初中二年级轴对称图形难题总结.docx

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初中二年级轴对称图形难题总结

初二轴对称图形难题总结

如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．

（1）实践运用：

如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为　_________　．

（2）知识拓展：

如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

　2．

（1）观察发现

如图

（1）：

若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：

作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

如图

（2）：

在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　_________　．

（2）实践运用

如图（3）：

已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为　_________　．

（3）拓展延伸

如图（4）：

点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．

如图

（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图

（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点B′．

②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．

请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．

（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）请直接写出△PDE周长的最小值：

　_________　．

4．

（1）观察发现：

如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．

做法如下：

作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　_________　．

（2）实践运用：

如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

（3）拓展延伸：

如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

5．几何模型：

条件：

如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：

在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：

作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是　_________　；

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

6．如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．

（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=　_________　时，△PAB的周长最短；

（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=　_________　时，四边形ABDC的周长最短；

（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：

是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？

若存在，请求出m=　_________　，n=　_________　（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

7．需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．

8．如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°，新开发区B到公路MN的距离BC=3千米．

（1）新开发区A到公路MN的距离为　_________　；

（2）现要在MN上某点P处向新开发区A，B修两条公路PA，PB，使点P到新开发区A，B的距离之和最短．此时PA+PB=　_________　（千米）．

9.如图：

（1）若把图中小人平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小人；

（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上点P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P的位置．

10．如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴．

（1）请画出：

点A、B关于原点O的对称点A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；

（2）连接A1A2、B1B2（其中A2、B2为

（1）中所画的点），试证明：

x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；

（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，2），连接

（1）中A2B2，试问在x轴上是否存在点C，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？

若存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．

11．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：

用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

12．阅读理解

如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：

如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：

如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．

探究发现

（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？

　_________　（填“是”或“不是”）．

（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：

若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为　_________　．

应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．

请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

13．如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．

（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；

（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？

请说明理由；

14．（2012•东城区二模）已知：

等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC上，且∠MON=60°．

（1）如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；

（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．

15．如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD的延长线于F，

求证：

DE=DF．

16．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：

（1）△ABC≌△DCB；

（2）点M在BC的垂直平分线上．

17．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：

BF=AC+AF．

18．已知△ABC的角平分线AP与边BC的垂直平分线PM相交于点P，作PK⊥AB，PL⊥AC，垂足分别是K、L，

求证：

BK=CL．

19．某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（要有作图痕迹）

20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线MN交BC于M，交AB于N，求BM的长．

21．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M，求证：

BN=CM．

22．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．

参考答案与试题解析

　一．解答题（共22小题）

1．（2013•日照）问题背景：

如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．

（1）实践运用：

如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为　2　．

（2）知识拓展：

如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

考点：

轴对称-最短路线问题．3113559

分析：

（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；

（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．

解答：

解：

（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P

此时PA+PB最小，且等于AE．

作直径AC′，连接C′E．

根据垂径定理得弧BD=弧DE．

∵∠ACD=30°，

∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，

∴∠AOE=90°，

∴∠C′AE=45°，

又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，

∴∠C′=∠C′AE=45°，

∴C′E=AE=AC′=2，

即AP+BP的最小值是2．

故答案为：

2；

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．

∵AD平分∠BAC，

∴点B与点B′关于直线AD对称．

过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，

则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）

在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，

∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×=5，

∴BE+EF的最小值为．

点评：

此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键．

2．（2013•六盘水）

（1）观察发现

如图

（1）：

若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：

作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

如图

（2）：

在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　　．

（2）实践运用

如图（3）：

已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为　　．

（3）拓展延伸

如图（4）：

点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．

考点：

圆的综合题；轴对称-最短路线问题．3113559

专题：

压轴题．

分析：

（1）观察发现：

利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=；

（2）实践运用：

过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；

由于的度数为60°，点B是的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE=OA=；

（3）拓展延伸：

分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N．

解答：

解：

（1）观察发现

如图

（2），CE的长为BP+PE的最小值，

∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点

∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，

∴CE=BE=；

故答案为；

（2）实践运用

如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，

∵BE⊥CD，

∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，

∵的度数为60°，点B是的中点，

∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，

∴∠EOC=30°，

∴∠AOE=60°+30°=90°，

∵OA=OE=1，

∴AE=OA=，

∵AE的长就是BP+AP的最小值．

故答案为；

（3）拓展延伸

如图（4）．

点评：

本题考查了圆的综合题：

弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最短路径问题．

3．（2012•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．

如图

（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图

（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点B′．

②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．

请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．

（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）请直接写出△PDE周长的最小值：

　8　．

考点：

轴对称-最短路线问题．3113559

专题：

压轴题．

分析：

（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；

（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．

解答：

解：

（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，

P点即为所求；

（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，

∴DE为△ABC中位线，

∵BC=6，BC边上的高为4，

∴DE=3，DD′=4，

∴D′E===5，

∴△PDE周长的最小值为：

DE+D′E=3+5=8，

故答案为：

8．

点评：

此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE周长的最小值，求出DP+PE的最小值即可是解题关键．

4．（2010•淮安）

（1）观察发现：

如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．

做法如下：

作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　　．

（2）实践运用：

如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

（3）拓展延伸：

如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

考点：

轴对称-最短路线问题．3113559

分析：

（1）首先由等边三角形的性质知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的长度，从而得出结果；

（2）要在直径CD上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．

（3）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P．则点P即为所求．

解答：

解：

（1）BP+PE的最小值===．

（2）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，连接OA′，AA′，OB．

∵点A与A′关于CD对称，∠AOD的度数为60°，

∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，

∵点B是的中点，

∴∠BOD=30°，

∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，

∵⊙O的直径CD为4，

∴OA=OA′=2，

∴A′B=2．

∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．

（3）如图d：

首先过点B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，

连接DB′并延长交AC于P．

（由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD）．

点评：

此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．

5．（2009•漳州）几何模型：

条件：

如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：

在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：

作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是　　；

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

考点：

轴对称-最短路线问题．3113559

专题：

压轴题；动点型．

分析：

（1）由题意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；

（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是PA+PC的最小值；

（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB的交点Q、R，这时三角形PEF的周长=MN，只要求MN的长就行了．

解答：

解：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AC垂直平分BD，

∴PB=PD，

由题意易得：

PB+PE=PD+PE=DE，

在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；

（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，

PA+PC的最小值即为A′C的长，

∵∠AOC=60°

∴∠A′OC=120°

作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°

∵OA′=OA=2

∴A′D=

∴；

（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．

由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，

∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，

在Rt△MON中，MN===10．

即△PQR周长的最小值等于10．

点评：

此题综合性较强，主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识．

6．（2006•湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．

（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=　　时，△PAB的周长最短；

（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=　　时，四边形ABDC的周长最短；

（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：

是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？

若存在，请求出m=　　，n=　﹣　（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

考点：

轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．3113559

专题：

压轴题．

分析：

（1）根据题意，设出并找到B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；

（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．利用两点间的线段最短，可知四边形ABDC的周长最短等于A'F+CD+AB，从而确定C点的坐标值．

（3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，当且仅当m=，n=﹣；时成立．

解答：