式：

如果事件A,B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）.

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小

-1-

题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

（1）若复数z满足2z

2i,其中i为虚数单位，则

（A）1+2i

（B）1

（C）12i

（D）12i

（2）设集合A

{y|y

2x,x

R},B{x|x210},则

（A）（

1,1）

（B）（0,1）

（C）（

）（D）（0,）

（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：

小时），制成了如图所示的频率分布直方图，

其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组

为

[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,[25,27.5）,[27.5,30].

根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不

少于22.5小时的人数是

（A）56

（B）60

（C）120

（D）140

2x-3y?

（4）若变量

锍

则x

+y的最大值是

x，y满足?

（A）4（B）9（C）10（D）12

（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为

（A）1

2π（B）1

2π（C）1

2π（D）1

2π

（6）已知直线

a，b分别在两个不同的平面

α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平

面β相交”的

（A）充分不必要条件（

B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（7）函数f（x）=（

3sinx+cosx）（

3cosx–sinx）的最小正周期是

（A）π（B）π

（C）3π（D）2π

-2-

（8）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=1.若n⊥（tm+n），则实数t的值为

（A）4

（B）–4

（C）9（D）–9

（9）已知函数f（x）的定义域为R.当x<0时，f（x）

x31；当1

x1时，f（x）

f（x）；

当x

1时，f（x

1）

f（x1）

.则f（6）=

（A）-2（B）-1（C）0（D）2

（10）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，

则称y=f（x）

具有T性质.下列函数中具有T性质的是

（A）y=sinx（B）y=lnx（C）y=ex（D）y=x3

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.

（12）若（ax2+

）3的展开式中x3的系数是—80，则实数a=_______.

（13）已知双曲线

E1：

1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点

在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.

（14）在[-1,1]上随机地取一个数

k，则事件“直线

y=kx与圆（x-

5）2+y2=9相交”发生的

概率为.

（15）已知函数

f（x）

|x|,

0，若存在实数

b，使得关于x的方程f

2mx

4m,x

其中m

（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.

三、解答题：

本答题共6小题，共75分。

（16）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为

tanA

tanB

a，b，c，已知2（tanAtanB）

cosB

cosA

（Ⅰ）证明：

a+b=2c;

（Ⅱ）求cosC的最小值.

17.在如图所示的圆台中，

AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一

-3-

条母线.

（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：

GH∥平面ABC；

（II）已知EF=FB=1AC=23AB=BC.求二面角FBCA的余弦值.

（18）（本小题满分12分）

已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且anbnbn1.

（Ⅰ）求数列bn的通项公式；

（Ⅱ）另cn

（an

1）n

cn的前n项和Tn.

（bn

2）

.求数列

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，

如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人

都没猜对，则“星队”得0分。

已知甲每轮猜对的概率是3，乙每轮猜对的概率是2；每轮

活动中甲、乙猜对与否互不影响。

各轮结果亦互不影响。

假设“星队”参加两轮活动，求：

（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX（20）（本小题满分13分）

已知f（x）axlnx

2x1

aR.

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）当a1时，证明f（x）＞f

1,2成立

'x对于任意的

（21）本小题满分

14分）

平面直角坐标系

xOy中，椭圆C：

1a＞b＞0

的

-4-

离心率是

3，抛物线E：

2y的焦点F是C的一个顶点。

（I）求椭圆C的方程；

（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，

E在点P处的切线l与C交与不同的两点

A，B，

线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

（i）求证：

点M在定直线上;

（ii）直线l与y

轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2

，求S1

的最大值

及取得最大值时点

P的坐标.

-5-

2016年普听高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学试题参考答案

一、选择题

（1）【答案】B

（2）【答案】C

（3）【答案】D

（4）【答案】C

（5）【答案】C

（6）【答案】A

（7）【答案】B

（8）【答案】B

（9）【答案】D

（10）【答案】A

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）【答案】3

（12）【答案】-2

（13）【答案】2

（14）【答案】3

（15）【答案】（3,）

三、解答题

（16）

解析：

sinA

sinB

sinA

sinB

，

由题意知2

cosB

cosAcosB

cosA

化简得2sinAcosBsinBcosA

sinAsinB，

即2sin

ABsinAsinB.

-6-

因为AB

所以sinA

sin

sinC.

从而sinA

sinB=2sinC.

由正弦定理得a

（）由（）知c

b2a

2a2

所以cosC

1，

2ab

当且仅当a

b时，等号成立.

故cosC的最小值为1.

考点：

两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.

（17）

（I）证明：

设FC的中点为I,连接GI,HI,

在△CEF,因为G是CE的中点，所以GI//EF,

又EF//OB,所以GI//OB,

在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI//BC，

又HIGII,所以平面GHI//平面ABC，

因为GH平面GHI，所以GH//平面ABC.

（II）解法一：

连接OO',则OO'平面ABC，

又ABBC,且AC是圆O的直径，所以BOAC.

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

由题意得B（0,23,0），C（23,0,0），过点F作FM垂直OB于点M，

所以FMFB2BM23,

可得F（0,3,3）

故BC（23,23,0）,BF（0,3,3）.

设m（x,y,z）是平面BCF的一个法向量.

-7-

由mBC0,mBF0

可得

可得平面BCF的一个法向量m（1,1,）,

因为平面ABC的一个法向量n（0,0,1）,

所以cosm,n

|m||n|

所以二面角F

BCA的余弦值为

解法二：

连接OO'，过点F作FM

OB于点M，

则有FM//OO',

又OO'平面ABC，

所以FM⊥平面ABC,

可得FM

FB2

BM2

过点M作MN垂直BC于点N，连接FN，

可得FN

BC,

从而FNM为二面角F

BCA的平面角.

又AB

BC,AC是圆O的直径，

所以MN

BMsin45

从而FN

，可得cosFNM

所以二面角FBC

A的余弦值为

考点：

空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

（18）

（Ⅰ）由题意知当n2时，anSnSn16n5，

-8-

当n

1时，a1

11，

所以an

设数列

bn的公差为d，

由

，即

2b1

，可解得b1

4,d3，

2b1

所以bn

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

（6n

6）n

，

（3n

3）n

3（n1）2

又Tn

c1c2

cn，

得Tn

3[222

323

424

（n1）2n1]，

2Tn

3[223

324

425

（n1）2n2]，

两式作差，得

3[222

2n1（n1）2n2]

3[4

4（2n

1）（n1）2n2]

3n2n2

所以Tn3n

2n2

考点：

数列前

n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法

（19）

（Ⅰ）记事件A:

“甲第一轮猜对”，记事件B：

“乙第一轮猜对”，记事件C：

“甲第二轮猜对”，记事件D：

“乙第二轮猜对”，

记事件E：

“‘星队’至少猜对3个成语”.

由题意，EABCDABCDABCDABCDABCD.

由事件的独立性与互斥性，

PEPABCDPABCDPABCDPABCDPABCD

-9-

PAPBPCPDPAPBPCPDPAPBPCPDPAPBPCPDPAPBPCPD

所以“星队”至少猜对

3个成语的概率为

（

Ⅱ）由题意，随机变量

X的可能取值为0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性，得

144

PX12

31111211

144

PX3

321

111321,

PX42

32313212

60=5,

144

可得随机变量

X的分布列为

144

所以数学期望EX

144

考点：

独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望

（20）

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0,

）；

f/（x）

（ax2

2）（x1）

当a

0，

（0,1）

时，f

/（x）

0，f（x）单调递增；

-10-

（1,

）时,

f/（x）

0，f（x）单调递减.

当a

0时，f/（x）

a（x1）

（x

2）（x

2）.

（1）

，

当x

（0,1）或x

（

）时，f/

（x）

0，f（x）单调递增；

当x

（1,

2）时，f/（x）

0，f（x）单调递减；

（2）a

2时，

1，在x

（0,

）内，f/（x）

0，f（x）单调递增；

（3）a

2时，0

1，

当x

（0,

2）或x

（1,

）时，f/

（x）

0，f（x）单调递增；

当x

（

2,1）时，f/

（x）

0，f（x）单调递减.

综上所述，

当a

0时，函数

f（x）在（0,1）

内单调递增，在

（1,

）内单调递减；

当0

2时，f（x）在（0,1）内单调递增，在

（1,

2）内单调递减，在（

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