二次函数典型真题讲解.docx

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二次函数典型真题讲解

备战2018中考——二次函数典型真题讲解

二次函数作为初中学习的基本初等函数，每年是各地中考的重要内容，并且分值占比比较大，如何彻底掌握它，也是中学生面临的一大难点，而且问答上目前有很多关于二次函数的问题，鉴于此，本次专门来探讨一下二次函数部分，同时结合中考真题来揭示二次函数部分的命题方向。

一、知识点梳理

1、二次函数定义：

形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.

例：

如果函数y=（a－1）x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠1.

2、解析式；

（1）三种解析式：

①一般式：

y=ax2+bx+c;②顶点式：

y=a（x-h）2+k（a≠0），其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;③交点式：

y=a（x-x1）（x-x2）,其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.

（2）待定系数法：

巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.

3、二次函数的图象和性质

比较二次函数函数值大小的方法：

①直接代入求值法；②性质法：

当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：

画出草图，描点后比较函数值大小.

4、系数之间的关系

5、二次函数与一元二次方程

二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

当Δ＞0，两个不相等的实数根；

当Δ＝0，两个相等的实数根；

当Δ＜0，无实根

6.二次函数与不等式

抛物线y=ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.

二、真题讲练

1、二次函数概念、性质和图像

【逐步提示】本题考查的知识点较多，主要有动态问题、等腰三角形的性质，分段函数和分类讨论的数学思想，解题的关键把整个运动过程分为两段，针对每一种情况求出函数表达式，值得注意的是点P是在一条折线上运动，当点P分别在边AB和边AC上时，情况是不一样的，所以应该分类讨论；其次，解决动态问题一个很重要的能力是把相关线段用含有x的代数式表示出来，然后构建方程或函数关系式；

【解后反思】在探讨动态问题时，首先要对运动过程做一个全面、全程的分析，弄清楚运动过程中的变量和常量，其次，要分清运动过程中不同的位置关系，找到相邻两种状态的分界点，例如这道题的分界点是x=2，根据不同的情况分类讨论，画出图形，然后把图中的线段用含有运动时间t或者自变量x的代数式表示出来，然后考虑构建方程、不等式或函数关系式；

【逐步提示】通过配方或直接套用顶点公式计算出二次函数的对称轴，根据抛物线的开口方向与增减性可判断选项A是否正确；求出抛物线的顶点坐标，同时结合开口方向即可知选项B与C的正误；根据二次函数与一元二次方程的关系，通过计算判别式的大小，即可判断抛物线与x轴的交点情况，进而可判断选项D正确与否．

【逐步提示】本题考查了一次函数和二次函数的图象，解题的关键是弄清二次函数和一次函数的图像与解析式之间的关系．先根据特殊点的位置及各直线所过的象限确定a的正负，再由抛物线的开口方向判断a的正负，若两者所得a的符号一致，则图象正确．

【详细解答】解：

当x＝0时，都有y＝c，所以直线和抛物线都过点（0，c），排除A；对于B，由直线知a<0，由二次函数知a＞0，矛盾；对于C，由直线知a＞0，由二次函数图象知a＜0，矛盾，只有D符合，故选择D.

【解后反思】本题易错点是容易忽视特殊点的位置而误选A．多种函数图像的识别，一般可以先确定其中一种函数的图像（如一次函数，反比例函数），再根据函数图像得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图像的开口方向、对称轴或图像经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．

2、二次函数与代数结合

大利润是512元．

【解后反思】此题第

（1）问不难，难在解答第

（2）问，需要分情况讨论．根据已知条件中的0≤x≤5，5＜x≤19，及由函数图像分析得出的0≤x≤9，9≤x≤19这四个自变量的取值范围，再结合利润求解公式就可得出0≤x≤5，5＜x≤9，9＜x≤19这三种利润计算情况．

【逐步提示】

（1）根据二次函数的定义及二次函数与一元二次方程的关系，可直接求得m的取值范围；

（2）抛物线过定点，也就是说把该定点坐标代入解析式时不受m取值的影响，所以只要含m的项其和为0即可，这样先求得所过定点的横坐标x的值，然后再代入解析式计算纵坐标y的值，不在坐标轴上的点即为所求的点P；（3）△ABP的AB边上的高即为点P的纵坐标4，故在1/4＜m≤8的范围内，求得线段AB的值，再利用三角形面积公式易于得到其最值，线段AB的值可通过解一元二次方程直接得到．

【解后反思】

（1）二次函数的y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：

没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：

没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．

（2）以形定数，抛物线与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的两实根；以数定形，求出方程ax2+bx+c=0的两实根，便得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标．特别地，一元二次方程ax2+bx+c=m的解，即为二次函数y=ax2+bx+c当y=h时的两点的横坐标．

（3）函数图象过定点问题，一般解决方法是函数解析式中所含参数的项的和为0时，则函数值不受字母参数的影响，据此可求定点的坐标．

（3）抛物线中三角形的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式确定最值．

本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点P的坐标是解决问题的关键

3、二次函数与几何结合

二次函数与几何结合的考题比较多，由于绘图比较麻烦，而且在手机上看起来也不舒服，我这边就只举一个典型例子。

【逐步提示】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质、利用待定系数法求二次函数解析式、点平移的坐标规律等，灵活运用各方面的知识是解题的关键．

【解后反思】本题中需要注意的三种意识：

第一个是参数意识，就本题而言，点在抛物线上，设它的横坐标为m，则它的纵坐标就要把m代入解析式，用含有m的代数式来表示它的纵坐标；第二个意识就是求面积时，特别是不规则图形或是难求的图形的面积，我们要用能求出面积的图形的代数和来表示；第三个意识就是由于有平行四边形，就应该有平移的意识，用平移的知识来解决有关平行四边形的问题．

4、二次函数与实际生活

1.（2016广东茂名，23，8分）某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息.

（1）陈经理查看计划书发现：

A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本.请求出A、B两类图书的标价.

（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案：

A类图书每本按标价降价a元（0

【逐步提示】本题考查了解分式方程的实际问题和一次函数的实际问题，解题的关键是如何寻求恰当相等关系构建方程和函数模型以及利用分类讨论思想求一次函数实际问题中的最值．

（1）设B类图书的标价为x元，利用相等关系“540元购买图书时，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本”构造分式方程解题；

（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，用t的代数式表示w，得w=（3－a）t+6000，在根据题意求出600≤t≤800的基础上，注意到w与t的增减性随3－a的符号变化而变化，因此必须分3－a＞0、3－a=0、3－a＜0三种情况讨论，才能确定书店应如何进货可以获得最大利润.

∴①当3－a＞0，即0＜a＜3时，w随t的增大而增大，∴当t=800，即书店购进A类图书800本、B类图书200本时，书店能获得最大利润；

②当3－a=0，即a=3时，w与t的取值无关，书店购进A类图书在600本～800本时，书店总能获得最大利润；

③当3－a＜0，即3＜a＜5时，w随t的增大而减少，∴当t=600，即书店购进A类图书600本、B类图书400本时，书店能获得最大利润.

【解后反思】通过构建分式方程模型解决问题

（1）时，不要忘记检验这一必要的过程；解决问题

（2）时需要构建含字母系数的一次函数模型，依据实际意义确定自变量的取值范围，最后由字母系数不同取值范围讨论一次函数的增减性，并确定不同情况下的最值的设计方案.通过运用数学模型，可使实际问题的求解过程变得简单．将现实生活中的事件与数学建模联系起来，把实际问题转化为数学问题.另外要注意，同实际相联系的题目，需考虑字母的实际意义，从而确定具体的取值．再进行比较.