三角函数大题专项含答案.docx
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三角函数大题专项含答案
三角函数专项训练
22
1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sinA﹣sinC）＝
（a﹣b）sinB．
222
（1）证明a+b﹣c＝ab；
（2）求角C和边c．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B﹣）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．
3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2
，求BC．
2
sinxcosx．
5．已知函数f（x）＝sinx+
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣
，m]上的最大值为
，求m的最小值．
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c．已知asinA＝4bsinB，ac＝
2
（a
﹣b2﹣c2）
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值
7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣
）+sin（ωx﹣
），其中0＜ω＜3，已知f（
）＝0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的
2倍（纵坐标不变），再将
得到的图象向左平移
个单位，得到函数
y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣
，
]
上的最小值．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝
1
．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为
2
．
a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin
（1）求cosB；
（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．
11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：
当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．
12．已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．
（1）求sinC的值；
（2）若a＝7，求△ABC的面积．
14．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（1）证明：
A＝2B；
（2）若cosB＝，求cosC的值．
16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．
2
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得
到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA＝，求sinC的值．
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（Ⅰ）证明：
A＝2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．
（Ⅰ）证明：
sinAsinB＝sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tanB．
20．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝．
（1）求AB的长；
（2）求cos（A﹣）的值．
21．已知函数f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．
22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
3
4
参考答案
22
1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sinA﹣sinC）＝
（a﹣b）sinB．
2
2
2
（1）证明a+b﹣c＝ab；
（2）求角C和边c．
【解答】证明：
（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为
1，
∴由正弦定理得：
＝2R＝2，
∴sinA＝，sinB＝
，sinC＝
，
22
∵2（sinA﹣sinC）＝（a﹣b）sinB，
∴2（）＝（a﹣b）?
，
222
化简，得：
a+b﹣c＝ab，
222
故a+b﹣c＝ab．
222
解：
（2）∵a+b﹣c＝ab，
∴cosC＝＝＝，
解得C＝，
∴c＝2sinC＝2?
＝．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B﹣）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．
【解答】解：
（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA＝asinB，
又bsinA＝acos（B﹣）．
∴asinB＝acos（B﹣），即sinB＝cos（B﹣）＝cosBcos+sinBsin＝cosB+
，
∴tanB＝，
5
又B∈（0，π），∴B＝
．
（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝
，
由余弦定理得b＝
＝
，由bsinA＝acos（B﹣
），得sinA＝
，
∵a＜c，∴cosA＝
，
∴sin2A＝2sinAcosA＝
，
2
，
cos2A＝2cosA﹣1＝
∴sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB＝
＝
．
3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
【解答】解：
（1）由，解得，
∴cos2α＝；
（2）由
（1）得，sin2，则tan2α＝．
∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），
∴sin（α+β）＝＝．
则tan（α+β）＝．
∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．
4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC＝2，求BC．
【解答】解：
（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
∴由正弦定理得：
＝，即＝，
6
∴sin∠ADB＝＝，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB＝＝．
（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，
∵DC＝2，
∴BC＝
＝
＝5．
2
sinxcosx．
5．已知函数f（x）＝sinx+
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣
，m]上的最大值为
，求m的最小值．
2
sinxcosx＝
+sin2x
【解答】解：
（I）函数f（x）＝sinx+
＝sin（2x﹣
）+
，
f（x）的最小正周期为T＝
＝π；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣
，m]上的最大值为
，
可得2x﹣∈[﹣
，2m﹣
]，
即有2m﹣
≥
，解得m≥
，
则m的最小值为
．
6．在△ABC中，内角
A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA＝4bsinB，ac＝
2
（a
﹣b2﹣c2）
7
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值
【解答】（Ⅰ）解：
由，得asinB＝bsinA，
又asinA＝4bsinB，得4bsinB＝asinA，
两式作比得：
，∴a＝2b．
由，得，
由余弦定理，得
；
（Ⅱ）解：
由（Ⅰ），可得
，代入asinA＝4bsinB，得
．
由（Ⅰ）知，A为钝角，则
B为锐角，
∴
．
于是
，
，
故
．
7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣
）+sin（ωx﹣
），其中0＜ω＜3，已知f（
）＝0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数
y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的
2倍（纵坐标不变），再将
得到的图象向左平移
个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣
，]
上的最小值．
【解答】解：
（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣
）+sin（ωx﹣
）
＝sinωxcos
﹣cosωxsin
﹣sin（
﹣ωx）
＝sinωx﹣cosωx
＝sin（ωx﹣），
又f（
）＝
sin（ω﹣
）＝0，
∴
ω﹣
＝kπ，k∈Z，
解得ω＝6k+2，
8
又0＜ω＜3，∴ω＝2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），
将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y
＝sin（x﹣）的图象；
再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，
∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；
当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，
∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，
∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝
．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
【解答】解：
（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，
故由sinB＝，可得cosB＝．
由已知及余弦定理，有＝13，
∴b＝．
由正弦定理，得sinA＝．
∴b＝，sinA＝；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA＝，∴sin2A＝2sinAcosA＝，
cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．
故sin（2A+）＝＝．
9
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
【解答】解：
（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝acsinB＝，
∴3csinBsinA＝2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC＝；
（2）∵6cosBcosC＝1，
∴cosBcosC＝，
∴cosBcosC﹣sinBsinC＝﹣＝﹣，
∴cos（B+C）＝﹣，
∴cosA＝，
∵0＜A＜π，
∴A＝，
∵＝＝＝2R＝＝2，
∴sinBsinC＝?
＝＝＝，
∴bc＝8，
222
∵a＝b+c﹣2bccosA，
22
∴b+c﹣bc＝9，
∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，
∴b+c＝
∴周长a+b+c＝3+．
10
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为
2
．
a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin
（1）求cosB；
（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：
（1）sin（A+C）＝8sin2，
∴sinB＝4（1﹣cosB），
22
∵sinB+cosB＝1，
22
∴16（1﹣cosB）+cosB＝1，
32
∴16（1﹣cosB）+cosB﹣1＝0，
∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，
∴cosB＝；
（2）由
（1）可知sinB＝，
∵S△ABC＝ac?
sinB＝2，
∴ac＝
，
2
2
2
2
2
×
∴b＝a+c﹣2accosB＝a+c﹣2×
2
2
2
＝a+c
﹣15＝（a+c）﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，
∴b＝2．
11．已知函数f（x）＝
cos（2x﹣
）﹣2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：
当x∈[﹣
，
]时，f（x）≥﹣．
【解答】解：
（Ⅰ）f（x）＝
cos（2x﹣
）﹣2sinxcosx，
＝
（
co2x+sin2x）﹣sin2x，
＝cos2x+sin2x，
＝sin（2x+），
∴T＝＝π，
11
∴f（x）的最小正周期为π，
（Ⅱ）∵x∈[﹣
，
]，
∴2x+
∈[﹣
，
]，
∴﹣≤sin（2x+
）≤1，
∴f（x）≥﹣
12．已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣
），x∈[0，π]．
（1）若
，求x的值；
（2）记f（x）＝
，求f（x）的最大值和最小值以及对应的
x的值．
【解答】解：
（1）∵
＝（cosx，sinx），＝（3，﹣
），∥，
∴﹣
cosx＝3sinx，
当cosx＝0时，sinx＝1，不合题意，
当cosx≠0时，tanx＝﹣，
∵x∈[0，π]，
∴x＝，
（2）f（x）＝＝3cosx﹣sinx＝2（cosx﹣sinx）＝2cos（x+），
∵x∈[0，π]，
∴x+∈[，]，
∴﹣1≤cos（x+）≤，
当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，
当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．
13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．
（1）求sinC的值；
（2）若a＝7，求△ABC的面积．
【解答】解：
（1）∠A＝60°，c＝a，
12
由正弦定理可得sinC＝sinA＝×＝，
（2）a＝7，则c＝3，
∴C＜A，
2
2
，
∵sinC+cosC＝1，又由
（1）可得cosC＝
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝
×+×＝
，
∴S△ABC＝
acsinB＝×7×3×
＝6
．
14．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【解答】解：
f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx，
＝sin2ωx+cos2ωx，
＝，
由于函数的最小正周期为π，
则：
T＝，
解得：
ω＝1．
（2）由
（1）得：
函数f（x）＝，
令（k∈Z），
解得：
（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为：
[]（k∈Z）．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（1）证明：
A＝2B；
（2）若cosB＝，求cosC的值．
【解答】
（1）证明：
∵b+c＝2acosB，
∴sinB+sinC＝2sinAcosB，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），
13
∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝π（舍去）．
∴A＝2B．
（II）解：
cosB＝，∴sinB＝
＝
．
2
，sinA＝
＝．
cosA＝cos2B＝2cosB﹣1＝
∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB＝
+×＝．
2
16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）．
（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得
到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．
【解答】解：
（Ⅰ）∵f（x）＝2
sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）
2
2
＝2sinx﹣1+sin2x
＝2?
﹣1+sin2x
＝sin2x﹣
cos2x+
﹣1＝2sin（2x﹣
）+
﹣1，
令2kπ﹣
≤2x﹣
≤2kπ+
，求得kπ﹣
≤x≤kπ+
，
可得函数的增区间为
[kπ﹣，kπ+
]，k∈Z．
（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2倍（纵坐标不变），可得y
＝2sin（x﹣
）+
﹣1的图象；
再把得到的图象向左平移
个单位，得到函数
y＝g（x）＝2sinx+
﹣1的图象，
∴g（）＝2sin+﹣1＝．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA＝，求sinC的值．
【解答】解：
（1）∵asin2B＝bsinA，
∴2sinAsinBcosB＝sinBsinA，
∴cosB＝，∴B＝．
（2）∵cosA＝，∴sinA＝，
14
∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝＝．
18．在△A
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