三角函数公式.docx

三角函数公式.docx

《三角函数公式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数公式.docx（8页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

三角函数公式

三角函数公式

两角和公式

sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB

cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）

cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）

倍角公式

tan2A=2tanA/（1-tan2A）Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A=Cos2A--Sin2A=2Cos2A—1=1—2sin2A

三倍角公式

sin3A=3sinA-4（sinA）3;cos3A=4（cosA）3-3cosA

tan3a=tana•tan（π/3+a）•tan（π/3-a）

半角公式

sin（A/2）=√{（1--cosA）/2}cos（A/2）=√{（1+cosA）/2}

tan（A/2）=√{（1--cosA）/（1+cosA）}cot（A/2）=√{（1+cosA）/（1-cosA）}

tan（A/2）=（1--cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）

和差化积

sin（a）+sin（b）=2sin[（a+b）/2]cos[（a-b）/2]

sin（a）-sin（b）=2cos[（a+b）/2]sin[（a-b）/2]

cos（a）+cos（b）=2cos[（a+b）/2]cos[（a-b）/2]

cos（a）-cos（b）=-2sin[（a+b）/2]sin[（a-b）/2]

tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB

积化和差

sin（a）sin（b）=-1/2*[cos（a+b）-cos（a-b）]

cos（a）cos（b）=1/2*[cos（a+b）+cos（a-b）]

sin（a）cos（b）=1/2*[sin（a+b）+sin（a-b）]

cos（a）sin（b）=1/2*[sin（a+b）-sin（a-b）]

诱导公式

sin（-a）=-sin（a）cos（-a）=cos（a）sin（π/2-a）=cos（a）

cos（π/2-a）=sin（a）sin（π/2+a）=cos（a）cos（π/2+a）=-sin（a）

sin（π-a）=sin（a）cos（π-a）=-cos（a）sin（π+a）=-sin（a）

cos（π+a）=-cos（a）tgA=tanA=sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα

万能公式

sin（a）=[2tan（a/2）]/{1+[tan（a/2）]^2}

cos（a）={1-[tan（a/2）]^2}/{1+[tan（a/2）]^2}

tan（a）=[2tan（a/2）]/{1-[tan（a/2）]^2}

其它公式

a•sin（a）+b•cos（a）=[√（a^2+b^2）]*sin（a+c）[其中，tan（c）=b/a]

a•sin（a）-b•cos（a）=[√（a^2+b^2）]*cos（a-c）[其中，tan（c）=a/b]

1+sin（a）=[sin（a/2）+cos（a/2）]^2;

1-sin（a）=[sin（a/2）-cos（a/2）]^2;;

其他非重点三角函数csc（a）=1/sin（a）sec（a）=1/cos（a）

双曲函数sinh（a）=[e^a-e^（-a）]/2cosh（a）=[e^a+e^（-a）]/2

tgh（a）=sinh（a）/cosh（a）

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）=sinαcos（2kπ＋α）=cosα

tan（2kπ＋α）=tanαcot（2kπ＋α）=cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）=-sinαcos（π＋α）=-cosα

tan（π＋α）=tanαcot（π＋α）=cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosα

tan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosα

tan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα

公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosα

tan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系（以下k∈Z）

sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=-sinα

tan（π/2+α）=-cotαcot（π/2+α）=-tanα

sin（π/2-α）=cosαcos（π/2-α）=sinα

tan（π/2-α）=cotαcot（π/2-α）=tanα

sin（3π/2+α）=-cosαcos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=-cotαcot（3π/2+α）=-tanα

sin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinα

tan（3π/2-α）=cotαcot（3π/2-α）=tanα

三角函数公式大全

锐角三角函数公式

sinα=∠α的对边/斜边cosα=∠α的邻边/斜边

tanα=∠α的对边/∠α的邻边cotα=∠α的邻边/∠α的对边

三倍角公式sin3α=4sinα•sin（π/3+α）sin（π/3-α）

cos3α=4cosα•cos（π/3+α）cos（π/3-α）

tan3a=tana•tan（π/3+a）•tan（π/3-a）

三倍角公式推导sin3a=sin（2a+a）=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）sin（α+t），其中

sint=B/（A^2+B^2）^（1/2）cost=A/（A^2+B^2）^（1/2）

tant=B/A

Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）cos（α-t），tant=A/B

降幂公式

sin^2（α）=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2

cos^2（α）=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2

tan^2（α）=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））

推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=（sinα/2+cosα/2）^2=2sina（1-sin²a）+（1-2sin²a）sina=3sina-4sin³a

cos3a=cos（2a+a）=cos2acosa-sin2asina=（2cos²a-1）cosa-2（1-sin²a）cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a=4sina（3/4-sin²a）=4sina[（√3/2）²-sin²a]=4sina（sin²60°-sin²a）

=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）

=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°-a）/2]

=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）

cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa（cos²a-3/4）=4cosa[cos²a-（√3/2）²]

=4cosa（cos²a-cos²30°）=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）

=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}

=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]

=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）上述两式相比可得tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）

半角公式tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）;

cot（A/2）=sinA/（1-cosA）=（1+cosA）/sinA.

sin^2（a/2）=（1-cos（a））/2cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2

tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））

三角和

sin（α+β+γ）=sinα•cosβ•cosγ+cosα•sinβ•cosγ+cosα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•sinγ

cos（α+β+γ）=cosα•cosβ•cosγ-cosα•sinβ•sinγ-sinα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•cosγtan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα•tanβ•tanγ）/（1-tanα•tanβ-tanβ•tanγ-tanγ•tanα）

两角和差cos（α+β）=cosα•cosβ-sinα•sinβcos（α-β）=cosα•cosβ+sinα•sinβ

sin（α±β）=sinα•cosβ±cosα•sinβtan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα•tanβ）

tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα•tanβ）

和差化积sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

sinθ-sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]

cosθ-cosφ=-2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]

tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB）

tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAtanB）

积化和差sinαsinβ=[cos（α-β）-cos（α+β）]/2cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/

sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

万能公式tanα=2tan（α/2）/〔1-tan＾（α/2）〕

sinα=2tan（α/2）/〔1+tan＾（α/2）〕cosα=〔1-tan＾（α/2）〕/1+tan＾（α/2）〕

其它公式

（1）（sinα）^2+（cosα）^2=1

（2）1+（tanα）^2=（secα）^2

（3）1+（cotα）^2=（cscα）^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除（sinα）^2,第二个除（cosα）^2即可

（4）对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:

A+B=π-C

tan（A+B）=tan（π-C）

（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）

整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证

同样可以得证,当x+y+z=nπ（n∈Z）时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）

（7）（cosA）^2+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

（8）（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

（9）sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0

cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2

tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0

四*,其它杂项（全部不可直接用）

1.辅助角公式

asinα+bcosα=sin（a+φ）,其中tanφ=b/a,其终边过点（a,b）

asinα+bcosα=cos（a-φ）,其中tanφ=a/b,其终边过点（b,a）

2.降次,配方公式

降次:

sin2θ=（1-cos2θ）/2

cos2θ=（1+cos2θ）/2

配方

1±sinθ=[sin（θ/2）±cos（θ/2）]2

1+cosθ=2cos2（θ/2）

1-cosθ=2sin2（θ/2）

高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得）：

sinx=[e^（ix）-e^（-ix）]/（2i）

cosx=[e^（ix）+e^（-ix）]/2

tanx=[e^（ix）-e^（-ix）]/[ie^（ix）+ie^（-ix）]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp（z）＝1＋z/1！

＋z^2/2！

＋z^3/3！

＋z^4/4！

＋…＋z^n/n！

＋…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

·三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：

由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

[编辑本段]三角函数的计算

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn（n=0..∞）

c0+c1（x-a）+c2（x-a）2+...+cn（x-a）n+...=∑cn（x-a）n（n=0..∞）

它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.

泰勒展开式（幂级数展开法）:

f（x）=f（a）+f'（a）/1!

*（x-a）+f''（a）/2!

*（x-a）2+...f（n）（a）/n!

*（x-a）n+...

实用幂级数：

ex=1+x+x2/2!

+x3/3!

+...+xn/n!

+...

ln（1+x）=x-x2/3+x3/3-...（-1）k-1*xk/k+...（|x|<1）

sinx=x-x3/3!

+x5/5!

-...（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!

+...（-∞

cosx=1-x2/2!

+x4/4!

-...（-1）k*x2k/（2k）!

+...（-∞

arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+...（|x|<1）

arccosx=π-（x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+...）（|x|<1）

arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...（x≤1）

sinhx=x+x3/3!

+x5/5!

+...（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!

+...（-∞

coshx=1+x2/2!

+x4/4!

+...（-1）k*x2k/（2k）!

+...（-∞

arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5-...（|x|<1）

arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...（|x|<1）

在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

初等三角函数导数

y=sinx---y'=cosx

y=cosx---y'=-sinx

y=tanx---y'=1/（cosx）²=（secx）²

y=cotx---y'=-1/（sinx）²=-（cscx）²

y=secx---y'=secxtanx

y=cscx---y'=-cscxcotx

y=arcsinx---y'=1/√1-x²

y=arccosx---y'=-1/√1-x²

y=arctanx---y'=1/（1+x²）

y=arccotx---y'=-1/（1+x²）

反三角函数

三角函数的反函数，是多值函数。

它们是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx，反正割Arcsecx=1/cosx，反余割Arccscx=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1（x）.

反三角函数主要是三个：

y=arcsin（x），定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；

y=arccos（x），定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；

y=arctan（x），定义域（-∞,+∞），值域（-π/2,π/2），图象用绿色线条；

sinarcsin（x）=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】

证明方法如下：

设arcsin（x）=y,则sin（y）=x,将这两个式子代如上式即可得其他几个用类似方法可得。

自己补充