（2）若复数Z满足，其中i为虚数单位，则Z=i1i（A）1-i（B）1+i（C）-1-i（D）-1+i（3）要得到函数y=sin（4x-）的图像，只需要将函数y=sin4x的图3像（）（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位1212（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位33oABCD（4）已知菱形的边长为a，∠ABC=60,则＝BDCD（A）-（B）-（C）（D）（5）不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是（A）（-，4）（B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）（6）已知x,y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（A）3（B）2（C）-2（D）-3（7）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为-2-
（A）（B）（C）（D）2（8）已知某批零件的长度误差（单位：
毫米）服从正态分布N（0，23），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：
若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%（9）一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A）或（B或（C）或（D）或,则满足f（f（a））=的a的取值范围是（）（10）设函数f（x）=（A）[,1]（B）[0,1]（C）[（D）[1,+第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）观察下列各式：
00C=41-3-
„„照此规律，当nN时，012n-1C+C+C+„+C=.2n-12n-12n-12n-1（12）若“x[0,]，tanxm”是真命题，则4实数m的最小值为（13）执行右边的程序框图，输出的T的值否为.（14）已知函数的定义域xf（x）ab（a0,a1）和值域都是，则ab1,0（15）平面直角坐标系xOy中，双曲线C：
122xy（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C12：
22ab2X=2py（p>0）交于O，若△OAB的垂心为C的焦点，则C的离心率为＿21＿＿三、解答题：
本答题共6小题，共75分。
（16）（本小题满分12分）2设f（x）=（x+）.sinxcosxcos4（Ⅰ）求f（x）的单调区间；-4-
A（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f（）=0,a=1,2求△ABC面积的最大值。
（17）（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点。
（Ⅰ）求证：
BC//平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE,∠BAC=,求平面FGH与平045面ACFD所成的角（锐角）的大小.（18）（本小题满分12分）{}的前n项和为.已知2=n设数列+3.aSS3nnn{}的通项公式；a（I）求n{}{}满足，求的前n项和.abb（II）若数列b2T=lognnnnn3（19）（本小题满分12分）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，nn十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137,359,567n等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：
若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被101-5-
整除，得1分.（I）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（II）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.XEX（20）（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆：
的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.（i）求的值；面积的最大值.（ii）求△（21）（本小题满分14分），其中。
设函数fxInxxxR2（）=（+1）+（-）（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；fx（）（）（Ⅱ）若>0，成立，求的取值范围。
f0-6-
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学试题参考答案一、选择题
（1）C
（2）A（3）C（4）D（5）A（6）B（7）C（8）B（9）D（10）C二、填空题1133（11）（12）1（13）（14）（15）n14622三、解答题（16）1cos（2x）12解：
f（x）sin2x（Ⅰ）由题意22111sin2xsin2x2221sin2x2kZ2k2x2k由22kZkxk可得443kZ2k2x2k由22-7-
3kZkxk得44kZ[k,k]f（x）所以的单调递增区间是（）443kZ[k,k]单调递减区间是（）44A11f（）sinA0sinA（II）2223cosA由题意A是锐角，所以2222abc2bccosA由余弦定理：
22可得13bcbc2bc1bcbc23，且当时成立2323bcsinA423ABC面积最大值为4（17）（Ⅰ）证法一：
DG，CDOHCDGFO连接，设，连接DEFABC在三棱台中，GACAB2DE，为的中点，DF//GC，DFGC可得,DFCG所以四边形为平行四边形，OCD则为的中点，BCH又为的中点，OH//BD所以,OHFGHFGHBD又平面平面，BD//FGH所以平面证法二：
DEFABC在三棱台中，BC2EFBCH由,为的中点，BH//EF,BHEF可得,BHFE所以四边形为平行四边形，-8-
BE//HF可得,ABCGACBCH在中，为的中点，为的中点，GH//AB所以,FGH//GHHFHABED又,所以平面平面,BDABED因为平面,BD//FGHz所以平面。
F（II）解法一：
DECF1AB2设,则,DEFABC在三棱台中，yGAC为的中点，GC1ADFACGC由,H2BDGCF可得四边形为平行四边形，xDG//FC因此,FCABC又平面，DGABC所以平面，ABCABBCGACBAC45在中，由，，是中点，ABBC，GBGC所以,GB,GC,GD因此两两垂直，GGxyz以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，G（0，0，0），B（2,0，0），C（0，2,0）,D（0，0，1）所以22H（，,0），F（0，2,0）可得2222，,0）,GF（0，2,0）GH（，故22FGHn（x,y,z）设是平面的一个法向量，则nGH0xy0由可得nGF02yz0FGHn（1,1,2）可得平面的一个法向量，（2，0,0）GBACFDGB因为是平面的一个法向量，GBn21cosGB,n所以2|GB||n|22FGHACFD60所以平面与平面所成角（锐角）的大小为FDE-9-NMGCA
解法二：
HMACMNGFMNNH作与点，作与点，连接FCABCHMFC由平面,得,FCACC又,ACFDHM所以平面，GFNH因此,MNH所以即为所求的角，12BGCMH//BG,MHBG在中，,22GNM~GCF由,MNGM可得,FCGF6MN从而,6ACFDACFDMNHM由平面，平面，HMMN得，HMtanMNH3因此,MNMNH60所以,FGHACFD60所以平面与平面所成角（锐角）的大小为。
18）（解：
n2S33（I）因为，na32a33所以，故，11n1n12S33当时，，n11nnn12n2a2S2S3323a3此时，即，nnn1n3,n1ann23,n1所以1ablog2b（II）因为，所以，nn3132nn11nn1b3log3（n1）3当时，，n21Tb所以；113-10-
1122nTbbbb（1323（n1）3），n123n3013n3T1（1323（n1）3）所以n两式相减，得20122n2T（3333）n32n2132n（n1）32313136n3，n623136n3T所以nn1243n1经检验，也适合，136n3T综上可得nn1243（19）解：
（I）个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；3C84（II）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，9X随机变量是取值为：
0，-1,1，因此3C28P（X0），3C392C14P（X1）3C1491211，P（X1）114342X所以的分布列为X0-112111P3144221114EX0
（1）1则3144221（20）2a4a2解：
（I）由题意知，则，-11-
c3222,acb又，a2b1可得2x2Cy1所以椭圆的方程为422xy1E（II）由（I）知椭圆的方程为164|OQ|Q（x,y）P（x,y）,（i）设,由题意知，0000|OP|2x20y1因为04222（x）（y）x20001（y）1又，即016444|OQ|22所以，即|OP|A（x,y）,B（x,y）（ii）设，1122Eykxm将代入椭圆的方程，222（14k）x8kmx4m160可得，220m416k由，可得28km4m16xx,xx则有12122214k14k22416k4m|xx|所以12214kykxm（0,m）y因为直线与轴交点的坐标为，1OABS|m||xx|所以的面积12222216k4m|m|214k-12-
2222（16k4m）m214k22mm2（4）2214k14k2mt令214kCykxm将代入椭圆的方程，222（14k）x8kmx4m40可得，220m14k由，可得0t1由①②可知，2S2（4t）t2t4t因此，S23故，22t123m14k当且仅当时，即时取得最大值，3SABQ由（i）知，面积为，63ABQ所以面积的最大值为.（21）f（x）（1,）解：
（Ⅰ）由题意知函数的定义域为，212axaxa1f（x）a（2x1），x1x12g（x）2axaxa1,x（1,）令，a0g（x）1
（1）当时，，f（x）0f（x）（1,）此时，函数在单调递增，无极值点；2a0a8a（1a）a（9a8）
（2）当时，，-13-
800ag（x）0①当时，，,9f（x）0f（x）（1,），函数在单调递增，无极值点；80a②当时，，9x,x（xx）设方程的两根为，22axaxa1012121xx因为，12211x,x所以，124411xg
（1）10，由，可得14x（1,x）g（x）0,f（x）0f（x）所以当时，，函数单调递增；1x（x,x）g（x）,0,f（x）0f（x）当时，，函数单调递减；12x（x）g（x）0,f（x）0f（x）当时，，函数单调递增；2因此函数有两个极值点。
a00（3）当时，，x1g
（1）10由，可得，1x（1,x）g（x）0,f（x）0f（x）当时，，函数单调递增；2x（x）g（x）0,f（x）0f（x）当时，，函数单调递减；2所以函数有一个极值点。
综上所述：
a0f（x）当时，函数有一个极值点；80af（x）当时，函数无极值点；98af（x）当时，函数有两个极值点。
9（II）由（I）知，80af（x）（0,）时，函数在上单调递增，
（1）当9f（0）0因为，x（0,）f（x）0所以时，，符合题意；-14-
8x0a1g（0）0
（2）当时，由，得，29f（x）（0,）所以函数在上单调递增，f（0）0x（0,）f（x）0又，所以时，，符合题意；a1x0g（0）0（3）当时，由，可得，2x（0,x）f（x）所以时，函数单调递减；2f（0）0因为，x（0,x）f（x）0所以时，，不合题意；2a0h（x）xln（x1）（4）当时，设，1xh（x）10x（0,）因为时，x1x1h（x）（0,）所以在上单调递增。
x（0,）h（x）h（0）0因此当时，，ln（x1）x即，22f（x）xa（xx）ax（1a）x可得，12ax（1a）x0x1当时，，af（x）0此时，不合题意，a[0,1]综上所述，的取值范围是-15-
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