八年级数学上册 专题突破讲练 剖析等腰三角形性质与判定及多解的应用试题 新版青岛版.docx

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八年级数学上册专题突破讲练剖析等腰三角形性质与判定及多解的应用试题新版青岛版

剖析等腰三角形性质与判定及多解的应用

一、等腰三角形的性质

1.性质：

等边对等角

等腰三角形的两个底角相等

注意：

是两底角相等而不是两个角相等。

三线合一

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

注意：

说清三条线的位置，不是任意的三线都重合。

2.拓展推论：

（1）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，如图：

∠A=2∠1；

（2）等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，如图：

AD是三角形ABC的对称轴。

二、等腰三角形的判定

1.两边相等的三角形；

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

注意：

“等角对等边”必须在同一个三角形中使用。

等腰三角形的性质与判定有区别：

性质是：

等边→等角；

判定是：

等角→等边。

三、关于等腰三角形的多解问题

角的多解

等腰三角形中至少有两个角是相等的，已知一角求另两个角时，多解。

如：

等腰三角形一个角为30度，求另两个角的度数。

边的多解

已知边求周长的问题，或求面积的问题时，多解。

如：

等腰三角形两条边分别为3和5，求周长。

例题1在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：

已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的（60°，60°），已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）。

由此马彪同学得出结论：

在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的。

马彪同学的结论是____________的。

（填“正确”或“错误”）

解析：

分别把已知角看做等腰三角形的顶角和底角，分两种情况考虑，利用三角形内角和是180度计算即可。

如已知一个角是70°，当70°为顶角时，另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2=55°，当70°为底角时，另外一个底角也是70°，顶角是180°－140°=40°。

答案：

错误

点拨：

主要考查了等腰三角形的性质。

要注意分两种情况考虑，不要漏掉任何一种情况。

例题2如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（）

A.70°B.110°C.140°D.150°

解析：

由已知及四边形内角和知∠DAB+∠DCB=220°，由等腰三角形的性质知∠OAB+∠OCB=70°，所以即可求得∠DAO+∠DCO的度数。

根据四边形的内角和定理可得：

∠DAB+∠DCB=220°，

∵OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC，∴∠OAB+∠OCB=70°，∴∠DAO+∠DCO=220°－70°=150°。

故选D。

答案：

D

点拨：

利用四边形内角和的定理及等腰三角形的性质求解，解题时要将二者有机地结合在一起。

1.多点共存

用几何作图的方法寻找满足条件的多个点是基本找点方法，可以保证不重不漏。

但要注意是否符合题目要求，注意理解题目中所要求的点，进而有所取舍。

拓展如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有个，写出其中一个点P的坐标是。

解析：

如图所示，满足条件的点P有8个，目前我们可求的分别为（5，0），（8，0），（0，5），（0，6），（－5，0），（0，－5），（0，

），（

，0）。

答案：

根据等腰三角形的性质，画图可知，点P有8个，可求的分别为（5，0），（8，0），（0，5），（0，6），（－5，0），（0，－5），（0，

），（

，0）。

故答案为：

8；（5，0）（答案不唯一，写出8个中的一个即可）。

2.运动中形成等腰三角形

在点的运动中寻找满足条件的等腰三角形，应充分理解运动变化对于图形形状的影响，同时对动点运动时相关线段、图形大小的变化情况要清楚，这些对于今后学习函数中的运动问题非常有帮助。

拓展如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=时，△POQ是等腰三角形。

解析：

根据等腰三角形的判定，分两种情况讨论：

（1）当点P在线段OC上时；

（2）当点P在CO的延长线上时。

分别列式计算即可求。

（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP=OC－CP=OQ，即10－2x=x，解得，x=

s；

（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用了5s，有OQ=OP，即2（x－5）=x，解得，x=10s，故填

s或10s。

答案：

s或10s

（答题时间：

45分钟）

一、选择题

1.如图所示，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E使CE=CA。

连接AD，AE，则∠DAE=（）

A.100°B.105°C.115°D.125°

2.等腰三角形ABC的周长为18cm，BC=8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（）

A.7cmB.2cm或7cmC.5cmD.2cm或5cm

*3.若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（）

A.32.5°B.57.5°C.65°或57.5°D.32.5°或57.5°

*4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）

A.BD=CEB.AD=AEC.DA=DED.BE=CD

**5.如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，则AB=AC，CD=DE。

若∠A=40°，∠ABD：

∠DBC=3：

4，则∠BDE=（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

**6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，∠B=40°，若将△ABC分割成两个等腰三角形，则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是（）

A.100°、140°或100°、20°B.100°、140°C.100°、20°D.140°、20°

二、填空题

*7.如图，做如下操作：

在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D。

将△ABD做关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合。

对于下列结论：

①在同一个三角形中，等角对等边；②在同一个三角形中，等边对等角；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。

由上述操作可得出的正确结论是（将正确结论的序号都填上）。

**8.如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是。

**9.如图，已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，且AB+AC=BE。

则∠B=。

三、解答题

*10.已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，过点D作DP⊥BC，分别交BA，CA或它们的延长线于点P，Q。

求证：

DP+DQ是定值。

**11.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E。

（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；

（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形。

**12.如图

（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°。

（1）直接写出∠ABC的度数；

（2）如图

（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线。

①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程；

②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？

如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由。

**13.已知：

在锐角△ABC中，AB=AC。

D为底边BC上一点，E为线段AD上一点，且∠BED=∠BAC=2∠DEC，连接CE。

（1）求证：

∠ABE=∠DAC；

（2）若∠BAC=60°，试判断BD与CD有怎样的数量关系，并证明你的结论；

（3）若∠BAC=α，那么

（2）中的结论是否还成立。

若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由。

1.C解析：

∵DB=BA，∠ABC=50°，∴∠D=∠DAB=25°，∵DB=BA，∠ACB=80°，∴∠E=∠EAC=40°，∴∠BAC=180°－50°－80°=50°，∴∠DAE=∠DAB+∠EAC+∠BAC=25°+40°+50°=115°。

故选C。

2.D解析：

（1）在等腰△ABC中，若BC=8cm为底边，根据三角形周长计算公式可得腰长

=5cm；

（2）在等腰△ABC中，若BC=8cm为腰，根据三角形周长计算公式可得底边长18－2×8=2cm，∵△ABC≌△A′B′C′，∴△A′B′C′与△ABC的边长及腰长相等，即△A′B′C′中一定有一条边等于2cm或5cm。

故选D。

3.D解析：

当高在三角形内部时底角是57.5°，当高在三角形外部时底角是32.5°，故选D。

4.C解析：

A.添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误；B.添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误；C.添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确；D.添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误。

故选C。

5.B解析：

∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=

=70°，∵∠ABD：

∠DBC=3：

4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°。

故选B。

6.A解析：

分两种情况：

①如图1，把120°的角分为100°和20°，则△ABD与△ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是100°，140°；②如图2，把120°的角分为40°和80°，则△ABD与△ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是100°，20°。

故选A。

7.②③解析：

操作过程中没有体现角相等，边就相等，故①不符合；因为AB=AC，操作之后得到∠B与∠C重合，即等边对等角，故②符合；根据所得的图像与△ACD重合，所以AD⊥BC，BD=CD，又AD平分∠BAC，所以③符合。

故操作可以得出的正确结论是②③。

8.12°解析：

设∠A=x，∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°。

9.48°解析：

延长BA到F，使AF=AC，连接EF，如图所示：

∵AB+AC=BE，∴AB+AF=BF，即BF=BE，∴∠F=∠BEF=180°−

，∵∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，即∠DAE=90°，∴∠FAE=180°－（∠BAD+∠DAE）=180°－（9°+90°）=81°，

∠CAE=∠DAE－∠DAC=90°－9°=81°，∴∠FAE=∠CAE，在△AFE和△ACE中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AFE≌△ACE（SAS），

∴∠F=∠ACE，又∵∠ACE为△ABC的外角，∴∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+18°，∴∠F=∠B+18°，∴∠B+18°=180°−

，则∠B=48°。

10.证明：

如图，过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥DQ于点N，∴四边形AMDN为矩形。

∴AM=DN。

∵DP⊥BC，∴∠B+∠P=90°。

∴∠C+∠DQC=90°。

又∵∠C=∠B，∠DQC=∠PQA，∴∠AQM=∠P。

∴△AQP为等腰三角形。

∴PN=QN。

∴DP+DQ=DN+NP+DQ=DN+NQ+DQ=2AM，即DP+DQ是定值。

11.解：

（1）∠BAD=180°－∠ABD－∠BDA=180°－40°－115°=25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：

25°；小。

（2）当△ABD≌△DCE时。

DC=AB，∵AB=2，∴DC=2，∴当DC等于2时，△ABD≌△DCE；

（3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=

（180°－40°）=70°，

∵∠BAC=180°－40°－40°=100°，∴∠BAD=100°－70°=30°；∴∠BDA=180°－30°－40°=110°；③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°－40°=60°，∴∠BDA=180°－60°－40°=80°；∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形。

12.解：

（1）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=

=

=72°；

（2）①如图

（2），△ADB、△BCD是等腰三角形。

说明△ADB是等腰三角形，理由如下：

由

（1）得∠ABC=72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=

∠ABC=36°，又∵∠A=36°，∴∠A=∠ABD，∴AD=BD，即△ADB是等腰三角形。

[若说明△BCD是等腰三角形，理由为：

∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=

（180°－36°）=72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=

∠ABC=36°，∴∠BDC=180°－∠C－∠DBC=180°－72°－36°=72°，∴∠C=∠BDC，∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形。

]②存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形。

等腰△CDP中，当以∠CDP为顶角，CD为一腰时，∠CPD=72°；当以∠DCP为顶角，CD为一腰时，存在两点P：

一点在线段BC延长线上，此时∠CPD=36°；一点在线段BC上，此时∠CPD=54°。

13.

（1）证明：

∵∠BED=∠ABE+∠BAE，∠BED=∠BAC，∴∠ABE+∠BAE=∠BAC，∵∠BAC=∠BAE+∠DAC，∴∠DAC=∠ABE；

（2）解：

在AD上截取AF=BE，连接CF，作CG∥BE交直线AD于G，∠BED=∠BAC，∵∠FAC=∠ABE，∴在△ACF和△BAE中，CA＝AB，∠AFC＝∠AEB，AF＝BE，∴△ACF≌△BAE（SAS），∴CF=AE，∠ACF=∠BAE，∠AFC=∠AEB。

∵∠ACF=∠BAE，∠AFC=∠BEA，∴∠CFG=180°－∠AFC=180°－∠BEA=∠BED，∵CG∥BE，∴∠CGF=∠BED，∴∠CFG=∠CGF，∴CG=CF，∵∠BED=2∠DEC，∵∠CFG=∠DEC+∠ECF，∠CFG=∠BED，∴∠ECF=∠DEC，∴CF=EF，∴BE=AF=2CF，∵CG∥BE，

∴BD：

CD=BE：

CG，∴BD：

CD=2CF：

CF=2，∴BD=2DC，∴BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关；

（3）证明：

∵BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关，∴若∠BAC=α，那么

（2）中的结论仍然还成立。