特征值及特征向量定义及计算.docx
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特征值及特征向量定义及计算
特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念及其计算
定义1.设A是数域P上的一个n阶矩阵,是一个未知量,
称为A的特征多项式,记()=|E-A|,是一个P上的关于
的n次多项式,E是单位矩阵
。
()=|E-A|=n+1n-1+…+n=0是一个n次代数方程,称为A的特征方程。
特征方程()=|E-A|=0的根(如:
0)称为A的特征根(或特征值)。
n次代数方程在复数域有且仅有n个根,而在实数域不一定有根,因此特征根的多少和有无,不仅与A有关,与数域P也有关。
以A的特征值0代入(E-A)X=,得方程组(0E-A)X=,是一个齐次方程组
,称为A的关于0的特征方程组。
因为|0E-A|=0,(0E-A)X=必存在非零解X(0)
,X(0)称为A的属于0的特征向量。
所有0的特征向量全体构成了0的特征向量空间。
一.特征值与特征向量的求法
对于矩阵A,由AX=0X,0EX=AX,得:
[0E-A]X=即齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是:
即说明特征根
是特征多项式|0E-A|=0的根,由代数根本定理
有n个复根1,2,…,n,为A的n个特征根。
当特征根i(I=1,2,…,n)求出后,(iE-A)X=是齐次方程,i均会使|iE-A|=0,(iE-A)X=必存在非零解,且有无穷个解向量,(iE-A)X=的根底解系
以及根底解系的线性组合
都是A的特征向量。
例1.求矩阵
的特征值与特征向量。
解:
由特征方程
解得A有2重特征值1=2=-2,有单特征值3=4
对于特征值1=2=-2,解方程组(-2E-A)x=
得同解方程组x1-x2+x3=0
解为x1=x2-x3(x2,x3为自由未知量
)
分别令自由未知量
得根底解系
所以A的对应于特征值1=2=-2的全部特征向量为
x=k11+k22(k1,k2不全为零)
可见,特征值=-2的特征向量空间是二维的。
注意,特征值在重根时,特征向量空间的维数特征根的重数。
对于特征值3=4,方程组(4E-A)x=
得同解方程组为
通解为
令自由未知量x3=2得根底解系
所以A的对于特征值3=4得全部特征向量为x=k33
例2. 求矩阵
的特征值与特征向量
解:
由特征方程
解得A有单特征值1=1,有2重特征值2=3=0
对于1=1,解方程组(E-A)x=
得同解方程组为
同解为
令自由未知量x3=1,得根底解系
所以A的对应于特征值1=1的全部特征向量为x=k11(k10)
对于特征值2=3=0,解方程组(0E-A)=
得同解方程组为
通解为
令自由未知量x3=1,得根底解系
此处,二重根=0的特征向量空间是一维的,特征向量空间的维数<特征根的重数
,这种情况下,矩阵A是亏损的
。
所以A的对应于特征值2=3=0得全部特征向量为x=k23
例3. 矩阵
的特征值与特征向量
解:
由特征方程
解得A的特征值为1=1,2=i,3=-i
对于特征值1=1,解方程组(E-A)=,由
得通解为
令自由未知量x1=1,得根底解系1=(1,0,0)T,所以A的对应于特征值1=1得全部特征向量为x=k11
对于特征值2=i,解方程组(iE-A)=
得同解方程组为
通解为
令自由未知量x3=1,得根底解系2=(0,i,1)T,所以A对应于特征值2=1的全部特征向量为x=k22(k20)。
对于特征值3=-i,解方程组(-E-A)x=,由
得同解方程组为
通解为
令自由未知量x3=1,,得根底解系3=(0,-i,1)T,所以A的对应于3=-i的全部特征向量为x=k33。
特征根为复数时,特征向量的分量也有复数出现。
特征向量只能属于一个特征值。
而特征值i的特征向量却有无穷多个,他们都是齐次线性方程组(iE-A)x=的非0解。
其中,方程组(iE-A)x=的根底解系就是属于特征值i的线性无关的特征向量。
性质1.n阶方阵A=(aij)的所有特征根为1,2,…,n(包括重根),那么
证第二个式子:
由伟达定理,12…n=(-1)nn
又|E-A|=n+1n-1+…+n-11+n中用=0代入二边,得:
|-A|=n,而|A|=(-1)nn=12…n,
性质2.假设是可逆阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,那么
是A-1的一个特征根,x仍为对应的特征向量。
证:
可见
是A-1的一个特征根。
其中0,这是因为0不会为可逆阵的特征根,不然,假设i=0,
|A|=12…n=0,A奇异,与A可逆矛盾。
性质3.假设是方阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,那么
m是Am的一个特征根,x仍为对应的特征向量。
证:
1)Ax=x,二边左乘A,得:
A2x=Ax=Ax=x=2x,
可见2是A2的特征根;
2)假设m是Am的一个特征根,Amx=mx,
二边左乘A,得:
Am+1x=AAmx=Amx=mAx=mx=m+1x,
得m+1是Am+1的特征根
用归纳法证明了m是Am的一个特征根。
性质4.设1,2,…,m是方阵A的互不一样的特征值。
xj是属于i的特征向量(i=1,2,…,m),那么x1,x2,…,xm线性无关,即不一样特征值的特征向量线性无关。
性质4给出了属于不一样特征值的特征向量之间的关系,因而是一个很重要的结论。
性质4可推广为:
设1,2,…,m为方阵A的互不一样的特征值,x11,x12,…,x1,k1是属于1的线性无关特征向量,……,xm1,xm2,…,xm,k1是属于m的线性无关特征向量。
那么向量组x11,x12,…,x1,k1,…,xm1,xm2,…,xm,k1也是线性无关的。
即对于互不一样特征值,取他们各自的线性无关的特征向量,那么把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。