吉林省长春市普通高中高三质量监测(一)数学文试题.doc

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2017届吉林省长春市普通高中高三质量监测

（一）数学文试题

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.复数在复平面内对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2.已知集合，则（为自然数集）为（）

A．B．C．D．

3.已知向量，，则（）

A．B．C．2D．4

4.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：

粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）

A．164石B．178石C．189石D．196石

5.命题：

“，使”，这个命题的否定是（）

A．，使B．，使

C．，使D．，使

6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则处条件可以是（）

A．B．C．D．

7.已知是等差数列的前项和，，，若，则的最小值为（）

A．3B．4C．5D．6

8.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（）

A．B．C．D．

9.已知圆上到直线的距离等于1的点有且仅有2个，则的取值范围是（）

A．B．

C．D．

10.“龟兔赛跑”是一则经典故事：

兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程一时间图象（）

11.双曲线的左右焦点分别为，为右支上一点，且，，则双曲线的离心率为（）

A．3B．5C．D．

12.已知函数，函数，若，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.抛物线的焦点坐标为.

14.函数的定义域为.

15.动点满足，则的最小值为.

16.已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知.

（1）求的单调增区间；

（2）在中，为锐角且，为中点，，，求的长.

18.（本小题满分12分）

某人种植一种经济作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455，已知当年产量低于350时，单位售价为20元/，若当年产量不低于350而低于550时，单位售价为15元/，当年产量不低于550时，单位售价为10元/.

（1）求图中的值；

（2）试估计年销售额大于5000元小于6000元的概率？

19.（本小题满分12分）

已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，为的中点.

（1）在图中作出平面与的交点，并指出点所在位置（不要求给出理由）；

（2）求平面将四棱锥分成上下两部分的体积比.

20.（本小题满分12分）

已知函数，，且函数与的图象在处的切线相同.

（1）求的值；

（2）令，若函数存在3个零点，求实数的取值范围.

21.（本小题满分12分）

以边长为4的等边三角形的顶点以及边的中点为左、右焦点的椭圆过两点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）过点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点，求证直线与的交点在一条直线上.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：

几何证明选讲

如图，为圆上一点，点在直线的延长线上，过点作圆的切线交的延长线于点，.

（1）证明：

；

（2）若，求圆的半径.

23.（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）曲线的极坐标方程为，求与的公共点的极坐标.

24.（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

已知函数的最大值为.

（1）求的值；

（2）若，，求的最大值.

长春市普通高中2017届高三质量监测

（一）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.B 2.C 3.B 4.C 5.B 6.C

7.D 8.C 9.C 10.A 11.B 12.D

简答与提示：

1.【命题意图】本题考查复数的实部和虚部运算与复数与平面内点的对应关系.

【试题解析】B　题意可知，，，则，对应的点在第二象限.故选B.

2.【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.

【试题解析】C由已知，则，故选C.

3.【命题意图】本题考查平面向量的几何表示中的加、数乘、求模等运算.

【试题解析】B，故.故选B.

4.【命题意图】本题主要抽样中的用样本去估计总体.

【试题解析】C由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为，则由此估计总体中谷的含量约为石.故选C.

5.【命题意图】本题是对逻辑问题中的特称命题的否定进行考察.

【试题解析】B　由已知，命题的否定为，，故选B.

6.【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.

【试题解析】C　有已知，，，，，，，符合条件输出，故选C.

7.【命题意图】本题考查等差数列基本量的求取，以及等差数列求和.

【试题解析】D　由已知且，可得，因此，即，故选D.

8.【命题意图】本题主要考查三视图的还原，还涉及体积的求取.

【试题解析】C 由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为，故选C.

9.【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线距离等相关知识.

【试题解析】C　由已知，圆的半径为2，可知圆心到直线的距离属于时，满足只有两个圆上的点到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得，因此.故选C.

10.【命题意图】本题背景基于经典国学故事，考查图像对函数特点的描述.

【试题解析】A由故事内容不难看出，最终由乌龟先到达终点，故选A.

11.【命题意图】本题考查双曲线的定义及渐近线的相关知识.

【试题解析】B　由已知，，则.又因为，则，即.则双曲线离心率为5，故选B.

12.【命题意图】本题是考查分段函数的性质以及函数的图像，本题还涉及到不等式的求解等内容.

【试题解析】D　由题可知，为单调递增的奇函数，则为偶函数，又，因此，即，利用换元法解得的取值范围是.故选D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 14.或 15. 16.

简答与提示：

13.【命题意图】本题考查抛物线的概念.

【试题解析】已知抛物线，可化为，故焦点坐标应为.

14.【命题意图】本题考查函数定义域的求法，即列不等式组合解不等式组.

【试题解析】由函数的符号可以确定必须满足约束：

，解得或.

15.【命题意图】本题考查线性可行域的画法及线性目标函数的最值求法.

【试题解析】由已知可得，线性可行域如图所示，则线性目标函数在点取最小值3.

16.【命题意图】本题考查三棱锥的外接球问题，特别涉及到了三棱锥和长方体的外接球之间的关系.

【试题解析】由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则.则到面距离的最大值为.

三、解答题

17.（本小题满分12分）

【命题意图】本题考查三角函数的化简以及恒等变换公式的应用，还有解三角形的内容，如正弦定理等.

【试题解析】

（1）由题可知，

令，，即函数的单调递增区间为，.（6分）

（2）由，所以，解得或（舍）

又因为为中点，以、为邻边作平行四边形，因为，所以，在△中，，.

由余弦定理可知，解得.（12分）

18.（本小题满分12分）

【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.

【试题解析】解：

（1） 由已知，，

即，有.（6分）

（2）由

（1）结合直方图可知，当年产量大于而低于，或年产量大于而低于，或年产量大于而低于时，其年销售额为大于而低于元，所以其概率为.（12分）

19.（本小题满分12分）

【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【试题解析】解：

（1）为中点，截面如图所示.（4分）

（2）因为是的中位线，，所以，且，

所以梯形的面积为，

点到截面的距离为到直线的距离，

所以四棱锥的体积，

而四棱锥的体积，

所以四棱锥被截下部分体积，

故上，下两部分体积比.（12分）

20.（本小题满分12分）

【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.

【试题解析】

（1）已知

，则，又，所以在处的切线方程为，又因为和的图像在处的切线相同，

所以.（4分）

当时，，，可得函数在处取得极大值，

当时，图像趋近于轴.

函数的大致图像如图所示，

可知函数存在3个零点时，

的取值范围是（12分）

21.（本小题满分12分）

【命题意图】本小题考查椭圆的几何意义以及标准方程，直线和椭圆的位置关系及定值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

【试题解析】

（1）由题意可知两焦点为与，且，因此椭圆的方程为.（4分）

（2）①当不与轴重合时，

设的方程为，且，

联立椭圆与直线消去可得，即，

设，

则：

①

：

②

②-①得

则，即.

②当与轴重合时，即的方程为，即，.

即：

①

：

②

联立①和②消去可得.

综上与的交点在直线上.（12分）

22.（本小题满分10分）

【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.

【试题解析】

（1）由已知连接，因为

且公用，所以即（5分）

（2）因为 ，所以

因为，所以，即

，则，故，

所以半径是. （10分）

23.（本小题满分10分）

【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.

【试题解析】

（1）曲线的普通方程为 （5分）

（2）由已知，即，

因为，有，则，

故交点的极坐标为（10分）

24.（本小题满分10分）

【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.

【试题解析】

（1）由于，

所以. （5分）

（2）由已知，有，

因为（当取等号），（当取等号），

所以，即，

故（10分）

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