三角函数辅助角公式化简.docx
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三角函数辅助角公式化简
三角函数辅助角公式化简
一、解答题
1．已知函数
f
xsin2x
cos2
x
，xR
3
（1）求fx
的对称中心；
（2）讨论f
x在区间
上的单调性.
3
4
2．已知函数fx4sinxcosx3.
3
（1）将fx化简为fxAsinx的形式，并求fx最小正周期；
（2）求fx在区间,上的最大值和最小值及取得最值时x的值.
46
3．已知函数fx4tanxsinxcosx3．
23
（1）求fx的最小正周期；
（2）求fx在区间,上的单调递增区间及最大值与最小值．
44
4．设函数fx3cos2xsinxcosx
3
.
2
（1）求函数fx的最小正周期T及最大值；
（2）求函数fx的单调递增区间.
πππ
5．已知函数fxcos2x2sinxsinx
344
（Ⅰ）求函数fx的最小正周期和图象的对称轴方程；
ππ
（Ⅱ）求函数fx在区间,上的值域.
122
6．已知函数
fx
3sinxcosxcos2x
1
.
2
（Ⅰ）求函数f
x的对称中心；
（Ⅱ）求fx
在0,
上的单调区间.
第1页共8页◎第2页共8页
7．已知函数fx4cosxsinx
1，求
6
（1）求fx的最小正周期；
（2）求函数fx的单调递增区间
（3）求fx在区间,上的最大值和最小值.
64
sinx3cosx?
cos
x
8．设函数fx
2
.
tanx
（1）求f
x的最小正周期；
（2）讨论fx在区间0,上的单调性.
2
9．已知函数fx23sinxcosx2cos2x1，
（I）求fx的最大值和对称中心坐标；
（Ⅱ）讨论fx在0,上的单调性。
10．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.
11．设fxsinxcosxcos2x.
4
（1）
求f
x的单调递增区间；
（2）
锐角
ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f
A
0，
a
1，bc
3，求b
c的值.
2
12．已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
第3页共8页◎第4页共8页
（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值.
13．设函数
.
16．已知向量a=（2cos
x，
3sin
x），b=（cos
x，2cos
x），（ω＞0），设函数f（x）=a?
b，
2
2
2
2
（1）求
的最大值，并写出使
取最大值时
的集合；
且f（x）的最小正周期为
π．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）已知
中,角
的边分别为
，若
，求的最小值.
（2）求f（x）的单调递增区间．
1
17．已知函数f
x
Asin
x（A0,0,
）的部分图象如图所示.
14．已知fx
3sinx
cos
xcosx
0，若f
x的最小正周期为4.
2
，其中
2
（1）求函数f
x
的解析式；
（1）求函数f
x的单调递增区间；
（2）如何由函数y
2sinx的通过适当图象的变换得到函数
fx的图象，写出变换过程;
（2）锐角三角形
ABC中，
2a
ccosB
bcosC，求f
A的取值范围.
（3）若f
1，求sin
的值.
4
2
6
15．已知a
=（
sinx
，
），b=（
cos
φ，
sin
φ）（|φ|＜）．函数
18．已知函数
cosx
f（x）=a?
b
且f（－x）=f（x）．
（1）求函数
在
上的单调递增区间；
3
（2）若
（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递增区间；
且
，求
的值。
（Ⅱ）将
f（x）的图象向右平移
单位得（
）的图象，若（
）+1≤
+
在
x
∈[0，]
gx
gx
axcosx
4
a的取值范围．
3
上恒成立，求实数
第5页共8页◎第6页共8页
2
19．已知fx2cosxsinx3sinxcosxsinx，
（1）求函数yfx的单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A满足fA2，而ABAC3，求边BC的最小值．
20．已知函数fx
cos
x
3cos
cos
x
x
2
（1）求fx的最小正周期和最大值；
（2）讨论fx在,3上的单调性．
44
21．已知fx23cos2xsin2x31xR，求：
（1）fx的单调增区间；
（2）当x,时，求fx的值域.
44
22．已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.
（1）求的值；
（2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，求的单调递减区间.
23．已知函数fxcos4xsin2xsin4x.
（1）求函数fx的递减区间；
（2）当x0,时，求函数fx的最小值以及取最小值时x的值.
2
24．已知函数fx23sinxcosx2sin2x1.
（1）求函数fx的对称中心和单调递减区间；
（2）若将函数fx图象上每一点的横坐标都缩短到原来的1（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移个
26
单位长度，得到函数gx的图象，求函数gx的表达式.
第7页共8页◎第8页共8页
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参考答案
1．
（1）对称中心为
k
0
，k
Z；
（2）增区间为
，减区间为
.
2
12
3
6
4
6
【解析】试题分析：
利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，
根据
正弦函数的性质来求对称中心
其对称中心能使函数值为
0，从而角的终边在
x轴上；
（2）
首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间．
试
题
解
析
：
1
）
由
已
知
1
cos2x
1
cos2x
2
3
1
1
3
f
x
sin2x
cos2x
2
2
4
4
sin2x
6
2
令
2x
k
，得x
k
k
Z，对称中心为
k
0
，k
Z.
6
2
12
2
12
（2）令
k
2
x
2
k
，
k
Z
2
2
6
2
得k
6
x
k
3
，
k
Z,增区间为
k
k
3
k
Z
6
令
2k
2x
2k
3
，kZ
2
6
2
得k
x
k
5
，
k
Z,增区间为
k
k
5
k
Z
3
6
3
6
上的增区间为,，减区间为,.
346436
2
．（）
f
x
2sin2x
，T
；
（2）x
时，
f
xmin
1
，x
1
3
4
12
时，
f
xmax2.
【解析】试题分析：
（1）由三角函数的公式化简可得
fx2sin
2x
，由周期公式
3
可得答案；
（2）由x的范围可得
2x
2
的范围，可得
f（x）的范围，结合三
3
6
3
角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的
x值．
试题解析：
（1）f
x
4sinxcosxcos
sinxsin
3
3
2sinxcosx2
3sin2x
3
3
答案第1页，总21页
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sin2x
3cos2x
2sin
2x
3
2
.
所以T
2
（2）因为
x
，所以
2x
2
4
3
6
6
3
所以
1
sin
2x
1，所以
1
fx
2，
2
3
当2
x
，即x
时，
f
xmin
1，
3
6
4
当2
x
2
，即x
12
时，f
xmin2
.
3
3．
（1）
（2）
fx最大值为-2，最小值为1．
【解析】试题分析：
（
1）化简函数的解析式得
fx2sin2x
，根据T
2
求
3
2
周期；
（2）先求出函数fx的单调递增区间，再求其与区间,的交集即可；根据
44
2x的取值范围确定函数在
4
上的最大值与最小值。
3
4
试题解析：
（1）f
x
4tanxcosxcos
x
3
x
x
3
3
4sincos
3
4sinx
1cosx
3sinx
3
2sinxcosx
23sin2x
3
2
2
sin2x
31
cos2x
3
sin2x
3cos2x
2sin
2x
．
3
所以f
x的最小正周期T
2
．
2
（2）令z
2x
，函数y
2sinz的单调递增区间是
2
2k
2k，k
Z．
3
2
由
2
2
x
2
k
，得
k
x
5
k，
kZ．
2
k
2
12
12
3
设A
，B
{x|
k
x
5
k
kZ}，易知A
B
．
4
12
12
4
12
4
答案第2页，总21页
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所以，当x
4
时，fx
在区间
上单调递增。
4
12
4
∵
4
x
，
4
∴
2x
5
6
3
，
6
∴
1
sin
2x
1，
2
3
∴
1
2sin
2x
2
3
∴f
x最大值为
2，最小值为-1．
点睛：
解题的关键是将函数化成f（x）＝Asin（ωx＋φ）的形式后，把ωx＋φ看成一个整体去处理，
特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”，如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
4．
（1）T
，最大值为
5
k,kkZ
1
（2）
12
12
【解析】试题分析：
（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，
再根据正弦函数性质求最小正周期T及最大值；
（2）根据正弦函数性质列不等式
2k
2x
3
2k
k
Z，解得函数
f
x的单调递增区间.
2
2
试
题
解
析
：
解
：
f
31cos2x
1
3
x
2
sin2x
2
2
1
3
cos2x
sin2x
sin2x
2
3
2
（1）T
当2x
2k
32
即xkkZ时12
fx取最大值为1
（2）令
2
2
x
2
k
k
Z
k
2
2
3
∴fx
的单调增区间为
5
k,
kkZ
12
12
答案第3页，总21页
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3
5．
（1）答案见解析；
（2）,1.
2
【解析】试题分析：
（1）整理函数的解析式可得f
x
sin
2x
，则函数的最小正周期为T
；对
6
称轴方程为xk
3
kZ
；
（2）结合函数的定义域和
（1）中整理的函数的解析式可得函数的值域为
3,1.
2
试题解析：
（1）
fx
cos
2x
3
2sin
x
4
sinx
4
1cos2x
3sin2x
sinx
cosx
sinx
cosx
2
2
1cos2x
3sin2x
sin2x
cos2x
2
2
1cos2x
3sin2x
cos2x
sin
2x
2
2
6
周期T
2
2
k
由2x
k
kZ,得x
kZ
2
6
2
3
函数图象的对称轴方程为
x
k
kZ
3
（2）
x
12
2x
6
5
2
3
6
因为f
x
sin
2x
在区间
12
上单调递增，在区间,
上单调递
6
3
3
2
减，
所以
当x
3
时，fx
取最大值1
又
f
3
f
1，当x
时，
fx取最小值
3
12
2
2
2
12
2
答案第4页，总21页
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所以函数f
x
在区间
上的值域为
3
12
2
1
2
6．
（1）
k
1,k
Z
（2）
0,
5
2
12
3
6
【解析】试题分析：
（1）
fx
3sinxcosx
cos2x
1
sin2x
1，令
2
6
2x
6
k
解得x
即可（Ⅱ）
求
fx
在
0,
上的单调区间，则令
2k
2
2x
6
2k
解得x,对k赋值得结果.
2
试题解析：
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