学案5 习题课共点力平衡条件的应用.docx
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学案5习题课共点力平衡条件的应用
学案5 习题课：
共点力平衡条件的应用
[学习目标定位] 1.进一步理解共点力作用下物体的平衡条件.2.掌握矢量三角形法解共点力作用下的平衡问题.3.掌握动态平衡问题的分析方法.4.掌握整体法和隔离法分析连接体平衡问题．
1．共点力作用的平衡状态：
物体在共点力作用下，保持静止或匀速直线运动状态．
2．共点力作用下的平衡条件是合力为零，即F合＝0，用正交分解法表示的平衡条件：
Fx合＝0，Fy合＝0.
（1）二力平衡时，二力等大、反向．
（2）三力平衡时，任意两力的合力与第三个力等大、反向．
（3）多力平衡时，任一个力与其他所有力的合力等大、反向．
（4）物体处于平衡状态时，沿任意方向上分力之和均为零.
一、矢量三角形法（合成法）求解共点力平衡问题
物体受多力作用处于平衡状态时，可用正交分解法求解，但当物体受三个力作用而平衡时，可用矢量三角形法，即其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，且这三个力首尾相接构成封闭三角形，通过解三角形求解相应力的大小和方向，当这个三个力组成含有特殊角（60°、53°、45°）的直角三角形时尤为简单．
例1
在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图1所示．仪器中一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球．无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度．风力越大，偏角越大，通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力的大小，那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？
（试用矢量三角形法和正交分解法两种方法求解）
图1
答案 F＝mgtanθ
解析
甲
取金属球为研究对象，有风时，它受到三个力的作用：
重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力T，如图甲所示．这三个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这三个力的合力为零，可以根据任意两力的合力与第三个力等大、反向求解，也可以用正交分解法求解．
解法一 矢量三角形法
如图乙所示，风力F和拉力T的合力与重力等大反向，由矢量三角形可得：
F＝mgtanθ.
解法二 正交分解法
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丙所示．由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即
Fx合＝Tsinθ－F＝0，Fy合＝Tcosθ－mg＝0，
解得F＝mgtanθ.由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关．因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小．
针对训练 如图2所示，一质量为1kg、横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC＝30°，物块BC边紧靠光滑竖直墙面，用一推力垂直作用在AB边上使物块处于静止状态，则推力F及物块受墙的弹力为多少？
（g＝10m/s2）
图2
答案 20N 10
N
解析 物块受重力G，推力F和墙的弹力N作用，如图所示，由平衡条件知，F和N的合力与重力等大反向．
故有F＝
＝
＝20N
N＝Gtan60°＝1×10×
N
＝10
N
二、动态平衡问题
所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，这类问题的解决方法一般用图解法和相似三角形法．
1．图解法
（1）特征：
物体受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，大小、方向均不变化，另两个是变力，其中一个是方向不变的力，另一个是大小、方向均变化的力．
（2）处理方法：
把这三个力平移到一个矢量三角形中，利用图解法判断两个变力大小、方向的变化．
2．相似三角形法
（1）特征：
物体一般也受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，另两个是大小、方向都变化的力．
（2）处理方法：
把这三个力平移到一个矢量三角形中，找到题目情景中的结构三角形，这时往往三个力组成的力三角形与此结构三角形相似．利用三角形的相似比判断出这两个变力大小的变化情况．
例2
如图3所示，小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间，当墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中（ ）
图3
A．小球对薄板的压力增大
B．小球对墙的压力减小
C．小球对墙的压力先减小后增大
D．小球对薄板的压力不可能小于球的重力
解析 根据小球重力的作用效果，可以将重力G分解为使球压板的力F1和
使球压墙的力F2，作出平行四边形如图所示，当θ增大时，F1、F2均变小，而且在θ＝90°时，F1有最小值，等于G，所以B、D项均正确．
答案 BD
例3
如图4所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个光滑小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮．今缓慢拉绳使小球从A点沿半球面滑到半球顶点，则此过程中，半球对小球的支持力大小N及细绳的拉力F大小的变化情况是（ ）
图4
A．N变大，F变大B．N变小，F变大
C．N不变，F变小D．N变大，F变小
解析 小球受力如图甲所示，F、N、G构成一封闭三角形
由图乙可知F/AB＝N/OA＝G/OB
F＝G·AB/OB N＝G·OA/OB
AB变短，OB不变，OA不变，
故F变小，N不变．
答案 C
三、整体法与隔离法分析连接体平衡问题
1．隔离法：
为了弄清系统（连接体）内某个物体的受力和运动情况．一般要把这个物体隔离出来进行受力分析，然后利用平衡条件求解．
2．整体法：
当只涉及系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可把整个系统看成一个物体，画出系统整体的受力图，然后利用平衡条件求解．
注意 隔离法和整体法常常需要交叉运用，从而优化解题思路和方法，使解题简捷明快．
例4
如图5所示，A、B两个物体的质量都是1kg，现在它们在拉力F的作用下相对静止一起向右做匀速直线运动．已知A、B之间的动摩擦因数μAB＝0.1，B与地面间的动摩擦因数μB地＝0.2.g＝10m/s2.则两个物体在匀速运动的过程中，
图5
（1）对A、B分别画出完整的受力分析．
（2）A、B之间的摩擦力大小为多少．
（3）拉力F的大小为多少．
解析
（1）以A为研究对象，A受到重力、支持力作用；以B为研究对象，B受到重力、支持力、压力、拉力、地面对B的滑动摩擦力作用，如图所示．
（2）对A：
由二力平衡可知A、B之间的摩擦力为0.
（3）以A、B整体为研究对象，
由于两物体一起做匀速直线运动，
所以受力如图．
水平方向上由二力平衡得拉力等于滑动摩擦力，
即F＝f＝μB地NB，
而NB＝GB＋GA，
所以F＝0.2×（1×10＋1×10）N＝4N
答案
（1）见解析图
（2）0 （3）4N
1.矢量三角形法（合成法）.
2.动态平衡问题：
（1）图解法；
（2）相似三角形法.
3.整体法与隔离法分析连接体平衡问题.
1．（矢量三角形法）用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图6所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为（ ）
图6
A.
mg，
mgB.
mg，
mg
C.
mg，
mgD.
mg，
mg
答案 A
解析
分析结点c的受力情况如图，设ac绳受到的拉力为F1、bc绳受到的拉力为F2，根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向，由几何知识得
F1＝Fcos30°＝
mg
F2＝Fsin30°＝
mg
选项A正确．
2．（动态平衡问题）用细绳OA、OB悬挂一重物，OB水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图7所示位置逐渐移到C点的过程中，试分析OA绳和OB绳中的拉力变化情况为（ ）
图7
A．OA绳中的拉力逐渐减小
B．OA绳中的拉力逐渐增大
C．OB绳中的拉力逐渐减小
D．OB绳中的拉力先减小后增大
答案 AD
解析 如图所示，在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，OA、OB中的拉力分别为TA1、TA2、TA3和TB1、TB2、TB3，从图中可以直观地看出，TA逐渐变小，且方向不变；而TB先变小后变大，且方向不断改变；当TB与TA垂直时，TB最小，然后TB又逐渐增大．故A、D正确．
3.（整体法与隔离法）如图8所示，吊车m和磅秤N共重500N，物体G重300N，当装置平衡时，磅秤的示数是（ ）
图8
A．500NB．400N
C．300ND．100N
答案 D
解析 先用整体法分析，所有物体总重为800N，则与定滑轮相连的绳子的拉力都是400N，所以下面两股绳子的拉力都是200N，最后以G为研究对象可知磅秤对G的支持力为100N，D正确．
4．（矢量三角形法）如图9所示，电灯的重力为20N，绳AO与天花板间的夹角为45°，绳BO水平，求绳AO、BO上的拉力的大小．（请分别用两种方法求解）
图9
答案 20
N 20N
解析 解法一 矢量三角形法（力的合成法）
O点受三个力作用处于平衡状态，如图所示，
可得出FA与FB的合力F合方向竖直向上，大小等于FC.
由三角函数关系可得
F合＝FAsin45°＝FC＝G灯
FB＝FAcos45°
解得FA＝20
N，FB＝20N
故绳AO、BO上的拉力分别为20
N、20N.
解法二 正交分解法
如图所示，将FA进行正交分解，根据物体的平衡条件知
FAsin45°＝FC
FAcos45°＝FB
后面的分析同解法一
题组一 动态平衡问题
1.用轻绳把一个小球悬挂在O点，用力F拉小球使绳编离竖直方向30°，小球处于静止状态，力F与竖直方向成角θ，如图1所示，若要使拉力F取最小值，则角θ应为（ ）
图1
A．30°B．60°C．90°D．45°
答案 B
解析 选取小球为研究对象，小球受三个共点力作用：
重力G、拉力F和轻绳拉力T，由于小球处于平衡状态，所以小球所受的合力为零，则T与F的合力与重力G等大反向．因为绳子方向不变，作图后不难发现，只有当F的方向与T的方向垂直时，表示力F的有向线段最短，即当F的方向与轻绳方向垂直时，F有最小值．故本题的正确选项是B.
2.一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2所示．现将细绳缓慢往左拉，使轻杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及轻杆BO对绳的支持力N的大小变化情况是（ ）
图2
A．N先减小，后增大B．N始终不变
C．F先减小，后增大D．F始终不变
答案 B
解析 取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力（大小为F）、BO杆的支持力N和悬挂重物的绳子的拉力（大小为G），如图所示，得到一个力三角形（如图中画斜线
部分），此力三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解．
如图所示，力三角形与几何三角形OBA相似，设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得：
＝
＝
式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知N不变，F逐渐变小．故选B.
3.如图3所示，用细绳悬挂一个小球，小球在水平拉力F的作用下从平衡位置P点缓慢地沿圆弧移动到Q点，在这个过程中，绳的拉力F′和水平拉力F的大小变化情况是（ ）
图3
A．F′不断增大B．F′不断减小
C．F不断减小D．F不断增大
答案 AD
解析 如图所示，利用图解法可知F′不断增大，F不断增大．
4.置于水平地面上的物体受到水平作用力F处于静止状态，如图4所示，保持作用力F大小不变，将其沿逆时针方向缓缓转过180°，物体始终保持静止，则在此过程中地面对物体的支持力N和地面给物体的摩擦力f的变化情况是（ ）
图4
A．N先变小后变大，f不变
B．N不变，f先变小后变大
C．N、f都是先变大后变小
D．N、f都是先变小后变大
答案 D
解析 力F与水平方向的夹角θ先增大后减小，水平方向上，Fcosθ－f＝0，f＝Fcosθ；竖直方向上，N＋Fsinθ－mg＝0，N＝mg－Fsinθ，故随θ变化，f、N都是先减小后增大．
题组二 整体法与隔离法
5.两刚性球a和b的质量分别为ma和mb、直径分别为da和db（da＞db）将a、b球依次放入一竖直放置、平底的圆筒内，如图5所示．设a、b两球静止对圆筒侧面对两球的弹力大小分别为F1和F2，筒底对球a的支持力大小为F.已知重力加速度大小为g.若所有接触都是光滑的，则（ ）
图5
A．F＝（ma＋mb）g F1＝F2
B．F＝（ma＋mb）g F1≠F2
C．mag＜F＜（ma＋mb）g
D．mag＜F＜（ma＋mb）g，F1≠F2
答案 A
解析 对两刚性球a和b整体受力分析，由竖直方向受力平衡可知F＝（ma＋mb）g、水平方向受力平衡有F1＝F2.
6.如图6所示，测力计、绳子和滑轮的质量都不计，摩擦不计．物体A重40N，物体B重10N，以下说法正确的是（ ）
图6
A．地面对A的支持力是30N
B．物体A受到的合力是30N
C．测力计示数20N
D．测力计示数30N
答案 AC
7.在粗糙水平面上放着一个质量为M的三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个物体，m1>m2，如图7所示，若三角形木块和两物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块（ ）
图7
A．无摩擦力的作用
B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左
C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因m1、m2、θ1、θ2的数值均未给出
D．地面对三角形木块的支持力大小为（m1＋m2＋M）g
答案 AD
解析 由于三角形木块和斜面上的两物体都静止，可以把它们看成一个整体，如图所示，整体竖直方向受到重力（m1＋m2＋M）g和支持力N作用处于平衡状态，故地面对整体的支持力大小为（m1＋m2＋M）g，故D选项正确．水平方向无任何滑动趋势，因此不受地面的摩擦力作用．故A选项正确．
8．如图8所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙壁之间放一光滑球B，整个装置处于静止状态．若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则（ ）
图8
A．B对墙的压力减小
B．A与B之间的作用力增大
C．地面对A的摩擦力减小
D．A对地面的压力不变
答案 ACD
解析
设物体A对球B的支持力为F1，竖直墙对球B的弹力为F2，F1与竖直方向的夹角θ因物体A右移而减小．对球B受力分析如图所示，由平衡条件得：
F1cosθ＝mBg，F1sinθ＝F2，解得F1＝
，F2＝mBgtanθ，θ减小，F1减小，F2减小，选项A对，B错；对A、B整体受力分析可知，竖直方向，地面对整体的支持力N＝（mA＋mB）g，与θ无关，即A对地面的压力不变，选项D对；水平方向，地面对A的摩擦力f＝F2，因F2减小，故f减小，选项C对．
题组三 矢量三角形法求解共点力的平衡问题
9．一个物体受到三个力的作用，三力构成的矢量图如图所示，则能够使物体处于平衡状态的是（ ）
答案 A
10.如图9所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为N，OP与水平方向的夹角为θ，下列关系正确的是（ ）
图9
A．F＝
B．F＝mgtanθ
C．N＝
D．N＝mgtanθ
答案 A
解析
对滑块进行受力分析如图，滑块受到重力mg、支持力N、水平推力F三个力作用．由共点力的平衡条件知，F与mg的合力F′与N等大、反向．根据平行四边形定则可知N、mg和合力F′构成直角三角形，解直角三角形可求得：
F＝
，N＝
.所以正确选项为A.
11.如图10所示，一个重为100N、质量分布均匀的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求墙面对小球的支持力F1和A点对小球的压力F2.
图10
答案 100
N，方向垂直墙壁向左 200N，方向沿A→O
解析 如图，小球受重力G竖直墙面对球的弹力F1和A点对球的弹力F2作用．由三力平衡条件知F1与F2的合力与G等大反向，解直角三角形得
F1＝mgtanθ＝100
N，方向垂直墙壁向左
F2＝
＝200N，方向沿A→O
12.滑板运动是一项非常刺激的水上运动．研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力N垂直于板面，大小为kv2，其中v为滑板速率（水可视为静止）．某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ＝37°时（如图11），滑板做匀速直线运动，相应的k＝54kg/m，人和滑板的总质量为108kg，试求：
（重力加速度g取10m/s2，sin37°取
，忽略空气阻力）
图11
（1）水平牵引力的大小；
（2）滑板的速率．
答案
（1）810N
（2）5m/s
解析
（1）以滑板和运动员整体为研究对象，其受力如图所示（三力组成矢量三角形）
由共点力平衡条件可得
Ncosθ＝mg①
Nsinθ＝F②
联立①②得
F＝810N
（2）N＝mg/cosθ
N＝kv2
得v＝
＝5m/s
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