全国高中数学联赛试卷.doc
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2005年全国高中数学联赛试卷
（2005年10月16日上午8∶00－9∶40）
一、选择题：
1．使关于x的不等式+≥k有解的实数k的最大值是（）
A．－B．C．+D．
2．空间四点A、B、C、D满足||＝3，||＝7，||＝11，||＝9．则·的取值（）
A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个
3．△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，则的值为（）
A．2B．4C．6D．8
4．如图，ABCD－A¢B¢C¢D¢为正方体，任作平面α与对角线AC¢垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（）
A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值
C．S与l均为定值D．S与l均不为定值
5．方程+＝1表示的曲线是（）
A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线
6．记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6}，M＝{+++|ai∈T，i＝1，2，3，4}，将M中的元素按从大到小排列，则第2005个数是（）
A．+++B．+++C．+++D．+++
二、填空题：
7．将关于x 的多项式f（x）＝1－x+x2－x3+…－x19 +x20表为关于y的多项式g（y）＝a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，其中y＝x－4，则a0+a1+…+a20＝；
8．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，若f（2a2+a+1）＜f（3a2－4a+1）成立，则a的取值范围是；
9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x∈R，cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ）＝0，则γ－α＝；
10．如图，四面体DABC的体积为，且满足∠ACB＝45°，AD+BC+＝3，则CD＝；
11．若正方形ABCD的一条边在直线y＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线y＝x2上，则该正方形面积的最小值为；
12．如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2005，则a5n＝．
三、解答题：
13．数列{an}满足a0＝1，an+1＝，n∈N，
证明：
⑴对任意n∈N，an为正整数；
⑵对任意n∈N，anan+1－1为完全平方数．
14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S，求使S达到最小值的放法的概率．（注：
如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法）
15．过抛物线y＝x2上一点A（1，1）作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足＝λ1；点F在线段BC上，满足＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
加试卷
一、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E、F．
证明：
直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心．
二、设正数a、b、c、x、y、z满足cy+bz＝a，az+cx＝b，bx+ay＝c．求函数f（x，y，z）＝++的最小值．
三、对每个正整数n，定义函数f（n）＝（其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}＝x－[x]）．试求f（k）的值．
呜呼！
不怕繁死人，就怕繁不成！
2005年全国高中数学联赛试卷
（2005年10月16日上午8∶00－9∶40）
一、选择题：
1．使关于x的不等式+≥k有解的实数k的最大值是（）
A．－B．C．+D．
选D．
解：
3≤x≤6，令＝sinα（0≤α≤），则x＝3+3sin2α，＝cosα．
故≥（sinα+cosα）≥．故选D．
2．空间四点A、B、C、D满足||＝3，||＝7，||＝11，||＝9．则·的取值（）
A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个
选A．
解：
+++＝．
DA2＝2＝（++）2＝AB2+BC2+CD2+2（·+·+·）
＝AB2+BC2+CD2+2（·+·－2），（其中+＝，＝－）
＝AB2+BC2+CD2－2BC2+2（·）．
故2·＝DA2+BC2－AB2－CD2＝92+72－32－112＝0Þ·＝0．选A．
3．△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，则的值为（）
A．2B．4C．6D．8
选A．
解：
AA1·cos＝2sin（B+）cos＝sin（A+B）+sinB＝sinC+sinB．
AA1·cos+BB1·cos+CC1·cos＝2（sinA+sinB+sinC）．故原式＝2．选A．
4．如图，ABCD－A¢B¢C¢D¢为正方体，任作平面α与对角线AC¢垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（）
A．S为定值，l不为定值B．S不为定值，l为定值
C．S与l均为定值D．S与l均不为定值
选B．
解：
设截面在底面内的射影为EFBGHD，设AB＝1，AE＝x（0≤x≤），则
l＝3[x+（1－x）]＝3为定值；
而S＝[1－x2－（1－x）2]secθ＝（－x－x2）secθ（θ为平面α与底面的所成角）不为定值．故选B．
5．方程+＝1表示的曲线是（）
A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线
选C．
解：
由于+＞πÞ＞－＞－＞0Þcos（－）＜cos（－）Þsin－sin＞0；
又，0＜＜c＜πÞcos－cos＞0，Þ曲线为椭圆．
sin－sin－（cos－cos）＝[sin（－）－sin（－）]．而0＜－＜－＜Þ
sin－sin＜cos－cosÞ焦点在y轴上．故选C．
6．记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6}，M＝{+++|ai∈T，i＝1，2，3，4}，将M中的元素按从大到小排列，则第2005个数是（）
A．+++B．+++C．+++D．+++
选C．
解：
M＝{（a1×73+a2×72+a3×7+a4）|ai∈T，i＝1，2，3，4}，a1×73+a2×72+a3×7+a4可以看成是7进制数，（a1a2a3a4）7，其最大的数为（6666）7＝74－1＝2400．
从而从大到小排列的第2005个数是2400－2004＝396，即从1起从小到大排的第396个数，
396＝73+72+4Þ（1104）7，故原数为+++．故选C．
二、填空题：
7．将关于x 的多项式f（x）＝1－x+x2－x3+…－x19 +x20表为关于y的多项式g（y）＝a0+a1y+a2y2+…+a19y19+a20y20，其中y＝x－4，则a0+a1+…+a20＝；
填
解：
f（x）＝a0+a1（x－4）2+a2（x－4）2+…+a20（x－4）20．令x＝5得f（5）＝1－5+52－53+…－519+520＝＝＝a0+a1+…+a20．
8．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，若f（2a2+a+1）＜f（3a2－4a+1）成立，则a的取值范围是；
填（0，）∪（1，5）．
解：
Þa∈（－∞，）∪（1，+∞）．
2a2+a+1＞3a2－4a+1Þa2－5a＜0Þ0＜a＜5．
故所求取值范围为（0，）∪（1，5）．
9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x∈R，cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ）＝0，则γ－α＝；
填π．
解：
由f（x）≡0，得f（－α）＝f（－β）＝f（－γ）＝0：
cos（β－α）+cos（γ－α）＝cos（β－α）+cos（γ－β）＝cos（γ－α）+cos（γ－β）＝－1．
故cos（β－α）＝cos（γ－β）＝cos（γ－α）＝－，
由于0＜α＜β＜γ＜2π，故β－α，γ－β，γ－α∈{π，π}．从而γ－α＝π．
10．如图，四面体DABC的体积为，且满足∠ACB＝45°，AD+BC+＝3，则CD＝；
填．
解：
V＝×AC×BCsin45°×h≤AC×BC×ADsin45°．
即AC×BC×ADsin45°≥1Þ×BC×AD≥1．
而3＝AD+BC+≥3＝3，等号当且仅当AD＝BC＝＝1时成立，
故AC＝，且AD＝BC＝1，AD⊥面ABC．ÞCD＝．
11．若正方形ABCD的一条边在直线y＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线y＝x2上，则该正方形面积的最小值为；
填80．
解：
设正方形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在直线上．
设直线AB方程为y＝2x+b，
⑴求AB交抛物线y＝x2的弦长：
以y＝2x+b代入y＝x2，得
x2－2x－b＝0．
△＝4+4bÞl＝2．
⑵两直线的距离＝．
⑶由ABCD为正方形得，2＝Þ100（b+1）＝b2+34b+289Þb2－66b+189＝0．
解得b＝3，b＝63．
正方形边长＝4或16Þ正方形面积最小值＝80．
12．如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2005，则a5n＝．
填52000．
解：
一位的吉祥数有7，共1个；
二位的吉祥数有16，25，34，43，52，61，70，共7个；
三位的吉祥数为x1+x2+x3＝7的满足x1≥1的非负整数解数，有C＝28个（也可枚举计数）．
一般的，k位的吉祥数为x1+x2+…+xk＝7的满足x1≥1的非负整数解数，令xi¢＝xi+1（i＝2，3，…，k），有x1+x2¢+…+xk¢＝7+k－1．共有解C＝C组．
4位吉祥数中首位为1的有28个，2005是4位吉祥数中的第29个．故n＝1+7+28+28+1＝65．5n＝325．
C+C+C+C+C＝1+7+28+84+210＝330．即是5位吉祥数的倒数第6个：
5位吉祥数从大到小排列：
70000，61000，60100，60010，60001，52000，…．
三、解答题：
13．数列{an}满足a0＝1，an+1＝，n∈N，
证明：
⑴对任意n∈N，an为正整数；
⑵对任意n∈N，anan+1－1为完全平方数．
证明：
⑴a1＝5，且an单调递增．
所给式即（2an+1－7an）2＝45a－36Þa－7an+1an+a+9＝0．①
下标加1：
a－7an+2an+1+a+9＝0．②
相减得：
（an+2－an）（an+2－7an+1+an）＝0．
由an单调增，故an+2－7an+1+an＝0Þan+2＝7an+1－an．③
因a0、a1为正整数，且a1＞a0，故a2为正整数，由数学归纳法，可知，对任意n∈N，an为正整数．
⑵由①：
a+2an+1an+a＝9（an+1an－1）Þan+1an－1＝（）2④
由于an为正整数，故an+1an－1为正整数，从而（）2为正整数．但an、an+1均为正整数，于是必为有理数，而有理数的平方为整数时，该有理数必为整数，从而是整数．即an+1an－1是整数的平方，即为完全平方数．故证．
原解答上有一段似无必要：
记f（n）＝an+1an－（）2，
则f（n）－f（n－1）＝（an+1an－anan－1）－（2an+an+1+an－1）（an+1－an－1）＝（an－1－an+1）（an+1－7an+an－1）＝0．即
f（n）＝f（n－1）＝…＝f（0）＝1，故④式成立．
故anan+1－1为完全平方数．
又证：
由上证，得③式后：
an+2－7an+1+an＝0．
特征方程为x2－7x+1＝0．
解得：
x＝＝＝．
令an＝α+β．由a0＝1，a1＝5解得
α＝，β＝；
得an＝[+]⑤
注意到·＝1，+＝．
有，anan+1－1＝[+]·[+]－1
＝[+++－5]
＝[+]2
由二项式定理或数学归纳法知+为k型数（k∈N*），故anan+1－1为完全平方数．
（用数学归纳法证明：
n＝0时，+＝2．
设当n≤m（m∈N*）时，+＝kn（kn∈N*），且k1＜k2＜…＜km．
+＝[+]·[+]－[+]．
＝7km－km－1＝（7km－km－1）．由归纳假设知km+1＝7km－km－1∈N*，且km＜km+1成立．
得证．
14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S，求使S达到最小值的放法的概率．（注：
如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法）
解：
9个有编号的小球放在圆周的九个九等分点上，考虑镜面反射的因素，共有种放法；
为使S取得最小值，从1到9之间应按增序排列：
设从1到9之间放了k个球，其上的数字为x1，x2，…，xk，则|1－x1|+|x1－x2|+…+|xk－9|≥|1－x1+x1－x2+…+xk－9|＝8．当且仅当1－x1、x1－x2、…、xk－9全部同号时其和取得最小值，即1，x1，x2，…，xk，9递增排列时其和最小．故S≥2×8＝16．
当S取得最小值时，把除1、9外的7个元素分成两个子集，各有k及7－k个元素，分放1到9的两段弧上，分法总数为C+C+…+C种，考虑镜面因素，共有64种方法．
所求概率P＝＝．
15．过抛物线y＝x2上一点A（1，1）作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足＝λ1；点F在线段BC上，满足＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
解：
过点A的切线方程为y＝2x－1．交y轴于点B（0，－1）．AB与x轴交于点D（，0）．设点C坐标为C（x0，y0），＝λ，点P坐标为（x，y）．
由＝λ1Þ＝1+λ1，同理，＝1+λ2；
而、、成等差数列（过A、B作CD的平行线可证）．
得2λ＝1+λ1+1+λ2＝3，即λ＝．从而点P为△ABC的重心．
x＝，y＝．y0＝x．
解得x0＝3x－1，y0＝3y，代入y0＝x得，y＝（3x－1）2．
由于x0≠1，故x≠．所求轨迹方程为y＝（3x－1）2（x≠）．
又解：
过点A的切线方程为y＝2x－1．交y轴于点B（0，－1）．AB与x轴交于点D（，0）．设点C坐标为C（t，t2），
CD方程为＝，即y＝（2x－1）．
点E、F坐标为E（，）；F（，）．从而得EF的方程为：
＝．
化简得：
[（λ2－λ1）t－（1+λ2）]y＝[（λ2－λ1）t2－3]x+1+t－λ2t2．①
当t≠时，直线CD方程为：
y＝②
联立①、②解得消去t，得点P的轨迹方程为y＝（3x－1）2．
当t＝时，EF方程为：
－y＝（λ2－λ1－3）x+－λ2，CD方程为：
x＝，联立解得点（，），此点在上述点P的轨迹上，
因C与A不能重合，故t≠1，x≠．
故所求轨迹为y＝（3x－1）2（x≠）．
加试卷
一、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E、F．
证明：
直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心．
证明：
连DC、DE，作∠BAC的平分线交DE于点I，交CD于G．
由AD＝AC，∠DAI＝∠CAI，AI＝AIÞ△ADI≌△ACI．
故∠ADI＝∠ACI，
但∠FAD＝∠ACB（弦切角）；∠FAD＝2∠ADE（等腰三角形顶角的外角）
所以∠FAD＝2∠ACIÞ∠ACB＝2∠ACI，即CI是∠ACB的平分线．
故点I是△ABC的内心．
连FD并延长交AI延长线于点I¢，连CI¢．
由于AD＝AE＝AFÞ∠EDF＝90°Þ∠IDI¢＝90°．
而由△ADI≌△ACI知，∠AID＝∠AICÞ∠DII¢＝∠CII¢，又ID＝IC，II¢为公共边．故△IDI¢≌△ICI¢，Þ∠ICI¢＝90°．由于CI是∠ACB的平分线，故CI¢是其外角的平分线，从而I¢为△ABC的一个旁心．
又证：
⑴连DE、DC，作∠BAC的平分线分别交DE于I，DC于G，连IC，则由AD＝AC，得AG⊥DC，ID＝IC．
又D、C、E在⊙A上，故∠IAC＝∠DAC＝∠IEC．故A、I、C、E四点共圆．
所以∠CIE＝∠CAE＝∠ABC，而∠CIE＝2∠ICD，故∠ICD＝∠ABC．
所以，∠AIC＝∠IGC+∠ICG＝90°+∠ABC，所以∠ACI＝∠ACB．故I为△ABC的内心．
⑵连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I1，连II1，BI1、BI，则由⑴知，I为△ABC的内心，故∠IBI1＝90°＝∠EDI1．故D、B、I1、I四点共圆．
故∠BII1＝∠BDI1＝90°－∠ADI＝（∠BAC+∠ADG）－∠ADI＝∠BAC+∠IDG，故A、I、I1共线．所以，I1是△ABC的BC边外的旁心．
二、设正数a、b、c、x、y、z满足cy+bz＝a，az+cx＝b，bx+ay＝c．求函数f（x，y，z）＝++的最小值．
解：
解方程组：
得，由于x、y、z为正数，故Þ即以a、b、c为边可以构成锐角三角形．记边a、b、c的对角分别为∠A、∠B、∠C．
则cosA＝x，cosB＝y，cosC＝z．（A、B、C为锐角）
f（x，y，z）＝f（cosA，cosB，cosC）＝++．
令u＝cotA，v＝cotB，w＝cotC，则u，v，w∈R+，且uv+vw+wu＝1．
于是，（u+v）（u+w）＝u2+uv+uw+vw＝u2+1．同理，v2+1＝（v+u）（v+w），w2+1＝（w+u）（w+v）．
cos2A＝sin2Acot2A＝＝，所以，＝＝＝
＝u2－＝u2－≥u2－（+）．
同理≥v2－（+），≥w2－（+）．
于是f≥u2+v2+w2－（++）
＝u2+v2+w2－（u2－uv+v2+v2－vw+w2+w2－wu+u2）
＝（uv+vw+wu）＝（等号当且仅当u＝v＝w，即a＝b＝c，x＝y＝z＝时成立．）
故知[f（x，y，z）]min＝．
又证：
由约束条件可知
故
得，f（x，y，z）＝．⑴
显然有a+b－c＞0，a－b+c＞0，－a+b+c＞0．由Cauchy不等式有，
·[bc（b+c－a）+ca（c+a－b）+ab（a+b－c）]≥（a2+b2+c2）2．
故f（x，y，z）≥
＝·．
下面证明≥1．即证
a4+b4+c4≥a3b+a3c+b3c+b3a+c3a+c3b－（a+b+c）abc．⑵
由于，a4－a3b－a3c+a2bc＝a2（a2－ab－ac－bc）＝a2（a－b）（a－c）．故⑵式即
a2（a－b）（a－c）+b2（b－a）（b－c）+c2（c－a）（c－b）≥0．
不妨设a≥b≥c．则
a2（a－b）（a－c）+b2（b－a）（b－c）≥a2（a－b）（b－c）－b2（a－b）（b－c）＝（a2－b2）（a－b）（b－c）≥0，
又，c2（c－a）（c－b）≥0
于是a2（a－b）（a－c）+b2（b－a）（b－c）+c2（c－a）（c－b）≥0成立．等号当且仅当a＝b＝c时成立．
所以，f（x，y，z）≥，且f（，，）＝．
又证：
令p＝（a+b+c），⑴式即f（x，y，z）＝（由Cauchy不等式）
≥·＝·．
而a2+b2+c2＝2（p2－4Rr－r2），ab+bc+ca＝p2+4Rr+r2，abc＝4Rrp．（*）
故，f（x，y，z）≥·＝·．
而≥p2Ûp4+16R2r2+r4－8p2Rr－2p2r2+8Rr3≥p4－8p2Rr+p2r2
Û16R2+8Rr+r2≥3p2Û4R+r≥p．（**）
最后一式成立．故得结论．
关于（*）式：
由△＝rp，得r2＝＝＝
＝＝；①
又由△＝，得4Rr＝．故4Rr+r2＝－p2+（ab+bc+ca）．
就是ab+bc+ca＝p2+4Rr+r2；
a2+b2+c2＝（a+b+c）2－2（ab+bc+ca）＝4p2－2p2－8Rr－2r2＝2（p2－4Rr－r2）；
abc＝4R△＝4Rrp．
关于（**）式：
由r＝4Rsinsinsin，故
4R+r＝4R+4Rsin
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