初中数学竞赛专项训练 找规律题.docx
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初中数学竞赛专项训练找规律题
观察一一归纳一猜想一一找规律
给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论•解题
的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是：
（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；
（2）猜想符合规律的一般性结论；
（3）验证或证明结论是否正确，下面通过举例来说明这些问题•
一、数字类
基本技巧
（一）标出序列号：
例如，观察下列各式数：
0,3,8,15,24,……。
我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：
0,3,8,15,24,……。
序列号：
1,2,3,4,5,……。
2
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。
因此，第n项是n-1
（二）公因式法：
每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。
2
例如：
1,9,25,49,（81）,（121）,的第n项为（（2n一1））,
1,2,3,4,5.。
。
。
。
。
。
从中可以看出n=2时，正好是2X2-1的平方，n=3时，正好是2X3-1的平方，以此类推。
（三）增副
A:
2、9、28、65••…增幅是7、19、37....,增幅的增幅是12、18
3
答案与3有关且是n的3次幕，即:
n+1
B:
2、4、8、16.......增幅是2、4、8答案与2的乘方有关即：
丫
（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用
（一）、
（二）、（三）技
巧找出每位数与位置的关系。
再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。
例：
2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：
0、3、8、15、24……,
序列号：
1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3,3*3-1=8,
22
以此类推，得到第n个数为n-1。
再看原数列是同时减2得到的新数列，则在n-1的基础上加2，得到原数列第n项n1
（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。
例：
4,16,36,64,?
144,196,…？
（第一百个数）
同除以4后可得新数列:
1、4、9、16…
2
，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n，原数列
是同除以4得到的新数列，
所以求出新数列
2
n的公式后再乘以4即,4n，则求出第一百个数为
2
4*100=40000
（一）等差数列
例题：
2,5,8,（
）°
例题5:
12,15,18,
（）,24,27°
A.20B.21C.22
D.23
（二）等比数列
例题1:
2,1,1/2,（）。
A.0B.1/4C.1/8D.-1
例题2:
2,8,32,128,（）。
（三）平方数列
1、完全平方数列：
正序：
1,4,9,16,25
逆序：
100,81,64,49,36
2、一个数的平方是第二个数。
1）直接得出：
2,4,16,（256）
解析：
前一个数的平方等于第二个数，答案为256。
2）一个数的平方加减一个数等于第二个数：
1,2,5,26,（677）前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。
3、隐含完全平方数列：
1）通过加减一个常数归成完全平方数列：
0,3,8,15,24,（35）
前一个数加1分别得到1,4,9,16,25,分别为1,2,3,4,5的平方，答案35
2）相隔加减，得到一个平方数列：
例：
65,35,17,（3）,1
A.15B.13C.9D.3
解析：
不难感觉到隐含一个平方数列。
进一步思考发现规律是：
65等于8的平方加1,35等于6的平
方减1,17等于4的平方加1,再观察时发现：
奇位置数时都是加1,偶位置数时都是减1,所以下一个数
应该是2的平方减1等于3,答案是D。
*（四）立方数列
立方数列与平方数列类似。
例题1：
1,8,27,64,（125）
解析：
数列中前四项为1,2,3,4的立方，显然答案为5的立方，为125。
例题2：
0,7,26,63,（124）
解析：
前四项分别为1,2,3,4的立方减1,答案为5的立方减1,为124。
（五）、加法数列
数列中前两个数的和等于后面第三个数：
n1+n2=n3
例题1：
1,1,2,3,5,（8）。
A8B7C9D10
解析：
第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律3+5=8答案为A。
例题2：
4,5,（9）,14,23,37
A6B7C8D9
解析：
与例一相同答案为D
例题3：
22,35,56,90,（145）99年考题
A162B156C148D145
解析：
22+35-仁56,35+56-仁90,56+90-仁145,答案为D
（6）、减法数列
前两个数的差等于后面第三个数：
n1-n2=n3
例题1：
6,3,3,（0）,3,-3
A0B1C2D3
解析：
6-3=3,3-3=0,3-0=3,0-3=-3答案是A。
（提醒您别忘了：
空缺项在中间，从两边找规律”）
（7）、乘法数列
1、前两个数的乘积等于第三个数
例>1:
1,2,2,4,8,32,（256）
前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。
例题2：
2，12，36，80，（）（2007年考题）
A.100B.125C.150D.175
解析：
2X1,3总，4X9,5X16自然下一项应该为6X25=150选C,此题还可以变形为：
12,23,
2
324,425…..,以此类推，得出nE1）
2、两数相乘的积呈现规律：
等差，等比，平方等数列。
例题2：
3/2,2/3,3/4,1/3,3/8（A）（99年海关考题）
A1/6B2/9C4/3D4/9
解析：
3/2>2/3=12/3X/4=1/23/4X3=1/41/3X8=1/83/8X1/16答案是A。
（8）、除法数列
与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式：
1、两数相除等于第三数。
2、两数相除的商呈现规律：
顺序，等差，等比，平方等。
（9）、质数数列
由质数从小到大的排列：
2,3,5,7,11,13,17,19-
（十）、循环数列
几个数按一定的次序循环出现的数列。
例：
3,4,5,3,4,5,3,4,5,3,4
以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的，下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。
1、二级数列
这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。
例1:
26122030（42）
A.38B.42C.48D.56
解析：
后一个数与前个数的差分别为：
4,6,8,10这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的
差应该是12,所以答案应该是B。
例2:
2022253037（）
A.39B.45C.48D.51
解析：
后一个数与前一个数的差分别为：
2,3,5,7这是一个质数数列，因而要选的答案与37的差
应该是11,所以答案应该是Co
例3:
25112032（47）
A.43B.45C.47D.49
解析：
后一个数与前一个数的差分别为：
3,6,9,12这显然是一个等差数列，因而要选的答案与
32的差应该是15,所以答案应该是Co
例4:
4571119（35）
A.27B.31C.35D.41
解析：
后一个数与前一个数的差分别为：
1,2,4,8这是一个等比数列，因而要选的答案与19的差
应该是16,所以答案应该是Co
例5:
34716（43）
A.23B.27C.39D.43
解析：
后一个数与前一个数的差分别为：
1,3,9这显然也是一个等比数列，因而要选的答案与16的
差应该是27,所以答案应该是Do
例6:
3227232018（17）
A.14B.15C.16D.17
解析：
后一个数与前一个数的差分别为：
-5,-4,-3,-2这显然是一个等差数列，因而要选的答案与
18的差应该是-1，所以答案应该是D。
例7:
1，4，8，13，16，20，（25）
A.20B.25C.27D.28
解析：
后一个数与前一个数的差分别为：
3,4，5，3,4这是一个循环数列，因而要选的答案与20
的差应该是5，所以答案应该是B。
例&1，3，7，15，31，（63）
A.61B.62C.63D.64
解析：
后一个数与前一个数的差分别为：
2，4,8，16这显然是一个等比数列，因而要选的答案与
31的差应该是32,所以答案应该是Co
例9:
（69）,36,19,10,5,2
A.77B.69C.54D.48
解析：
前一个数与后一个数的差分别为：
3,5,9,17这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数，
后面的数应该是17*2-1=33，因而33+36=69答案应该是B。
例10：
1,2,6,15,31,（56）
A.53B.56C.62D.87
解析：
后一个数与前一个数的差分别为：
1,4,9,16这显然是一个完全平方数列，因而要选的答案
与31的差应该是25,所以答案应该是B。
例11：
1,3,18,216,（5184）
A.1023B.1892C.243D.5184
解析：
后一个数与前一个数的比值分别为：
3,6,12这显然是一个等比数列，因而要选的答案与216
的比值应该是24,所以答案应该是D:
216*24=5184。
例12：
-21716（28）43
A.25B.28C.3lD.35
解析：
后一个数与前一个数的差值分别为：
3,6,9这显然是一个等差数列，因而要选的答案与16的
差值应该是12,所以答案应该是B。
例13：
1361015（）
A.20B.21C.30D.25
解析：
相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即：
1+3=4=22,6+10=16=42，则15+?
=36=62呢，答
案应该是B。
例14：
102,96,108,84,132,（36）,（228）
解析：
后项减前项分别得-6,12,-24,48,是一个等比数列，则48后面的数应为-96,132-96=36，再看-96后面应是96X2=192,192+36=228。
二、设计类
11111
【例1】在数学活动中，小明为了求''的值（结果用n表示），设计如图a
所示的图形。
11111
—+■+,
（1）请你利用这个几何图形求■■的值为。
11111
-^=-—I55
（2）请你利用图b,再设计一个能求.…的值的几何图形。
三、动态类
【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与0B的长均为1，回形线与射线0A交于点Ai,A2,氏,
若从0点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从Ai点到A点的回形线为第2圈，”，依此类推。
则
第10圈的长为。
【例4】已知甲运动方式为：
先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运
动方式为：
先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。
在平面直角坐标系内，现有
一动点P第1次从原点0出发按甲方式运动到点P，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,”。
依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是。
解析：
【例3】我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第2圈的长为
2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+3，第四圈的长为4+7+8+8+4，,,归纳得到第10圈的长为
10+19+20+20+10=79。
【例4】（—3,—4）
四、计算类
【例10】观察下列等式：
-：
■-?
：
；「门」：
二，”则第n个等式可以表
la+2xl=lx（l+2）2a+2x2=2x（2+2）
示为。
解析：
【例10】八’-上八'+J
（xT）（『+x+l）=a3-1
°?
得：
I）:
.<■-/+「十+:
2
【例11】观察下列各式：
（x-l）（F+/+x+l）=『-l,,,根据前面的规律，
（其中n为正整数）
【例12】观察下列等式：
观察下列等式：
4—仁3,9-4=5,16-9=7,25-16=9,36-25=11，”这些
等式反映了自然数间的某种规律，设n（n》1）表示了自然数，用关于n的等式表示这个规律为
解析：
【例12】*丨丨「上+丨（n>1,n表示了自然数）
五、图形类
【例13】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。
观察图中每一个正方形（实
线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点共有个。
解析：
【例13】第一个正方形的整点数为2X4-4=4，第二个正方形的正点数有3X4—4=8，第三
个正方形的整点数为4X4—4=12个，”故第10个正方形的整点数为11X4-4=40,
【例14】“*”代表甲种植物，“企”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。
按此
【例14】第一个图案中以乙中植物有2X2=4个，第二个图案中以乙中植物有3X3=9个，第三个
图案中以乙中植物有4X4=16个，”故第六个图案中以乙中植物有7X7=49个.
、数字排列规律题
1观察下列各算式：
22
1+3=4=21+3+5=9=3，1+3+5+7=16=4
按此规律
（1）试猜想：
1+3+5+7+-+2005+2007的值？
（2）推广：
1+3+5+7+9+••+（2n-1）+（2n+1）的和是多少？
2、下面数列后两位应该填上什么数字呢？
3581217
3、请填出下面横线上的数字。
112358
21
4、有一串数，它的排列规律是
1、
2、3、2、3、4、3、4、5、
4、
5、6、
……聪明的你猜猜第100个数是
什么？
5、有一串数字3610
15
21第6个是什么数？
6、观察下列一组数的排列：
1、2、
3、4、3、2、1、2、3、4、
3、
2、1、
，那么第2005个数是（）
A.1B.2C.3
D.
4
7、100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的
前两个数依次为1，0,那么这100个数中"0”的个数为个.
二、几何图形变化规律题
1、观察下列球的排列规律（其中•是实心球，O是空心球）：
从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个.
2、观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，o是圆），口0厶口口0厶口0厶口口0△口
……，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是（填图形名称）•
三、数、式计算规律题
1、已知下列等式：
113=12;
213+23=32;
313+23+33=62;
413+23+33+43=102；
由此规律知，第⑤个等式是.
2、观察下面的几个算式：
1+2+1=4,
1+2+3+2+1=9,
1+2+3+4+3+2+1=16,
1+2+3+4+5+4+3+2+仁25,,
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+,+99+100+99+,+3+2+1=.
1
3、1+2+3+,+100=?
经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+,+nnn7，其中n是正整数
现在我们来研究一个类似的问题：
1X2+2X3+,nn1=观察下面三个特殊的等式
1
12123-012
3
1
23234-123
3
1
34二J345-234
1
将这三个等式的两边相加，可以得到1X2+2X3+3X4=345=20
3
读完这段材料，请你思考后回答：
⑴1223川…出100101=
⑵123234亠亠nn1n2[=
⑶123234亠亠nn1n2\=
…222323424525
4、已知：
2：
；「=2,3<=3,4<=4,5<=5
338815152424
，若10b=102b符合前面式子的规律，则ab=
aa
参考答案：
一、1、
（1）10042
（2）（n+1）2
2、2330。
数列中每两个相邻数字间的差分别是1，2，3，4，5，6，7。
3、13。
这一数列后面一个数是前面相邻两个数的和。
4、34。
考虑时，可以从第一个数开始，每3个数加一个括号（1，2,3），（2，3,4），（3,4，5），……
一共加了33个括号，剩下的一个必是第100个。
每个括号的第一个数分别是1，2,3，……因此第100个数必然是34。
5、28。
3+3=66+4=1010+5=1515+6=2121+7=28,所以第6个是28。
其实一般这类的规律题无
非就是在数的基础上加减乘除，有些麻烦点的就是一个数乘上倍数后在加1或减1。
6、A7、33
二、1、6022、
圆
333
332
三、1、
123
45=15
2、
10000
3、
⑴343400
1
或一100101102
3
⑵1nn1n2⑶1nn1n2n3
34
4、
109.
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