吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)(解析版).doc
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2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）
1．已知复数z=1+2i，则=（ ）
A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i
2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（ ）
A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2}
3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（ ）
A． B． C．4 D．3
5．下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线
B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γ
C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
D．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交
6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A．4 B． C． D．
8．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（ ）
A．求24名男生的达标率 B．求24名男生的不达标率
C．求24名男生的达标人数 D．求24名男生的不达标人数
9．等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（ ）
A．9 B．15 C．18 D．30
10．函数y=的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
11．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（ ）
A．（1，） B．[0，2] C．[1，2） D．[1，]
12．对，23x≤logax+1恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为 ．
14．若函数f（x）=ex•sinx，则f'（0）= ．
15．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：
“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？
”其意思为：
“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？
”则答案是 ．
16．F为双曲线（a＞b＞0）的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．
（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：
女性用户
分值区间
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
20
40
80
50
10
男性用户
分值区间
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
45
75
90
60
30
（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求两名用户中评分都小于90分的概率．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）证明：
PD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求三棱锥C﹣PBD外接球的体积．
20．已知函数f（x）=ax﹣lnx．
（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；
（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），求实数a的取值范围．
21．已知椭圆C：
，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：
坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）
22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．
[选修4-5：
不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．
（1）求证：
2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．
2017年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）
1．已知复数z=1+2i，则=（ ）
A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由已知直接利用求解．
【解答】解：
∵z=1+2i，∴=|z|2=．
故选：
A．
2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（ ）
A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜2}
【考点】交集及其运算．
【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．
【解答】解：
集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，
B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}．
故选：
D．
3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：
由a＞|b|”能推出“a3＞b3”，是充分条件，
反之，不成立，比如a=1，b=﹣2，不是必要条件，
故选：
A．
4．直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（ ）
A． B． C．4 D．3
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案．
【解答】解：
圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的圆心坐标为（1，3），半径r=，
圆心到直线x﹣3y+3=0的距离d==，
故弦AB=2=，
故选A．
5．下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线
B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γ
C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
D．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：
如果平面α外的直线a不平行于平面α，则a与α相交，则α内不存在与a平行的直线，故A正确；
如图：
α⊥γ，α∩γ=a，β⊥γ，β∩γ=b，α∩β=l，
在γ内取一点P，过P作PA⊥a于A，作PB⊥b于B，由面面垂直的性质可得PA⊥l，PB⊥l，
则l⊥γ，故B正确；
如果平面α⊥平面β，那么平面α内的直线与平面β有三种位置关系：
平行、相交、异面，故C错误；
一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故D正确．
故选：
C．
6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．
【解答】解：
不等式组所表示的平面区域位于
直线x+y﹣3=0的下方区域和直线
x﹣y+1=0的上方区域，
根据目标函数的几何意义，
可知目标函数经过A时，z取得最大值．
由可得A（1，2），
所以目标函数z的最大值为4．
故选B．
7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A．4 B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．
【解答】解：
由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，
底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，
所以四棱锥的体积．
故选D．
8．某高中体育小组共有男生24人，其50m跑成绩记作ai（i=1，2，…，24），若成绩小于6.8s为达标，则如图所示的程序框图的功能是（ ）
A．求24名男生的达标率 B．求24名男生的不达标率
C．求24名男生的达标人数 D．求24名男生的不达标人数
【考点】程序框图．
【分析】由题意，从成绩中搜索出大于6.8s的成绩，计算24名中不达标率．
【解答】解：
由题意可知，k记录的是时间超过6.8s的人数，而i记录是的参与测试的人数，因此表示不达标率；
故选B．
9．等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=（ ）
A．9 B．15 C．18 D．30
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设等比数列{an}的公比为q＞0，由2S3=8a1+3a2，可得2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：
2q2﹣q﹣6=0，解得q，进而得出．
【解答】解：
设等比数列{an}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，
∴2（a1+a2+a3）=8a1+3a2，化为：
2a3=6a1+a2，可得=6a1+a1q，化为：
2q2﹣q﹣6=0，解得q=2．
又a4=16，可得a1×23=16，解得a1=2．
则S4==30．
故选：
D．
10．函数y=的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】利用函数的定义域排除选项，值域排除选项即可得到结果．
【解答】解：
由函数定义域排除A，函数的值域．可知x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，排除C，D．
故选：
B．
11．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（ ）
A．（1，） B．[0，2] C．[1，2） D．[1，]
【考点】正弦函数的图象．
【分析】把方程2sin（2x+）=m化为sin（2x+）=，画出函数f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m的取值范围．
【解答】解：
方程2sin（2x+）=m可化为
sin（2x+）=，
当x∈[0，]时，2x+∈[，]，
画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象如图所示；
根据方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，
得≤＜1
1≤m＜2
∴m的取值范围是[1，2）．
故选：
C．
12．对，23x≤logax+1恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数恒成立问题；全称命题．
【分析】先构造函数f（x）=x2+x，g（x）=﹣logax．h（x）=f（x）+g（x），将问题等价转化为函数h（x）在区间（0，）上恒有h（x）≤0，又函数为增函数，故可求答案．
【解答】解：
构造函数f（x）=23x，g（x）=﹣logax﹣1．
h（x）=f（x）+g（x）．（0＜x＜）
易知，在区间（0，）上，函数f（x），g（x）均是递增函数，
∴函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0，）上是递增函数．
由题设可知，函数h（x）在区间（0，）上恒有h（x）≤0．
∴必有h（）≤0．
即有2﹣loga（）﹣1≤0．
整理就是logaa=1≤loga（），
∴实数a的取值范围是≤a＜1．
故选C．
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为 95 ．
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，得到关于x的方程，解出即可．
【解答】解：
设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，
则92×50=90×30+20x，解得：
x=95，
故答案为：
95．
14．若函数f（x）=ex•sinx，则f'（0）= 1 ．
【考点】导数的运算．
【分析】先求f（x）的导数，再求导数值．
【解答】解：
f（x）=ex•sinx，f′（x）=（ex）′sinx+ex．（sinx）′=ex•sinx+ex•cosx，∴f'（0）=0+1=1
故答案为：
1
15．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：
“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？
”其意思为：
“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？
”则答案是 15斤 ．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，由等差数列的前n项和得答案．
【解答】解：
由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，
则S5=，
∴金杖重15斤．
故答案为：
15斤．
16．F为双曲线（a＞b＞0）的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由条件可得A为FB的中点，运用中点坐标公式，可得a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．
【解答】解：
设F（﹣c，0），则过F作斜率为1的直线为：
y=x+c，
而渐近线的方程是：
y=±x，
由得：
A（﹣，），
由得，B（﹣，﹣），
若=，可得A为FB的中点，
可得﹣c﹣=﹣2•，
化为b=3a，c==a，
e==．
故答案为：
．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．
（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．
【分析】
（1）利用向量数量积运算，即可求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（2）利用，△ABC的面积为，求出bc，利用余弦定理，求出，即可求△ABC的周长．
【解答】解：
（1），
∴==4﹣2sin（x+），
f（x）的最小正周期为2π；
（2）因为f（A）=4，所，因为0＜A＜π，所以，
因为，所以bc=3，
根据余弦定理，所以，
即三角形的周长为．
18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：
女性用户
分值区间
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
20
40
80
50
10
男性用户
分值区间
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
45
75
90
60
30
（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求两名用户中评分都小于90分的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】
（1）作出女性用户和男性用户的频率分布表，由图可得女性用户更稳定．
（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D，评分不小于90分的人数为2，记为a，b，设事件M为“两名用户评分都小于90分”从6人人任取2人，利用列举法能求出两名用户中评分都小于90分的概率．
【解答】（本小题满分12分）
解：
（1）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：
由图可得女性用户更稳定．
（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，
其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D，
评分不小于90分的人数为2，记为a，b，
设事件M为“两名用户评分都小于90分”从6人人任取2人，
基本事件空间为Ω={（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），
（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），
（Da），（Db），（ab）}，共有15个元素．
M={（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD）}，共有6个元素．
P（M）=．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）证明：
PD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求三棱锥C﹣PBD外接球的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD⊥平面ABE．
（Ⅱ）三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出三棱锥C﹣PBD外接球的体积．
【解答】证明：
（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，1），
=（0，2，﹣2），=（2，0，0），=（0，1，1），
=0，=0，
∴PD⊥AB，PD⊥AE，
∵AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．
解：
（Ⅱ）∵AD，AP，AB两垂直，底面ABCD为矩形，
∴三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，
∴三棱锥C﹣PBD外接球的半径R==3，
∴三棱锥C﹣PBD外接球的体积V===36π．
20．已知函数f（x）=ax﹣lnx．
（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切点的横坐标；
（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】
（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求出切线方程，即可求切点的横坐标；
（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2），化为ax2﹣ax﹣lnx≥0对∀x∈[1，+∞）恒成立，分类讨论，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：
（1）设切点为（x0，ax0﹣lnx0），∴，
直线的切线方程为y﹣（ax0﹣lnx0）=（a﹣）（x﹣x0），
又切线过原点﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，
所以lnx0=1，解得x0=e，所以切点的横坐标为e．
（2）因为不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）对∀x∈[1，+∞）恒成立，
所以ax2﹣ax﹣lnx≥0对∀x∈[1，+∞）恒成立．
设g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，g′（x）=2ax﹣a﹣．
①当a≤0时，∵，∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，
即g（x）≤g
（1）=0，∴a≤0不符合题意．
②当a＞0时，．设，
在[1，+∞）上单调递增，即a≥1．
（i）当a≥1时，由h（x）≥0，得g'（x）≥0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
即g（x）≥g
（1）=0，∴a≥1符合题意；
（ii）当0＜a＜1时，∵a﹣1＜0，∴∃x0∈[1，+∞）使得h（x0）=0，
则g（x）在[1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴g（x0）＜g
（1）=0，则0＜a＜1不合题意．
综上所述，a≥1．
21．已知椭圆C：
，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．
【分析】
（1）根据题意，分析可得b=c=1，计算可得a的值，代入椭圆的方程即可得答案；
（2）根据题意，设直线AB的方程为y=k（x+1），与联立可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），由根与系数的关系分析可得直线AB的垂直平分线方程，由弦长公式可以表示|AB|，计算可得答案．
【解答】解：
（1）根据题意，因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，
所以b=c=1，
即a==，
即椭圆C的方程为，
（2）根据题意，过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，即直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y=k（x+1），
与联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），
，，
，
即，
设直线AB的垂直平分线方程为，
令y=0，得，
因为，所以
=；
即线段AB长的范围是（，2）．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：
坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）
22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．
【考点】简单曲
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