根与系数的关系练习题.docx
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根与系数的关系练习题
一元二次方程根与系数的关系习题
主编：
闫老师
［准备知识回顾］:
1、一元二次方程ax2bxc0（a0）的求根公式为
X一
2
b.b4ac八2,c、
ftr\Arcfi\
2a
匕XjfO
2、一兀二
-次方程ax
bxc0（a0）根的判别式为：
b4ac
（1）
当0时，
方程有两个不相等的实数根。
（2）
当0时，
方程有两个相等的实数根。
（3）
当0时，
方程没有实数根。
反之：
方程有两个不相等的实数根，则;方程有两个相等的实数
根，则;方程没有实数根，则o
［韦达定理相关知识］
1若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根Xi和X2,那么
X!
X2,Xi?
X2o我们把这两个结论称为一元
二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。
2、如果一元二次方程x2pxq0的两个根是x1和x2，则x1x2，
Xi?
X2o
3、以x1和x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2（x1x2）xx1?
x20
4、在一元二次方程ax2bxc0（a0）中，有一根为0，则c;有一
根为1，则abc;有一根为1，则abc；若两根互
为倒数,则c;若两根互为相反数，则bo
5、二次三项式的因式分解（公式法）
在分解二次三项式ax2bxc的因式时，如果可用公式求出方程
ax2bxc0（a0）的两个根x2，那么ax2bxca（xx1）（xx2）.如果
方程ax2bxc0（a0）无根,则此二次三项式ax2bxc不能分解.
［基础运用］
例1:
已知方程3x2（k1）x20的一个根是1,则另一个根是,
k。
解：
变式训练：
1、已知x1是方程3x22xk0的一个根，则另一根和k的值分别是多少?
2、方程x2kx60的两个根都是整数，则k的值是多少？
例2:
设人和X2是方程2x24x30，的两个根，禾I」用根与系数关系求下列各式的值：
22112
x1x2
（1）X1X2
（2）（X11）（X21）（3）（4）（X1X2）
变式训练：
1、已知关于x的方程3x210xk0有实数根，求满足下列条件的k值：
（1）有两个实数根。
（2）有两个正实数根。
（3）有一个正数根和一
个负数根。
（4）两个根都小于2。
2、已知关于x的方程x22axa0。
（1）求证：
方程必有两个不相等的实数根。
（2）a取何值时，方程有两个正根。
（3）a取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。
（4）a取何值时，方程到少有一根为零？
选用例题：
例3:
已知方程ax2bxc0（a0）的两根之比为1:
2,判别式的值为1,则a与b
是多少？
例4、已知关于x的方程x22（m2）xm250有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m的值。
例5、若方程x24xm0与x2x2m0有一个根相同,求m的值。
基础训练：
1•关于x的方程ax22x10中，如果a0，那么根的情况是（）
（A）有两个相等的实数根
（B）有两个不相等的实数根
（C）没有实数根
（D）不能确定
2.设x1,x2是方程2x26x3
0的两根，贝UX12X22的值是（
）
（A）15（B）12（C）6
（D）3
3.下列方程中，有两个相等的实数根的是（）
（A）2y2+5=6y（B）x2+5=25x（C）3x2—2x+2=0（D）3x2—26x+1=0
4•以方程x2+2x—3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）
（A）y2+5y—6=0（B）y2+5y+6=0（C）y2—5y+6=0（D）y2—5y—6=0
5.如果xi,X2是两个不相等实数，且满足xi2—2xi=1,X22—2x2=1,那么X1・X2等于（）
（A）2（B）—2（C）1（D—1
6.关于x的方程ax2—2x+1=0中，如果a<0,那么根的情况是（）
（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根
（C）没有实数根（D）不能确定
7.设X1，X2是方程2x2—6x+3=0的两根，贝UX12+X22的值是（）
（A）15（B）12（C）6（D3
8.如果一元二次方程x2+4x+k2=0有两个相等的实数根，那么k=
9.如果关于x的方程2x2—（4k+1）x+2k2—1=0有两个不相等的实数根，那么
k的取值范围是
10.已知X1,X2是方程2x2—7x+4=0的两根，则X1+X2=,X1x=，
（X1—X2）2=
11.若关于x的方程（m2—2）x2—（m—2）x+1=0的两个根互为倒数，则m=
二、能力训练：
1、不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）X2—x=5⑵9x2-62+2=0（3）x2—x+2=0
2、当m时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；
当m时，方程mx+4x+1=0有两个不相等的实数根;
m=
这时方程的
3、已知关于x的方程10x2—（m+3）x+m-7=0,若有一个根为0,则
3
这时方程的另一个根是；若两根之和为-7，则m=
5
两个根为.
4、已知3—2是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值
5、求证：
方程（m2+1）x2—2mx+（m+4）=0没有实数根。
6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1—,5和1+5
7、设Xi,X2是方程2x2+4x—3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值:
&如果X2—2（m+1）x+m+5是一个完全平方式，则m=;
9、方程2x（mx—4）=x2—6没有实数根，则最小的整数m=;
10、已知方程2（x—1）（x—3m）=x（m—4）两根的和与两根的积相等，则m=;
11、设关于X的方程x2—6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20则k值为;
12、设方程4x2—7x+3=0的两根为X1,X2，不解方程，求下列各式的值：
22f,21
（1）X1+X2
（2）x1—X2（3）X1x2（4）X1X2+勺X1
13、实数s、t分别满足方程19s2+99s+1=0和且19+99t+t2=0求代数14、已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1—1（a2x2—a2—1）=0有无实根？
st+4s+1
t
的值
15、求证：
不论k为何实数，关于x的式子（x—1）（x—2）—k2都可以分解成两个一次因式的积。
16、实数K在什么范围取值时，方程kx22（k1）x（k1）0有实数正根?
训练
（一）
1、不解方程，请判别下列方程根的情况；
（1）2t2+3t—4=0,;
（2）16x2+9=24x,;
（3）5（u2+1）—7u=0,;
2、若方程x2—（2m—1）x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是;
3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+3和2—3,则p=,q=j
4、已知方程3x2—19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是,m=;
5、若方程x2+mx-仁0的两个实数根互为相反数，那么m的值是;
6、m,n是关于x的方程x2-（2m-1）x+m2+仁0的两个实数根，则代数式n
m=。
7、已知关于x的方程x2—（k+1）x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值；
8如果a和B是方程2x2+3x—1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一
元二次方程，使它的两个根分别等于a
9、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程（a2+b2+c2）x2+2（a+b+c）x+3=0有两个相
等的实数根，求证：
这个三角形是正三角形
10.取什么实数时，二次三项式2x2—（4k+1）x+2k2—1可因式分解.
11.已知关于X的一元二次方程mx2+2（3—m）x+1=0的两实数根为a,B,
11
若$=+，求s的取值范围。
a卩
训练
（二）
1、已知方程X2—3x+1=o的两个根为a,B,则a+B=,aB=；
2、如果关于x的方程x2—4x+m=0与x2—x—2m=0有一个根相同，则m的值
求p,q的值
0的两个实根X1,X2，
如果不存在，请说明
10.m取什么值时，方程2x2—（4m+1）x+2m—仁0
（1）有两个不相等的实数根，
（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根;
11.设方程x2+px+q=0两根之比为1:
2，根的判别式△=1,
12.是否存在实数k，使关于x的方程9x2（4k7）x6k2
满足圣=3，如果存在，试求出所有满足条件的k的值，
X22
理由
一元二次方程根与系数关系专题训练
主编：
闫老师
1、如果方程ax2+bx+c=0（a工0）的两根是xi、X2,那么xi+X2=,xi•X2=
丄丄
xix2
；IXi—X2I
2、已知xi、X2是方程2x2+3x—4=0的两个根，
那E么：
xi+x2=;xi•X2=;
22
xi+x2=;（xi+1）（x2+1）=
为。
12、已知一兀二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为。
13、若a、B为实数且|a+B—3|+（2—aB）2=0,则以a、B为根的一元二
次方程为。
（其中二次项系数为1）
14、已知关于x的-」元二次方程x2—2（m—1）x+m2=0o若方程的两根互为倒数，则
m;若方程两根之和与两根积互为相反数，则m。
15、已知方程x2+4x—2m=0勺一个根a比另一个根B小4,则a=;B
=;m。
16、已知关于x的方程x2—3x+k=0的两根立方和为0,则k=
17、已知关于x的方程x2—3mx+2（m-1）=0的两根为x〔、X2,
X1X24
m=o
18、关于x的方程2x2—3x+m=0当时，方程有两个正数根；当m
时，方程有一个正根，一个负根；当m时，方程有一个根为0o
19、若方程x2—4x+m=0fx2—x—2m=0^一个根相同，贝Um=。
20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x—2=0两根的二倍，则所求的方
程为。
21、一元二次方程2x2—3x+1=0的两根与x2—3x+2=0的两根之间的关系
25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大？
（1）x2..3x50,
（2）x226,30
26、已知xi和X2是方程2x2—3x-1=0的两个根，禾用根与系数的关系，求下列各式的值：
33
x1X2+X1X2
27、已知xi和X2是方程2x2—3x—1=0的两个根，禾用根与系数的关系，求下列各式的值：
11
~2~2
X1X2
28、已知x1和x2是方程2x2—3x—1=0的两个根，禾用根与系数的关系，求下列各式的值：
（x21—x22）2
29、已知X1和X2是方程2x2—3x—1=0的两个根，禾用根与系数的关系，求下列各式的值：
x1—x2
30、已知X1和X2是方程2x2—3x—1=0的两个根，禾用根与系数的关系，求下列各式的值：
2
X2
X1
31、已知X1和X2是方程2x2—3x—1=0的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各式的值：
x51•x22+x21•x52
32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+'6和2—6。
33、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。
34、造一个方程，使它的根是方程3x2—7x+2=0的根；
（1）大3;
（2）2倍；（3）相反
数；⑷倒数。
35、方程x2+3x+m=0^的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：
（1）一个根比另一个根大2;
（2）一个根是另一个根的3倍；（3）两根差的平方是17。
36、已知关于x的方程2x2—（m—1）x+m+1=0勺两根满足关系式xi—x2=1,求m的值及两个根。
37、a、B是关于x的方程4x2—4mx+m+4m=0勺两个实根，并且满足
9
（1）
（1）i，求m的值。
100
38、已知一元二次方程8x2—（2m+1）x+m-7=0,根据下列条件，分别求出m勺值:
（1）两根互为倒数；
（2）两根互为相反数；
（3）有一根为零；
⑷有一根为1;
1
（5）两根的平方和为—。
64
39、已知方程x2+mx+4=0^x2—（m—2）x—16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。
40、已知关于x的二次方程x2—2（a—2）x+a2—5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，
求a的值。
41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3,两根的平方和等于29,求b、c的值。
42、设：
3a2—6a—11=0,3b2—6b—11=0且a^b,求a4—b4的值
43、试确定使x2+（a—b）x+a=0的根同时为整数的整数a的值
44、已知一元二次方程（2k—3）x2+4kx+2k—5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：
当k取何整数时，方程有两个整数根。
45、已知：
a、B是关于x的方程x2+（m—2）x+仁0的两根，求（1+ma+a2）（1+mB+B2）的值。
46、已知xi，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，xi+1、X2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。
47、已知xi、X2是关于x的方程x2+mrx+n=0的两个实数根；yi、y2是关于y的方程y2+5my+7=0l勺两个实数根，且xi—yi=2,x2—y2=2,求mn的值。
48、关于x的方程m?
x2+（2m+3）x+仁0有两个乘积为1的实根，x2+2（a+m）x+2a—m?
+6m-4=0有大于0且小于2的根。
求a的整数值。
49、关于x的一元二次方程3x2—（4m2—1）x+m（m+2）=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m勺值。
50、已知：
a、B是关于x的二次方程：
（m—2）x2+2（m—4）x+m—4=0的两个不等实根。
（1）若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；
（2）若a2+B2=6时，求m勺值。
51、已知关于x的方程mX2—nx+2=0两根相等，方程x2—4mx+3n=啲一个根是另个根的3倍。
求证：
方程x2—（k+n）x+（k—m）=CH定有实数根。
52、关于x的方程x22mx2=0,其中mn分别是一个等腰三角形的腰长和底
4
边长。
（1）求证：
这个方程有两个不相等的实根；
（2）若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。
53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根xi和X2（x1工X2），在数轴上，
表示X2的点在表示xi的点的右边，且相距p+1，求p的值。
54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为a、B，且两个关于x的方程x2+（a+1）x+B2=0与x2+（B+1）x+a2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。
55、如果关于x的实系数-」兀二次方程x2+2（m+3）x+n?
+3=0有两个实数根a、B,那么（a—1）2+（B—1）2的最小值是多少?
56、已知方程2x2—5mx+3n=啲两根之比为2:
3,方程x2—2nx+8m=（的两根相等（mnM0）。
求
证：
对任意实数k，方程m^+（n+k—1）x+k+1=0恒有实数根。
57、
（1）方程x2—3x+m=（的一个根是2，则另一个根是
⑵若关于y的方程y2—my+n=0勺两个根中只有一个根为0,那么mn应满
58、不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积x2+3x+1=0;
59、不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积3x2—2x—仁0;
60、不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积—2x2+3=0;
61、不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积
2x2+5x=0。
62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是一2,求它的另一个根及m勺值。
63、已知关于x的方程3x2—仁tx的一个根是一2,求它的另一个根及t的值。
64、设xi,X2是方程3x2—2x—2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（x1—4）（x2—4）；
（2）xi3X24+xi4X23;
（3）&
11
X23x23%
⑷x13+X23。
65、设xi,X2是方程2x2—4x+1=0的两个根，求|xi—X2I的值。
66、已知方程x2+mx+12=0勺两实根是xi和X2,方程x2—mx+n=啲两实根是xi+7和X2+7,求m和n的值。
67、以2,—3为根的一元二次方程是
（）
2+x—6=0
2—x—6=0
A.x2+x+6=0B.x
C.x2—x+6=0D.x68、以3,—1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是（）
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是
（）
A.x2+2x—3=0B.x2—2x+3=0
70、以一3，—2为根的一兀二次方程为,
以旦」，旦」为根的一元二次方程为
22
以5,—5为根的一元二次方程为,
以4,1为根的一元二次方程为。
4
71、已知两数之和为一7,两数之积为12,求这两个数
72、已知方程2x2—3x—3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：
（1）a+1.b+1
73、一个直角三角形的两条直角边长的和为形斜边的长。
7
6cm面积为2cm?
求这个直角三角
2b2a
a，b
74、在解方程x2+px+q=0寸，小张看错了p,解得方程的根为1与—3;小王看错了q,解得方程的根为4与—2。
这个方程的根应该是什么？
75、关于x的方程x2—ax—3=0有一个根是1，则a=，另一个根
79、已知a2=1—a,b2=1-b,且a^b,求（a-1）（b-1）的值
80、如果x=1是方程2x2—3mx+仁的一个根，贝Um，另一个根
为。
81、已知n?
+m-4=0,2-40,m,n为实数，且m丄，则m丄=
nnnn
82、两根为3和—5的一元二次方程是（）
2—2x+15=0
2+2x+15=0
2
A.x—2x—15=0B.x
C.x2+2x—15=0D.x83、.设X1,X2是方程2x2-2x-仁0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（x12+2）（x22+2）；
⑵（2x1+1）（2x2+1）；
⑶（x1-X2）2。
84、.已知mn是一元二次方程x2—2x—5=0的两个实数根，求2品+3门2+2询勺值
85、已知方程x2+5x—7=0,不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。
86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a工0）的两根之比为2:
1，求证:
2b2=9ac。
87、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=的两根之差为11,求m勺值。
88、已知关于y的方程y2—2ay—2a—4=0。
（1）证明：
不论a取何值，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?
89、已知一元二次方程x2—10x+21+a=Q
（1）当a为何值时，方程有一正、一负两个根?
（2）此方程会有两个负根吗?
为什么?
90、已知关于x的方程x2—（2a—1）x+4（a—1）=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
91、已知方程x2+ax+b=0的两根为xi,X2,且4xi+x2=0，又知根的判别式=25,
求a,b的值。
92、已知一元二次方程8y2—（m+1）y+m-5=0。
⑴m为何值时，方程的一个根为零?
（2）m为何值时，方程的两个根互为相反数?
（3）证明：
不存在实数m使方程的两个相互为倒数。
93、当m为何值时，方程3x2+2x+m-8=0:
（1）有两个大于—2的根？
（2）有一个根大于一2,另一个根小于一2?
94、已知2s2+4s—7=0,7t2—4t—2=0,s,t为实数，且st工1。
求下列各式的值:
st1
3st2s3
95、已知xi,X2是一元二次方程x+、mx+n=0的两个实数根，且
222
xi+X2+（xi+X2）=3,
11、已知方程3x2+x—仁0,要使方程两根的平方和为虫，那么常数项应改
2
76、若分式**x一竺卫的值为0,则x的值为
x1
（）
A.—1B.3C.—1或3D.
—3或1
77、若关于y的一元二次方程y2+my+n=（的两个实数根互为相反数，则
（）
A.m=0且n》0B.n=0且01>0C.m=C&nW0D.n=0且01<0
78、已知x1，X2是方程2x2+3x—仁0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（2x1—3）（2x2—3）;
（2）x13X2+X[X23。
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