例5.如图AB=AC，D是AE上一点，且BD=DC。
求证：
AE⊥BC。
分析：
由AB=AC可知ΔABC是等腰三角形应联想它的性质，要证明AE⊥
BC须证AE平分∠BAC，根据已知AB=AC，BD=DC，AD=AD，可得ΔABD≌ΔACD，得出∠1=∠2，再由性质证出AE⊥BC。
证明：
在ΔABD和ΔACD中，
∵
∴ΔABD≌ΔACD（SSS）
∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）
又∵AB=AC（已知）
∴AE⊥BC（等腰三角形顶角的平分线是底边的高线）。
例6.如图在ΔABC中，AB=AC，E在BA延长线上，且AE=AF，求证：
EF⊥BC。
分析：
要证明EF⊥BC不大好入手，但是否可以找到一条垂直于BC的直线，再证EF与之平行呢？
这个设想是可以完成的。
因为图形有等腰ΔABC，BC边的中线、高线与∠BAC的平分线三线合一。
证明：
作∠A的平分线AD交BC于D，延长EF交BC于M，
∵ΔABC中，AB=AC（已知），
∴AD⊥BC于D
（等腰三角形顶角平分线是底边的高线）
∵∠BAC是ΔAEF的外角（如图）
∴∠BAC=∠3+∠4
（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和）
∵AE=AF（已知）∴∠3=∠4（同一三角形中等边对等角）
∴∠BAC=2∠4（等式性质）∴∠4=
∠BAC，
又∵∠2=∠1（作图），∴∠2=
∠BAC（角平分线定义）
∴∠2=∠4（等量代换）
∴AD//EF（内错角相等两直线平行）
∴∠EMB=∠ADB（两直线平行同位角相等）
∵AD⊥BC（已证） ∴∠ADB=90°（垂直定义）
∴∠EMB=90°（等量代换）
∴EF⊥BC（垂直定义）。
说明：
如果补充定理：
若a//b,且a⊥c,则b⊥c，则可不作EF延长线，证出AD//EF后，再由AD⊥BC，直接可证出EF⊥BC。
例7.如图△ABC是等边三角形,△ADE是以AD,AE为腰的等腰三角形,∠DAE=80°,∠BAD=15°,求∠CAE和∠EDC的度数.
分析:
题中除有两个角的具体度数外,还隐含了等边三角形每个角都是60°的条件.这样可以从∠DAC=∠BAC-∠BAD求得∠DAC度数,也就求得了∠CAE的度数.又可由△ADE为等腰三角形,则∠ADE=
（180°-∠DAE）,以及∠ADC是△ABD的外角,也可求得∠EDC的度数.
解:
∵△ABC为等边三角形（已知）
∴∠B=∠BAC=60°（等边三角形的每一个角为60°）
∵∠2=∠BAC-∠1（全量等于部分之和）
∵∠1=15°（已知） ∴∠2=60°-15°=45°（等式性质）
又∵∠3=∠DAE-∠2（全量等于部分之和）
∵∠DAE=80°（已知） ∠2=45°（已求）
∴∠3=80°-45°=35°（等式性质）,即∠CAE=35°
在△ADE中, ∵AD=AE（已知）
∴∠ADE=AED（同一三角形中,等边对等角）
又∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°（三角形内角和定理）
∴∠ADE=
（180°-∠DAE）=
（180°-80°）=50°（等式性质）
∵∠ADC是△ABD外角,
∵∠1=15° ∠B=60°（已求）
∴∠ADC=∠1+∠B（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和）,
=15°+60°=75°（等式性质）
∵∠EDC=∠ADC-∠ADE（全量等于部分之和）
=75°-50°（等量代换）
=25°
答:
∠CAE为35°,∠EDC为25°.
例8.如图,在直角△ABC中,∠BAC=90°,D,E在BC上,且BE=AB,CD=AC,求∠DAE的度数.
分析:
如图
（1）先观察∠DAE在图形中的位置,首先,∠DAE是△ADE的内角,则∠DAE=180°-（∠1+∠2）,而∠1,∠2又分别是等腰△ABE和等腰△ADC的底角,又可从中找到∠1,∠2与∠B,∠C的关系,又∠B+∠C=90°,这样理清这样一串角之间的关系,就可以从中求得∠DAE.
解:
（一）∵BE=AB（已知）∴∠1=∠BAE（同一三角形中,等边对等角）
∵∠1+∠BAE+∠B=180°（三角形内角和定理）
∴∠1=
（180°-∠B）（等式性质）
同理可求∠2=
（180°-∠C）
在△ADE中,∵∠DAE=180°-（∠1+∠2）（三角形内角和定理）
∴∠DAE=180°-[
（180°-∠B）+
（180°-∠C）]（等量代换）
=180°-（180°-
∠B-
∠C）
=
（∠B+∠C）
又∵∠BAC=90°（已知） ∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）
∴∠B+∠C=180°-90°=90°（等式性质）
∴∠DAE=
（∠B+∠C）（已证）
=
×90°（等量代换）
=45°
答:
∠DAE的度数为45°.
解法二：
分析：
如图
（2）由上可知∠DAE与∠1、∠2是ΔAED的三个内角，同时∠DAE与∠3和∠4又能组成直角，且∠2=∠DAC，∠1=∠BAE，都与∠EAD有关，因此可设元找它们之间的关系，用方程思想去解决。
解：
设∠EAD=x°,∠3=y°,∠4=z°,
∵CA=CD（已知）
∴∠CAD=∠2（同一三角形中等边对等角）
∴∠CAD=∠2=x+y,
又∵AB=BE（已知），
∴∠1=∠EAB（同一三角形中，等边对等角）
∴∠EAB=∠1=x+z,
∵∠EAD+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），
∴x+（x+z）+（x+y）=180°,即3x+y+z=180°,
又∵∠3+∠EAD+∠4=∠CAB（全量等于部分之和），
即y+x+z=90°,
∴
由
（2）-
（1）∴2x=90°,∴x=45°,
答：
∠EAD为45°。
例9.如图在ΔABC中，∠A，∠B的外角平分线分别交对边CB、AC的延长线于D，E且AD=AB=BE，求∠BAC的度数。
分析：
题目的已知条件中，没有出现一个角的具体数值，却有着相当多的角的关系：
两个等腰三角形，两个外角平分线。
点B的周围是这些角的汇集处。
可以从两个方面分析，向点B集中。
为了使思维清楚表达方便，设∠BAC=x°，从∠BAD出发，通过AD是ΔABC外角的平分线以及ΔABD是等腰三角形，可用x表示∠ABD。
而另一个方向是从∠BAC出发，通过ΔABE是等腰三角形，BE是ΔABC外角平分线，用x表示∠CBF，最终通过对顶角∠ABD=∠CBF关系，列出关于x的方程，解得x，即求出∠BAC。
解：
设∠BAC=x,
∵∠BAG是ΔABC外角，∴∠BAG=180°-x（平角定义），
∵AD是∠BAG平分线（已知），
∴∠DAB=
∠BAG（角平分线定义），
∴∠DAB=
（180°-x）=90°-
x（等式性质）
ΔABD中，∵AB=AD（已知）
∴∠ABD=∠D（同一三角形中等边对等角）
又∵∠D+∠ABD+∠DAB=180°（三角形内角和定理），
∴∠ABD=∠D=
（180°-∠DAB）（等式性质）
=
[180°-（90°-
x）]（等量代换）
=45°+
∵AB=BE（已知），∴∠BAE=∠E（同一三角形中等边对等角），
∴∠E=x°（等量代换），
∵∠FBE是ΔABE外角（如图），
∴∠FBE=∠BAE+∠E（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和），
=2x（等式性质），
∵BE是∠CBF的角平分线（已知），
∴∠FBC=2∠FBE（角平分线定义）
=2（2x）=4x（等式性质），
∵∠ABD=∠FBC（对顶角相等），
∴45+
=4x（等量代换），
解方程得x=12°,答：
∠BAC的度数为12°。
例10、求证等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
说明：
此题是文字题，把文字题“翻译”成“已知”，“求证”等符号语言，是我们这段学习中应当掌握的。
已知：
ΔABC中，AB=AC，BD⊥AC于D。
求证：
∠DBC=
∠BAC。
分析：
要证明∠DBC=
∠BAC，则需找出一个角使它等于∠DBC的二倍，
再证其与∠BAC相等。
因此以BD为一边，以B为顶点，在BD另一旁作∠EBD=∠CBD，得∠EBC=2∠CBD，再证∠EBC=∠BAC。
证法
（一）：
以BD为一边，以B为顶点，在BD的另一旁作
∠EBD=∠CBD，BE交AC于E，
∴∠EBC=2∠CBD，
∵BD⊥AC于D（已知），
∴∠EDB=90°，∠BDC=90°（垂直定义），
∴∠EDB=∠BDC（等量代换），
在ΔBED和ΔBCD中，
∵
∴ΔBED≌ΔBCD（ASA）
∴∠BEC=∠C（全等三角形对应角相等）
在ΔEBC中，∵∠EBC=180°-∠BEC-∠C（三角形内角和定理），
∴∠EBC=180°-2∠C（等式性质），
又∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠C（同一三角形中等边对等角），
∵∠A=180°-∠ABC-∠C（三角形内角和定理），
∴∠A=180°-2∠C（等式性质），
∴∠EBC=∠A（等量代换），
∵∠EBC=2∠DBC（已证），∴∠A=2∠DBC（等量代换），
∴∠DBC=
∠BAC（等式性质）。
方法
（二）：
分析要证明∠CBD=
∠BAC，则需找一个角使它等于
∠BAC，再证其与∠DBC相等，
作∠BAC平分线AF得到∠2=
∠BAC，
由AB=AC
AF⊥BC，由∠DBC=90°-∠C，
∠2=90°-∠C
∠2=∠DBC，即∠DBC=
∠BAC。
方法（三）：
分析：
直接应用定理进行计算出
∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-2∠C=2（90°-∠C），
又因为∠DBC=90°-∠C，可证出∠DBC=
∠BAC。
方法（四）：
类似法
（一）如图作
∠CBE=∠DBC，BE交AC延长线于E，
很容易推出∠ACB=∠2+∠E，
∠ABC=∠1+∠3
∠3=∠E，
由垂直条件
∠3+∠A=90°，
∠1+∠2+∠E=90°，则∠1+∠2=∠A，
∴∠DBC=
∠A。
说明：
证明一个角等于另一个角的二倍或一半时，常用以下几种方法：
（1）先作一个角等于小角的二倍，再证其与大角相等（如法一，法四）
（2）先作一个角等于大角的一半，再证其与小角相等（如法二）
（3）运用代数运算来推导（如法三）
研究与探讨：
如果一个等腰三角形可以被一条直线分割成两个较小的等腰三角形，那么这样的等腰三角形共有几个？
这条直线怎样画？
讨论所有可能的情况，并画出图形．
分析与解：
我们常见的此类等腰三角形有顶角为90°的等腰直角三角形，所以第一种如图
（1），但是怎样能够把所有的情况都考虑到？
需要利用分类讨论的思想。
设原等腰三角形中AB=AC。
因为等腰三角形被直线分成两部分仍旧分别是等腰三角形，所以这条直线一定经过三角形的顶点，并和对边相交。
可以分类讨论：
1）直线经过等腰三角形的顶角顶点，将底边分成两截线段。
这时，新构成的等腰三角形有两种情况，如图
（1）
（2）。
图
（1）中AD=BD=CD，图
（2）中AB=BD AD=DC
2）直线经过等腰三角形的底角顶点，将其中一腰分成两截线段。
新构成的等腰三角形有两种情况，如图（3）（4）。
图（3）中AD=CD=BC 图（4）中AD=BD BC=CD
研究探讨：
以上共四种情况，你能不能分别求出原来等腰三角形的顶角度数？
分别是多少？
提示：
可以利用等腰三角形中角的关系，用方程的思想求出顶角度数。
分别为90°、108°、36°、
.
练习：
（上海市中考题）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？
请说明理由，如果受影响，
已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
分析：
（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。
（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解：
作AB⊥MN，垂足为B。
在RtΔABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=30°，
AP=160，∴AB=
AP=80。
（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
∵点A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的
影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100（m），由勾股定理得：
BC2=1002-802=3600,∴BC=60.
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100（m）,BD=60（m）,∴CD=120（m）.
拖拉机行驶的速度为:
18km/h=5m/s
t=120m÷5m/s=24s.
答略。
小结:
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过做辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理.
三、同步测试
窗体顶端
选择题
1．等腰三角形周长12厘米，其中一边长2厘米，其他两边分别长（ ）。
A、2厘米、5厘米 B、5厘米、5厘米
C、5厘米、5厘米或2厘米、2厘米D、无法确定
窗体底端
窗体顶端
2．等腰三角形一腰上的高与底边夹角是60°，则顶角的度数为（ ）
A、60° B、120° C、90° D、30°
窗体底端
窗体顶端
3．等腰三角形ABC中，∠A=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D作DE⊥BC交AC于E，连AD，则图中等腰三角形的个数应是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
窗体底端
窗体顶端
4．下列说法中，正确的是（ ）
A、一个钝角三角形一定不是等腰三角形
B、一个等腰三角形一定是锐角三角形
C、一个直角三角形一定不是等腰三角形
D、一个等边三角形一定不是钝角三角形
窗体底端
窗体顶端
5．下列命题中错误的是（ ）
A、直角三角形中，任一直角边的中线小于斜边
B、等腰直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半
C、到直角三角形三顶点距离相等的点一定在斜边的中点上
D、有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
窗体底端
窗体顶端
6．如图已知：
ΔABC中，∠ACB=90°，且BC=BD，AC=AE，则∠DCE的度数为（ ）。
A、45° B、60° C、50° D、30°
窗体底端
窗体顶端
7．过直线l外一点A，作l的垂线，下列作法中正确的是（ ）。
A、过A作AB⊥l于B，则线段AB即为所求
B、过A作l的垂线，垂足是B，则射线AB即为所求
C、过A作l的垂线，垂足是B，则直线AB即为所求
D、以上作法都不正确
窗体底端
窗体顶端
8．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠ABC与∠ACB的平分线相交于O，过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，那么图中所有的等腰三角形有几个（ ）
A、6 B、4 C、3 D、5
窗体底端
窗体顶端
9．等腰三角形中有一个角是另一个角的四倍，则这个三角形的顶角的度数为（ ）
A、20° B、30° C、20°或120° D、120°
答案与解析
答案：
1
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