高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第1节任意角和蝗制及任意角的三角函数基丛点练理.docx
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高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第1节任意角和蝗制及任意角的三角函数基丛点练理
2019-2020年高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第1节任意角和蝗制及任意角的三角函数基丛点练理
【选题明细表】
知识点、方法
题号
象限角、终边相同的角
1,2,6
弧度制、扇形弧长、面积公式
5,14,16
三角函数定义
3,4,7,8,9,10,15
综合应用
11,12,13
1.下列说法中,正确的是（ C ）
（A）小于的角是锐角
（B）第一象限的角不可能是负角
（C）终边相同的两个角的差是360°的整数倍
（D）若α是第一象限角,则2α是第二象限角
解析:
锐角的范围是（0,）,小于的角还有零角和负角,
A不正确;-300°角的终边就落在第一象限,所以B不正确;
C正确;若α是第一象限的角,
则k·360°<α所以2k·360°<2α<2k·360°+180°（k∈Z）,
所以2α是第一象限或第二象限或终边在y轴非负半轴上的角,所以D不正确.
2.（xx潮州模拟）已知α角与120°角的终边相同,那么的终边不可能落在（ C ）
（A）第一象限（B）第二象限
（C）第三象限（D）第四象限
解析:
由题知α为第二象限角,
所以可能落在第一,二,四象限.
3.（xx三明模拟）设α是第二象限角,P（x,4）为其终边上的一点,且cosα=x,则sinα等于（ A ）
（A）（B）-（C）（D）-
解析:
因为r=,cosα=x=,
得x=3或x=-3,
又因为α是第二象限角,
则x=-3,r=5,
所以sinα=.
4.已知角α的终边过点P（-8m,-6sin30°）,且cosα=-,则m的值为（ B ）
（A）-（B）（C）-（D）
解析:
因为r=,
所以cosα==-,
所以m>0,
所以=,
即m=.
5.（xx青岛模拟）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是（ C ）
（A）2（B）sin2
（C）（D）2sin1
解析:
如图,∠AOB=2弧度,
过O点作OC⊥AB于C,
并延长OC交弧AB于D.
则∠AOD=∠BOD=1弧度,
且AC=AB=1,
在Rt△AOC中,AO==,
即r=,从而弧AB的长为l=|α|·r=.
6.若角α的终边在直线y=-x上,则角α的取值集合为（ D ）
（A）{α|α=k·360°-45°,k∈Z}
（B）{α|α=k·2π+π,k∈Z}
（C）{α|α=k·π+π,k∈Z}
（D）{α|α=k·π-,k∈Z}
解析:
角α的取值集合为
{α︱α=2nπ+π,n∈Z}∪{α︱α=2nπ-,n∈Z}
={α︱α=（2n+1）π-,n∈Z}∪{α︱α=2nπ-,n∈Z}
={α︱α=kπ-,k∈Z}.
7.已知点P（sinθcosθ,2cosθ）位于第三象限,则角θ是第 象限角.
解析:
因为点P（sinθcosθ,2cosθ）位于第三象限,
所以sinθcosθ<0,2cosθ<0,即
所以θ为第二象限角.
答案:
二
8.（xx大连模拟）点P是始边与x轴的正半轴重合,顶点在原点的角θ的终边上的一点,若|OP|=2,θ=60°,则点P的坐标是 .
解析:
设P（x,y）,由三角函数的定义,得
sin60°=,
cos60°=,
所以x=2cos60°=1,y=2sin60°=,
故点P的坐标为（1,）.
答案:
（1,）
9.（xx宁波模拟）若角α终边所在的直线经过P（cos,sin）,O为坐标原点,则|OP|= ,sinα= .
解析:
|OP|==1,
若P（cos,sin）在其终边上,
则sinα==;
若P（cos,sin）在其终边反向射线上,
则sinα=-,
综上sinα=±.
答案:
1 ±
10.已知角θ的终边经过点P（-,m）（m≠0）且sinθ=m,试判断角θ所在的象限,并求cosθ和tanθ的值.
解:
由题意,得r=,
所以sinθ==m.
因为m≠0,
所以m=±,
故角θ是第二或第三象限角.
当m=时,r=2,
点P的坐标为（-,）,
所以角θ是第二象限角,
cosθ===-,
tanθ===-;
当m=-时,r=2,
点P的坐标为（-,-）,
所以角θ是第三象限角,
cosθ===-,
tanθ===.
11.（xx南通期中）如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.
（1）若点B的横坐标为-,求tanα的值;
（2）若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合;
（3）若α∈（0,π],请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.
解:
（1）由题意可得B（-,）,
根据三角函数的定义得tanα==-.
（2）若△AOB为等边三角形,
则B（,）可得tan∠AOB==,
故∠AOB=,
故与角α终边相同的角β的集合为
{β︱β=+2kπ,k∈Z}.
（3）若α∈（0,π],
则S扇形=αr2=α,
而S△AOB=×1×1×sinα=sinα,
故弓形的面积
S=S扇形-S△AOB=α-sinα,α∈（0,π].
能力提升练（时间:
15分钟）
12.（xx广州四校联考）已知点P（sinα-cosα,tanα）在第一象限,则在[0,2π]内α的取值范围是（ B ）
（A）（,∪（π,（B）（,∪（π,
（C）（,∪（,）（D）（,∪（,π
解析:
因为点P（sinα-cosα,tanα）在第一象限,
所以sinα-cosα>0,tanα>0,
又因为α∈[0,2π],
所以α∈（,）∪（π,）.
13.（xx合肥模拟）已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ等于（ B ）
（A）-（B）-（C）（D）
解析:
由题意知,tanθ=2,
即sinθ=2cosθ,
将其代入sin2θ+cos2θ=1中可得
cos2θ=,
故cos2θ=2cos2θ-1=-.
14.一扇形的圆心角为120°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 .
解析:
设扇形半径为R,内切圆半径为r.
则（R-r）sin60°=r,
即R=（1+）r.
又S扇=|α|R2=××R2=R2=πr2,
所以=.
答案:
（7+4）∶9
15.设θ为第二象限角,试比较sin,cos,tan的大小.
解:
因为θ是第二象限角,
所以+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,
所以+kπ<<+kπ,k∈Z,
所以是第一或第三象限的角.
（如图阴影部分）,结合单位圆上的三角函数线可得:
（1）当是第一象限角时,
sin=AB,cos=OA,tan=CT,
从而得,cos（2）当是第三象限角时,
sin=EF,cos=OE,tan=CT,
得sin综上可得,当终边在第一象限时,
cos当终边在第三象限时,sin16.如图所示,动点P,Q从点A（4,0）出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求点P,点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.
解:
设P,Q第一次相遇时所用的时间是t,
则t·+t·︱-︱=2π.
所以t=4（秒）,即第一次相遇所用的时间为4秒.
设第一次相遇点为C,
第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在·4=的位置,
则xC=4·cos=-2,
yC=4·sin=-2.
所以C点的坐标为（-2,-2）.
P点走过的弧长为π·4=π,
Q点走过的弧长为π·4=π.
精彩5分钟
1.若α是第三象限角,则y=+的值为（ A ）
（A）0（B）2（C）-2（D）2或-2
解题关键:
解答本题关键是对所在象限分类讨论.
解析:
因为α是第三象限角,
所以2kπ+π<α<2kπ+π（k∈Z）,
所以kπ+<所以角终边在第二象限或第四象限.
当终边在第二象限时,
y=-=0,
当终边在第四象限时,y=+=0,
综上,y=0.
2.已知角α的终边经过点（1,-1）,始边与x轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,则角α的取值集合为 .
解题关键:
先由角α的终边经过点（1,-1）在[0,2π）或
（-2π,0]内确定一个角,再加上2kπ（k∈Z）.
解析:
终边经过点（1,-1）,在[-2π,0）内,取β=-,
所以角α的取值集合即与β终边相同的角的集合,
可表示为{α︱α=-+2kπ,k∈Z}.
答案:
{α︱α=-+2kπ,k∈Z}
2019-2020年高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第1节任意角和蝗制及任意角的三角函数课时训练理
【选题明细表】
知识点、方法
题号
象限角、终边相同的角
1,2,6
弧度制、扇形弧长、面积公式
5,14,16
三角函数定义
3,4,7,8,9,10,15
综合应用
11,12,13
基础对点练（时间:
30分钟）
1.下列说法中,正确的是（ C ）
（A）小于的角是锐角
（B）第一象限的角不可能是负角
（C）终边相同的两个角的差是360°的整数倍
（D）若α是第一象限角,则2α是第二象限角
解析:
锐角的范围是（0,）,小于的角还有零角和负角,
A不正确;-300°角的终边就落在第一象限,所以B不正确;
C正确;若α是第一象限的角,
则k·360°<α所以2k·360°<2α<2k·360°+180°（k∈Z）,
所以2α是第一象限或第二象限或终边在y轴非负半轴上的角,所以D不正确.
2.（xx潮州模拟）已知α角与120°角的终边相同,那么的终边不可能落在（ C ）
（A）第一象限（B）第二象限
（C）第三象限（D）第四象限
解析:
由题知α为第二象限角,
所以可能落在第一,二,四象限.
3.（xx三明质检）设α是第二象限角,P（x,4）为其终边上的一点,且cosα=x,则sinα等于（ A ）
（A）（B）-（C）（D）-
解析:
因为r=,cosα=x=,
得x=3或x=-3,
又因为α是第二象限角,
则x=-3,r=5,
所以sinα=.
4.已知角α的终边过点P（-8m,-6sin30°）,且cosα=-,则m的值为（ B ）
（A）-（B）（C）-（D）
解析:
因为r=,
所以cosα==-,
所以m>0,
所以=,
即m=.
5.（xx株洲质检）已知扇形的周长是4cm,则扇形面积最大时,扇形的中心角的弧度数是（ A ）
（A）2（B）1（C）（D）3
解析:
设此扇形的半径为r,弧长为l,则2r+l=4,面积S=rl=r（4-2r）=-r2+2r=
-（r-1）2+1,故当r=1时S最大,这时l=4-2r=2.从而α===2.故选A.
6.若角α的终边在直线y=-x上,则角α的取值集合为（ D ）
（A）{α|α=k·360°-45°,k∈Z}
（B）{α|α=k·2π+π,k∈Z}
（C）{α|α=k·π+π,k∈Z}
（D）{α|α=k·π-,k∈Z}
解析:
角α的取值集合为
{α|α=2nπ+π,n∈Z}∪{α|α=2nπ-,n∈Z}
={α|α=（2n+1）π-,n∈Z}∪{α|α=2nπ-,n∈Z}
={α|α=kπ-,k∈Z}.
7.（xx临沂质检）已知角θ的终边经过点P（-4cosα,3cosα）,α∈{α|π<α<
2π,α≠},则sinθ+cosθ= .
解析:
当π<α<时,cosα<0,所以r=-5cosα,故sinθ=-,cosθ=,则sinθ+cosθ=;当<α<2π时,cosα>0,所以r=5cosα,故sinθ=,cosθ=-,则sinθ+cosθ=-.
答案:
±
8.（xx大连模拟）点P是始边与x轴的正半轴重合,顶点在原点的角θ的终边上的一点,若|OP|=2,θ=60°,则点P的坐标是 .
解析:
设P（x,y）,由三角函数的定义,得
sin60°=,
cos60°=,
所以x=2cos60°=1,y=2sin60°=,
故点P的坐标为（1,）.
答案:
（1,）
9.（xx宁波模拟）若角α终边所在的直线经过P（cos,sin）,O为坐标原点,则|OP|= ,sinα= .
解析:
|OP|==1,
若P（cos,sin）在其终边上,
则sinα==;
若P（cos,sin）在其终边反向射线上,
则sinα=-,
综上sinα=±.
答案:
1 ±
10.已知角θ的终边经过点P（-,m）（m≠0）且sinθ=m,试判断角θ所在的象限,并求cosθ和tanθ的值.
解:
由题意,得r=,
所以sinθ==m.
因为m≠0,
所以m=±,
故角θ是第二或第三象限角.
当m=时,r=2,
点P的坐标为（-,）,
所以角θ是第二象限角,
cosθ===-,
tanθ===-;
当m=-时,r=2,
点P的坐标为（-,-）,
所以角θ是第三象限角,
cosθ===-,
tanθ===.
11.（xx南通期中）如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.
（1）若点B的横坐标为-,求tanα的值;
（2）若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合;
（3）若α∈（0,π],请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.
解:
（1）由题意可得B（-,）,
根据三角函数的定义得tanα==-.
（2）若△AOB为等边三角形,
则B（,）可得tan∠AOB==,
故∠AOB=,
故与角α终边相同的角β的集合为
{ββ=+2kπ,k∈Z}.
（3）若α∈（0,π],
则S扇形=αr2=α,
而S△AOB=×1×1×sinα=sinα,
故弓形的面积
S=S扇形-S△AOB=α-sinα,α∈（0,π].
能力提升练（时间:
15分钟）
12.（xx广州四校联考）已知点P（sinα-cosα,tanα）在第一象限,则在[0,2π]内α的取值范围是（ B ）
（A）（,）∪（π,）（B）（,）∪（π,）
（C）（,）∪（,）（D）（,）∪（,π）
解析:
因为点P（sinα-cosα,tanα）在第一象限,
所以sinα-cosα>0,tanα>0,
又因为α∈[0,2π],
所以α∈（,）∪（π,）.
13.（xx合肥模拟）已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ等于（ B ）
（A）-（B）-（C）（D）
解析:
由题意知,tanθ=2,
即sinθ=2cosθ,
将其代入sin2θ+cos2θ=1中可得
cos2θ=,
故cos2θ=2cos2θ-1=-.
14.一扇形的圆心角为120°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 .
解析:
设扇形半径为R,内切圆半径为r.
则（R-r）sin60°=r,
即R=（1+）r.
又S扇=|α|R2=××R2=R2=πr2,
所以=.
答案:
（7+4）∶9
15.设θ为第二象限角,试比较sin,cos,tan的大小.
解:
因为θ是第二象限角,
所以+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,
所以+kπ<<+kπ,k∈Z,
所以是第一或第三象限的角.
（如图阴影部分）,结合单位圆上的三角函数线可得:
（1）当是第一象限角时,
sin=AB,cos=OA,tan=CT,
从而得,cos（2）当是第三象限角时,
sin=EF,cos=OE,tan=CT,
得sin综上可得,当终边在第一象限时,
cos当终边在第三象限时,sin16.如图所示,动点P,Q从点A（4,0）出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求点P,点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.
解:
设P,Q第一次相遇时所用的时间是t,
则t·+t·-=2π.
所以t=4（秒）,即第一次相遇所用的时间为4秒.
设第一次相遇点为C,
第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在·4=的位置,
则xC=4·cos=-2,
yC=4·sin=-2.
所以C点的坐标为（-2,-2）.
P点走过的弧长为π·4=π,
Q点走过的弧长为π·4=π.
精彩5分钟
1.若α是第三象限角,则y=+的值为（ A ）
（A）0（B）2（C）-2（D）2或-2
解题关键:
解答本题关键是对所在象限分类讨论.
解析:
因为α是第三象限角,
所以2kπ+π<α<2kπ+π（k∈Z）,
所以kπ+<所以角终边在第二象限或第四象限.
当终边在第二象限时,
y=-=0,
当终边在第四象限时,y=+=0,
综上,y=0.
2.已知角α的终边经过点（1,-1）,始边与x轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,则角α的取值集合为 .
解题关键:
先由角α的终边经过点（1,-1）在[0,2π）或（-2π,0]内确定一个角,再加上2kπ（k∈Z）.
解析:
终边经过点（1,-1）,在[-2π,0）内,取β=-,
所以角α的取值集合即与β终边相同的角的集合,
可表示为{αα=-+2kπ,k∈Z}.
答案:
{αα=-+2kπ,k∈Z}
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