函数项级数的收敛判别法探究设计.docx

函数项级数的收敛判别法探究设计.docx

《函数项级数的收敛判别法探究设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数项级数的收敛判别法探究设计.docx（37页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

函数项级数的收敛判别法探究设计

（此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！

）

本科生毕业论文

论文题目：

函数项级数的收敛判别法探究

院系：

数学与计算机科学学院

专业：

数学与应用数学

（或计算机科学与技术、信息与计算

科学、软件工程）

2013年5月日

HuanggangNormalUniversity

ThesisGraduates

Topic：

Theconvergencecriterionofseriesexpressedbyfunctionterms

Author：

DaiLe

College：

CollegeofMathematicsandComputerScience

Specialty：

MathematicsandAppliedMathematics

（orComputerScienceandTechnology,orInformationandComputingScience,orSoftwareEngineering）

Class：

200902

Tutor：

XiaDan

MayXth,2013

郑重声明

特此郑重声明！

论文作者（签名）：

2013年5月X日

摘要

函数项级数在数学科学本身和工程技术领域都有重要应用.函数项级数和函数列的一致收敛性问题往往是数学分析的重点，又是难点，不易理解和掌握。

而函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性，但是一致收敛的判别比较困难，函数项级数在区间上的一致收敛性与部分和函数列的一致收敛性是等价的。

一种自然的思想是将正项级数的判别法推广到函数项级数一致收敛的判别法上去.目前，正项级数的D’Alembert判别法、Cauchy判别法、Raabe判别法和它们的极限形式顺利地推广到了函数项级数的一致收敛的判别上.此外，还有很多种判别函数项级数一致收敛的方法，这些方法视条件而定：

1在和函数或极限函数可以求出的情况下，可以用定义。

2利用余项的一致收敛性：

在区间上一致收敛的充要条件是在上一致收敛于0，即，在上一致收敛于的充要条件是=0.

3利用Cauchy准则（函数项级数和函数列均可用）.

4利用函数项级数一致收敛的M判别法（Weierstrass判别法）.

5利用函数项级数一致收敛的Dimchler判别法和Abel判别法.

6利用结论：

如果函数列在上收敛于，且每一在上满足Lipschitz条件，即存在，使得，，n=1,2,……,则在上一致收敛于.

7利用结论：

如果可微函数列在上收敛于，且在上一致收敛于.

8利用Dini定理（函数项级数和函数列均可用）

9利用结论：

设幂级数的收敛半径，则

（i）当或收敛时，在（或）上一致收敛；

（ii）当在内一致收敛当且仅当在上一致收敛

本文旨在对上述函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结和探究.

关键词：

函数项级数、一致收敛

Abstract

Seriesexpressedbyfunctiontermsinthefieldofmathematicsandengineeringscienceitself.Functionseriesandfunctionofuniformconvergenceproblemoftenisthekeypointofmathematicalanalysis,itisdifficult,noteasytounderstandandgrasp.Andfunctionstudiesseriesoneofthebasicproblemisthattheuniformconvergence,buttheuniformconvergencecriterionismoredifficult,intheuniformconvergenceoftheseriesexpressedbyfunctiontermsconsistentwiththepartandfunctionofconvergenceareequivalent.Anaturalthoughtisthecriterion.Atpresent,the

PosistiveSeriesD’Alembertcriterion,Cauchycriterion,Raabediscriminantmethodandthelimitsoftheirformgeneralizedtofunctionsuccessfullyaseriesofuniformconvergencecriterion.Inaddition,thereareanumberofdiscriminantfunctionisaseriesofuniformconvergenceofthemethod,thesemethodsdependingontheconditions:

1.inorlimitfunctioncanbecalculatedandthefunction,canusethedefinition.

2.morethanusingtheuniformconvergence:

thenecessaryandsufficientconditionofuniformconvergenceintherangeisontheuniformconvergencetozero,i.e,thenecessaryandsufficientconditionofuniformconvergenceintheis=0.

3.usingCauchycriterion（functionseriesandcolumnareavailable）.

4.usingthefunctionoftheMseriesofuniformconvergence（Weierstrass

discriminantmethod）.

5.usingtheseriesofuniformconvergenceofDimchlerdiscriminantmethodandAbeldiscriminantmethod.

6.withtheconclusionthatifafunctionlistedinconvergesto,andeachinsatisfiedtheLipschitzcondition,thatis,make,n=1,2,…,theuniformconvergencein.

7.usingtheconclsion:

iftheconvergenceindifferentiablefunctionon,andontheuniformconvergenceinthe.

8.Dinitheorem（functionseriesandcolumnareavailable）

9.useconclusion:

apowerseriesandcolumnareavailable,andis

（i）whenorconvergence,uniformconvergenceon（or）;

（ii）whenontheuniformconvergenceifandonlyifinuniformconvergence

Thispaperaimedtotheconvergentseriesexpressedbyfunctiontermsdiscriminantmethodcarriesonthecomprehensivesummaryandexploration

Keywords:

functionseries,uniformconvergence

第一章绪论……………………………………………1

1.1引言………………………………………………1

1.2定义:

.......................................................................1

1.2.1函数项级数定义...........................................1

1.2.2函数项级数一致收敛性的定义....................1

1.3函数项级数一致收敛的判定方法………………3

1.3.1定理1（柯西一致收敛准则）………………4

1.3.2定理2（余项判别法）………………………4

1.3.3定理3（魏尔斯特拉斯判别法）……………5

1.3.4定理4（狄利克雷判别法）…………………5

1.3.5定理5（阿贝尔判别法）……………………6

1.3.6定理6…………………………………………7

第二章函数项级数的收敛判别方法应用...............................8

函数项级数的收敛判别法应用

摘要：

函数项级数的收敛判别问题是函数项级数问题中最基本最重要的问题，在研究函数项级数收敛的问题时可借鉴一些数项级数的方法，本文对函数项级数的收敛判别方法及其应用做了全面细致的阐述

关键词：

函数项级数、收敛判别

1引言

函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许多极其相似的地方,比如它们的收敛性、和的问题，但函数项级数还有一点不同于数项级数,就是关于它的一致收敛性。

对比数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现,它们在判断方法上极其相似,特别是在它们判别法的名称上,比如它们都有Cauchy判别法、Abel判别法等.对于函数项级数的一致收敛性,有没有类似于数项级数收敛性判别的其它方法,是一个值得研究的课题.函数项级数在一致收敛的条件下，可以讨论其和函数的连续性、可微性以及可积性.函数项级数在一致收敛时，求和和求导、求和和求积分的顺序可以交换顺序.并且，往往交换顺序以后方便我们解决一些函数项级数中的基本问题.这个应用非常重要，因此，本文将对函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结.

2定义：

2.1函数项级数定义

2.1.1定义设{u（x）}是定义在数集E上的一个函数列，表达式

u（x）+u（x）+u（x）

称为定义在E上的函数项级数，简记为或。

称

，n=1,2,

为函数项级数的部分和函数列。

2.2函数项级数一致收敛的定义

若函数项级数的部分和函数列在数集上一致收敛于，则称函数项级数在上一致收敛于或称在上一致收敛.

我们可以看到，函数项级数的一致收敛性归结到其部分和函数列的一致收敛性的研究上。

例1考察级数

的一致收敛性

分析：

由于函数项级数的一致收敛性要归结到它的和函数列的一致收敛性上。

所以我们首先要求出它的和函数列，由等比级数求和公式知当时，，对于任意，由于

因此级数的一致收敛性等价于函数列对区间的一致收敛于零。

证明:

由等比级数求和公式知当时

，

对任意，

下面证明此函数列是一致收敛于零的。

由于，所以在有界且对于任意给定的，存在，当时，有。

于是对所有自然数，有

，

而当时，由知，当时

于是在地一致收敛于零，因此存在，当时，对所有有

这样当时，对所有，有，因此级数在上一致收敛。

定义1：

设，（）都是在数集D上由定义的函数，若存在一个在D上由定义的函数S（x）,对任意的，存在自然数N,使得当n>N时，对一切均有

||〈

则称函数项级数在数集D上一致收敛于S（x）.

3函数项级数一致收敛的判定方法

下面将给出一些判别函数项级数一致收敛的基本方法：

柯西一致收敛准则，维尔斯特拉斯判别法（M判别法），狄利克雷判别法，阿贝尔判别法以及不常用的方法，例如：

两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致条件判别法、导数判别法、点列判别法这几方面来介绍函数项级数一致收敛的判别方法.

3.1常用判别方法

3.1.1定理1（柯西一致收敛准则）

||<

或

|

|<

判别函数项级数一致收敛性除了根据定义和柯西准则外，有些级数还可以根据级数各项的特征来判定。

例如我们在数学分析的课本中,也介绍了用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法掌握解答级数的问题,以下介绍级数收敛性理论中阿贝尔判别法和狄利克雷判别法及魏尔斯特拉斯判别法:

设函数项级数定义在数集D上，为收敛的正项级数，若对一切x,有

||，n=1，2

则函数项级数在上一致收敛.

证明：

假设正项级数收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数，存在某正整数，使得当n>N及任何正整数p,有

||=

又对一切有

||

根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数在上一致收敛

3.1.2定理2（阿贝尔判别法）

（1）在区间上一致收敛;

（2）对于每一个是单调的；

（3）在上一致有界，即对一切和正整数n，存在正数M,使得

则级数在上一致收敛。

证明：

由

（1），任给存在某正数N,使得当n>N及任何正整数P，对一切，有

||<

又由

（2）（3）及阿贝尔引理得:

于是根据函数项级数一致收敛的柯西准则就得到定理的结论。

3.1.3定理3（余项判别法）

函数项级数在数集D上一致收敛于的充要条件是:

.

3.1.4定理4（狄利克雷判别法）

（1）是部分和函数（n=1,2在上一致有界

（2）对于每一个是单调的

（3）在上

则级数在上一致收敛

证明：

由

（1），存在正数M，对一切x,有.因此当n,p为任意正整数时，都有：

对任何一个x,再由

（2）及阿贝尔引理，得到

再由（3），任给>0,存在正数N，当n>N时，对一切x,由

所以

于是由一致收敛的柯西准则，级数在上一致收敛.

（注意：

利用狄利克雷判别函数级数一致收敛时，三个条件都应满足）

同样的，结合数项级数比式判别法和根式判别法,可以得到函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法,同时我们还可得到函数项级数一致收敛性的对数判别法、积分判别法.

3.1.5定理5（比式判别法）

设为定义在数集D上的函数列，且，n=1,2,……,记，存在正整数N及实数q,M,使得，，对任意的n>N,成立，则函数项级数在D上一致收敛.

证明:

　易见（x）=

=

而等比级数当公比0

（极限形式）设（x）为定义在数集D上正的函数列,记，若

且（x）在D上一致有界,则函数项级数在D上一致收敛.

3.1.6定理6（根式判别法）

设（x）为定义在数集D上的函数列,若存在正整数N,使得，对n>N,x∈D成立,则函数项级数在D上一致收敛.

证明:

　由定理条件,|（x）|≤，对n>N,x∈D成立,而几何级数Σ收敛,由优级数判别法知,函数项级数在D上一致收敛.（注:

当定理6条件成立时,级数在D上收敛且绝对收敛）

（极限形式）设（x）为定义在数集D上的函数列,若

，对x∈D成立,则函数项级数在D上一致收敛。

3.1.7定理7（对数判别法）　

设（x）为定义在数集D上正的函数列,若存在,则：

（1）若对,p（x）>p>1,则函数项级数在D上一致收敛;

（2）若对,

证明：

由定理条件知,对,N,使得对n>N,有

<，

则当1时收敛,由优级数判别法知函数项级数在D上一致收敛;而当

（x）>,p级数Σ当p<1时发散,从而函数项级数在D上不一致收敛.

3.1.7定理8（积分判别法）

设为区域

上的非负函数，如果在上关于y为单调减函数，若含参变量反常积分在数集D上一致收敛，则在数集D上一致收敛.

证明：

由在数集D上一致收敛，对一个N，当n>N时，对一切自然数p和一切,有<.

由<<,

所以在数集D上一致收敛.

3.1.8定理9（确界判别法）

证明：

充分性已知函数项级数在区间D上一致收敛于S（x）.

，有：

.从而，.

必要性已知，即

有.从而，有，即函数项级数在区间D上一致收敛于S（x）.

3.2其它判别方法

在熟悉以上常规的判别法以后，在处理一些问题时还会用到其它的判别

方法，例如：

两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致条件判别法、

导数判别法、点列判别法等,下面将一一介绍.

3.2.1两边夹判别法

对任意自然数和,都有

成立,又与均在点集D上一致收敛于,则也在

点集D一致收敛于.

3.2.2　单调判别法

下面讨论在级数的和函数单调条件下,加上若干条件,可推出函数项级数的Dini定理.

（Dini定理）设级数的每一项在有界闭区间上连续且非负,如果它的和函数也在上连续,那么该级数在上一致收敛.

证　用记级数的部分和,由于0,故对每个给定的,是单调增的数列.记　

　　　　　　（）,　　　　　　　　

则是非负的单调减得数列.我们要证明在上一致趋于0.如果不是这样,那么存在某个,不论多大,总能在找到这样的点,使得

（）,　　　　　　　　　　　　

（）既然是中的一个点列,那么根据Bolzano-Weierstrass定理,从它中间能挑出一个收敛的子列,设,则,根据的连续性,我们有

（）.

另一方面,对于任意给定的,总能找到充分大的,使.于是,对于任意给定的,就有,特别有.因而由1得,命,就得

　　　　　　　　　（）.　　　　　　　　　　

但2知道,

＝　（）,

这和⑥矛盾,从而证明了级数在上一致收敛于.

注　如果把定理中的有界闭区间换成开区间或者无穷区间,结论就可能不成立.例如级数的每一项在区间中非负且连续,它的和函数也在中连续,但该级数在中并不一致收敛.

3.2.3一致条件判别法

　　下面讨论满足一致条件,来探讨的一致收敛性,得到函数项级数的一致条件判别法：

定理设函数列{}在闭区间上连续,且存在一点收敛,使得在点收敛；且在闭区间上满足一致条件；则函数项级数在上一致收敛.

证已知在点收敛,即任意,存在,使得时,对任意,有

；

又因为在闭区间上满足一致条件,即存在常数,使得对于任意两点,都有

存在＝,当0＜＜时,对一切,任意,任意,有

L＝,

于是任意,任意,任意,

　　　　　　　　　　.

即在上一致收敛.

3.2.4导数判别法　

下面探讨在函数列{}可微条件下,当在上一致收敛时,函数项级数的一致收敛性.

定理设函数列{}在闭区间上连续,可微,且存在一点收敛,使得在点收敛；在上一致

收敛；则函数项级数在上一致收敛.

证　已知在点收敛,在上一致收敛,即任意,存在,使得时,对任意,有

；

对任意,有

根据拉格朗日中值定理,任意,任意,任意,有

　　　　　　　　　　　　　　　　　（介于与之间）

于是任意,任意,任意,

　　　　　　　　　　.

即在上一致收敛.

3.2.5点列判别法

下面,把在点集X归结到点列的情况下来确定函数项级数的一致收敛性.

定理　在点集X上一致收敛于的充分必要条件是对任

点列{}.都有

证：

必要性若在点集X上一致收敛于,则

.

于是对任意点列{},都有

　　　　　　　.

充分性（用反证法）假设在点集X上不一致收敛于,则,,,及,使得

.于是,取,与,使

取,与,使；

……

取,与,使

；

…….

这样就得到一点列,使

与已知条件相矛盾.

4.总结

本文介绍了多种判断函数项级数一致收敛的方法，并对这些方法进行了理论上的证明，为我们处理函数项级数相关的问题提供了丰富的解决方法.

参考文献：

1.华东师范大学数学系，数学分析（下）.高等教育出版社，2001年6月第三版.

2.刘玉琏，傅沛仁，林玎.数学分析讲义.高等教育出版社，2003年4月第二版.

3.邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程（下）.高等教育出版社，2006年3月第二版.

毕业论文通用格式分类号：

无锡职业技术学院

毕业设计（论文）

题目（团队课题要注明“团队”二字）

英文并列题目

所在团队

答辩委员会主任主答辩人

二零15年3月

毕业设计（论文）开题报告

毕业设计（论文）任务书

年月日

设计类建议格式一：

封面

开题报告

任务书

摘要、关键词（含中英文）

第一章序言

1.1XXX

1.2XXX

……

第二章XXX工艺设计

2.1XXX

2.2XXX

……

第三章XXX参数确定及计算

3.1XXX

3.2XXX

……

第四章XXX夹具设计

4.1XXX

4.2XXX

……

第N-1章XXX

N-1.1XXX

N-1.2XXX

……

第N章结论

小结与致谢

参考文献

毕业设计附录目录：

1.机械加工工艺流程图

2.机械加工工艺过程卡

3.机械加工工艺工艺卡

4.机械加工工艺工序卡

5.被加工零件图

6.夹具装配图

7.夹具零件图

8.其他系统图

9.其他原理图

10.零件三维造型图

11.夹具三维造型图

12.设计（作品）实物图

13.设计（作品）实物

14.开题报告

15.专业翻译材料

16.企业证明

17.与企业合作开发的技术服务合同

18.四技服务项目验收表

19.毕业设计（论文）指导记录表

20.毕业答辩评审表

表2毕业设计（论文）评阅教师评价表

表3毕业设计（论文）答辩记录表

表4毕业设计（论文）答辩评价表

表4毕业设计（论文）综合评价表

设计类建议格式二：

封面

开题报告

任务书

摘要、关键词（含中英文）

第一章绪论

1.1XXX课题的背景及意义

1.2XXX国内外研究现状

1.3XXX技术特点

1.4XXX课题研究的内容

……

第二章XXX系统的总体设计

2.1XXX系统整体方案设计思路

2.2XXX

……

第三章XXX系统的硬件设计

3.1XXX系统硬件设计思路

3.2XXX

……

第四章XXX系统的电路设计

4.1XXX系统电路设计思路

4.2XXX

……

第五章XXX系统的软件设计

5.1XXX系统软件设计思路

5.2XXX

……

第六章XXX系统的监控中心设计

6.1XXX系统监控中心设计思路

6.2XXX

……

第N-1章XXX

N-1.1XXX

N-1.2XXX

……

第N章总结与展望

小结并致谢