七年级数学知识点整理.docx

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七年级数学知识点整理

七年级数学（下）期末复习知识点整顿

5.1相交线

1、邻补角与对顶角

两直线相交所成四个角中存在几种不同关系角，它们概念及性质如下表：

图形

顶点

边关系

大小关系

对顶角

∠1与∠2

有公共顶点

∠1两边与∠2两边互为反向延长线

对顶角相等

即∠1=∠2

邻补角

∠3与∠4

有公共顶点

∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。

∠3+∠4=180°

注意点：

⑴对顶角是成对浮现，对顶角是具备特殊位置关系两个角；

⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成四个角中，每一种角邻补角有两个，而对顶角只有一种。

2、垂线

⑴定义，当两条直线相交所成四个角中，有一种角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线垂线，它们交点叫做垂足。

符号语言记作：

如图所示：

AB⊥CD，垂足为O

⑵垂线性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记）

⑶垂线性质2：

连接直线外一点与直线上各点所有线段中，垂线段最短。

简称：

垂线段最短。

3、垂线画法：

⑴过直线上一点画已知直线垂线；⑵过直线外一点画已知直线垂线。

注意：

①画一条线段或射线垂线，就是画它们所在直线垂线；②过一点作线段垂线，垂足可在线段上，也可以在线段延长线上。

画法：

⑴一靠：

用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：

移动三角尺使一点落在它另一边直角边上，⑶三画：

沿着这条直角边画线，不要画成给人印象是线段线。

4、点到直线距离

直线外一点到这条直线垂线段长度，叫做点到直线距离

记得时候应当结合图形进行记忆。

如图，PO⊥AB，同P到直线AB距离是PO长。

PO是垂线段。

PO是点P到直线AB所有线段中最短一条。

现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质应用。

5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线距离”这些相近而又相异概念

分析它们联系与区别

⑴垂线与垂线段区别：

垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。

联系：

具备垂直于已知直线共同特性。

（垂直性质）

⑵两点间距离与点到直线距离区别：

两点间距离是点与点之间，点到直线距离是点与直线之间。

联系：

都是线段长度；点到直线距离是特殊两点（即已知点与垂足）间距离。

⑶线段与距离距离是线段长度，是一种量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

5.2平行线

1、平行线概念：

在同一平面内，不相交两条直线叫做平行线，直线

与直线

互相平行，记作

∥

。

2、两条直线位置关系

在同一平面内，两条直线位置关系只有两种：

⑴相交；⑵平行。

因而当咱们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以必定它们平行；反过来也同样（这里，咱们把重叠两直线当作一条直线）

判断同一平面内两直线位置关系时，可以依照它们公共点个数来拟定：

①有且只有一种公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重叠（由于两点拟定一条直线）

3、平行公理――平行线存在性与惟一性

通过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

4、平行公理推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

　　　　　　　　　　　　如左图所示，∵

∥

，

∥

　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴

∥

　　　　　　　　　　　　注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。

5、三线八角

　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

　如图，直线

被直线

所截

　①∠1与∠5在截线

同侧，同在被截直线

上方，

叫做同位角（位置相似）

　②∠5与∠3在截线

两旁（交错），在被截直线

之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）

　③∠5与∠4在截线

同侧，在被截直线

之间（内），叫做同旁内角。

　④三线八角也可以成模型中看出。

同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。

6、如何鉴别三线八角

　鉴别同位角、内错角或同旁内角核心是找到构成这两个角“三线”，有时需要将关于某些“抽出”或把无关线略去不看，有时又需要把图形补全。

　例如：

1

　如图，判断下列各对角位置关系：

⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8。

　咱们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与关于角无关线），得到下列各图。

　如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角。

注意：

图中∠2与∠9，它们是同位角吗？

不是，由于∠2与∠9各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成。

7、两直线平行鉴定办法

办法一　　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

　　　　简称：

同位角相等，两直线平行

办法二　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

　　　　简称：

内错角相等，两直线平行

办法三　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

　　　　简称：

同旁内角互补，两直线平行

　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠3＝∠2

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠1＝∠2

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠4＋∠2＝180°

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

请同窗们注意书写顺序以及前因后果，平行线鉴定是由角相等，然后得出平行。

平行线鉴定是写角相等，然后写平行。

注意：

⑴几何中，图形之间“位置关系”普通都与某种“数量关系”有着内在联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去拟定“位置关系”。

上述平行线鉴定办法就是依照同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，鉴定两直线“平行”这种“位置关系”。

⑵依照平行线定义和平行公理推论，平行线鉴定办法尚有两种：

①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。

②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

典型例题：

判断下列说法与否对的，如果不对的，请予以改正：

　⑴不相交两条直线必然平行线。

　⑵在同一平面内不相重叠两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。

　⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行

解答：

⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交两条直线”。

“在同一平面内”是一项重要条件，不能漏掉。

　　　⑵对的

　　　⑶不对的，对的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。

由于如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线平行线。

典型例题：

如图，依照下列条件，可以鉴定哪两条直线平行，并阐明鉴定依照是什么？

解答：

⑴由∠2＝∠B可鉴定AB∥DE，依照是同位角相等，两直线平行；

　　　⑵由∠1＝∠D可鉴定AC∥DF，依照是内错角相等，两直线平行；

　　　⑶由∠3＋∠F＝180°可鉴定AC∥DF，依照同旁内角互补，两直线平行。

　　　　　　　　　5.3平行线性质

1、平行线性质：

　性质1：

两直线平行，同位角相等；

　性质2：

两直线平行，内错角相等；

　性质3：

两直线平行，同旁内角互补。

　　　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

2、两条平行线距离

　如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF长度为两平行线AB与CD间距离。

　注意：

直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD垂线段GH，则垂线段GH长度也就是直线AB与CD间距离。

3、命题：

⑴命题概念：

判断一件事情语句，叫做命题。

⑵命题构成

每个命题都是题设、结论两某些构成。

题设是已知事项；结论是由已知事项推出事项。

命题常写成“如果……，那么……”形式。

具备这种形式命题中，用“如果”开始某些是题设，用“那么”开始某些是结论。

　有些命题，没有写成“如果……，那么……”形式，题设和结论不明显。

对于这样命题，要通过度析才干找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”形式。

注意：

命题题设（条件）某些，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题结论某些，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。

4、平行线性质与鉴定

①平行线性质与鉴定是互逆关系

　两直线平行　　　　　同位角相等；

　两直线平行　　　　　内错角相等；

　两直线平行　　　　　同旁内角互补。

其中，由角相等或互补（数量关系）条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线鉴定；由平行线（位置关系）得到关于角相等或互补（数量关系）结论是平行线性质。

典型例题：

已知∠1＝∠B，求证：

∠2＝∠C

　　证明：

∵∠1＝∠B（已知）

　　　　　∴DE∥BC（同位角相等，

　　　　　　　　　　两直线平行）

　　　　　∴∠2＝∠C（两直线平行

　　　　　　　　　　同位角相等）

注意，在了DE∥BC，不需要再写一次了，得到了DE∥BC，这可以把它当作条件来用了。

典型例题：

如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°

　　　　　求∠2、∠3度数

解答：

∵DE∥BC（已知）

　　　∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）

　　　∵AB∥DF（已知）

　　　∴AB∥DF（已知）

　　　∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

　　　∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°

5.4平移

1、平移变换

　①把一种图形整体沿某一方向移动，会得到一种新图形，新图形与原图形形状和大小完全相似。

　②新图形每一点，都是由原图形中某一点移动后得到，这两个点是相应点

　③连接各组相应点线段平行且相等

2、平移特性：

　①通过平移之后图形与本来图形相应线段平行（或在同始终线上）且相等，相应角相等，图形形状与大小都没有发生变化。

　②通过平移后，相应点所连线段平行（或在同始终线上）且相等。

典型例题：

如图，△ABC通过平移之后成为△DEF，那么：

⑴点A相应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点B相应点是点＿＿＿＿＿＿。

⑶点＿＿＿＿＿相应点是点F；⑷线段AB相应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；

⑸线段BC相应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A相应角是＿＿＿＿＿＿。

　　⑺＿＿＿＿相应角是∠F。

解答：

　⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB。

思维方式：

运用平移特性：

平移先后相应线段相等，相应点连线段平行或在同始终线上解答。