江苏专用高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第9课对数与对数函数教师用书.docx

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江苏专用高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第9课对数与对数函数教师用书

第9课对数与对数函数

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

对数

√

对数函数的图象与性质

√

1．对数的概念

如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．

2．对数的性质、换底公式与运算性质

（1）对数的性质：

①alogaN＝N；②logaab＝b（a＞0，且a≠1）．

（2）换底公式：

logab＝（a，c均大于0且不等于1，b＞0）．

（3）对数的运算性质：

如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

①loga（M·N）＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM（n∈R）．

3．对数函数的定义、图象与性质

定义

函数y＝logax（a＞0且a≠1）叫作对数函数

图象

a＞1

0＜a＜1

性质

定义域：

（0，＋∞）

值域：

R

当x＝1时，y＝0，即过定点（1,0）

当0＜x＜1时，y＜0；

当x＞1时，y＞0

当0＜x＜1时，y＞0；

当x＞1时，y＜0

在（0，＋∞）上为增函数

在（0，＋∞）上为减函数

4.反函数

指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）log2x2＝2log2x.（　　）

（2）当x＞1时，logax＞0.（　　）

（3）函数y＝lg（x＋3）＋lg（x－3）与y＝lg[（x＋3）（x－3）]的定义域相同．（　　）

（4）对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图象过定点（1,0），且过点（a,1），，函数图象不在第二、三象限．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2．（2017·启东中学高三第一次月考）函数f（x）＝定义域为________．

∪（2，＋∞）　[由得02.]

3．（2017·泰州中学高三摸底考试）已知＋＝2，则a＝________.

　[∵＋＝2，

∴loga2＋loga3＝2，

∴loga6＝2，

∴a2＝6，a>0，

∴a＝.]

4．已知函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图91，则下列结论成立的是________．（填序号）

图91

①a＞1，c＞1；

②a＞1,0＜c＜1；

③0＜a＜1，c＞1；

④0＜a＜1,0＜c＜1.

④　[由图象可知y＝loga（x＋c）的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]　

5．（教材改编）若loga＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是________．

∪（1，＋∞）　[当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；

当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.

即实数a的取值范围是∪（1，＋∞）．]

对数的运算

（1）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________．

（2）（2017·南通第一次学情检测）已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝________.

（1）　

（2）4　[

（1）∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，

∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，

∴m＝.

（2）∵logba＝，

∴由logab＋logba＝得logab＝3或logab＝.

又∵a>b>1，∴logab＝，即a＝b3.

又ab＝ba，∴a＝3b，∴a＝3，b＝，

∴a＋b＝4.]

[规律方法]　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．

2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．

3．ab＝N⇔b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．

[变式训练1]　

（1）已知函数f（x）＝则f（2＋log23）的值为________．

（2）若a＝log43，则2a＋2－a＝________.

（1）24　

（2）　[

（1）∵3＜2＋log23＜4，∴f（2＋log23）＝f（3＋log23）＝23＋log23＝8×3＝24.

（2）∵a＝log43＝log223＝log23＝log2，

∴2a＋2－a＝2log2＋2－log2＝＋2log2＝＋＝.]

对数函数的图象及应用

（1）（2017·南通二调）已知函数f（x）＝loga（x＋b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图92所示，则a＋b的值是________．

图92

（2）已知函数f（x）＝且关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.【导学号：

62172048】

（1）　

（2）（1，＋∞）　[

（1）由题图可知

解得b＝4，a＝，∴a＋b＝.

（2）如图，在同一坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．]

[规律方法]　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项．

2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

[变式训练2]　如图93，点A，B在函数y＝log2x＋2的图象上，点C在函数y＝log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为（m，n），则m＝________.

图93

　[由题意知等边△ABC的边长为2，则由点A的坐标（m，n）可得点B的坐标为（m＋，n＋1）．又A，B两点均在函数y＝log2x＋2的图象上，故有解得m＝.]

对数函数的性质及应用

角度1　比较对数值的大小

　（2016·全国卷Ⅰ）若a＞b＞0,0＜c＜1，则下列选项中正确的是________．（填序号）

①logac＜logbc；

②logca＜logcb；

③ac＜bc；

④ca＞cb.

②　[对于①：

logac＝，logbc＝，∵0＜c＜1，∴lgc＜0.而a＞b＞0，∴lga＞lgb，但不能确定lga，lgb的正负，∴logac与logbc的大小不能确定．对于②：

logca＝，logcb＝，而lga＞lgb，两边同乘一个负数不等号方向改变，∴logca＜logcb，∴②正确．对于③：

利用y＝xc（0＜c＜1）在第一象限内是增函数，可得ac＞bc，∴③错误．对于④：

利用y＝cx（0＜c＜1）在R上为减函数，可得ca＜cb，∴④错误．]

角度2　解简单的对数不等式

　（2016·浙江高考改编）已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则下列说法正确的是________．（填序号）

①（a－1）（b－1）<0；

②（a－1）（a－b）>0；

③（b－1）（b－a）<0；

④（b－1）（b－a）>0.

④　[法一：

logab＞1＝logaa，

当a＞1时，b＞a＞1；

当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有④正确．

法二：

取a＝2，b＝3，排除①，②，③，故选④.]

角度3　探究对数型函数的性质

　已知函数f（x）＝loga（3－ax），是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？

如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.【导学号：

62172049】

[解]　假设存在满足条件的实数a.

∵a＞0，且a≠1，∴u＝3－ax在[1,2]上是关于x的减函数．

又f（x）＝loga（3－ax）在[1,2]上是关于x的减函数，

∴函数y＝logau是关于u的增函数，

∴a＞1，x∈[1,2]时，u最小值为3－2a，

f（x）最大值为f

（1）＝loga（3－a），∴

即

故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.

[规律方法]　利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：

一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．

[思想与方法]

1．对数值取正、负值的规律

当a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1时，logab＞0；

当a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1时，logab＜0.

2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．

3．比较幂、对数大小有两种常用方法：

（1）数形结合；

（2）找中间量结合函数单调性．

4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．

[易错与防范]

1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为（0，＋∞）．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论．

2．在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|（α∈N＋，且α为偶数）．

3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：

（1）务必先研究函数的定义域；

（2）注意对数底数的取值范围．

课时分层训练（九）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．lg＋2lg2－－1＝________.

－1　[lg＋2lg2－－1＝lg5－lg2＋2lg2－2

＝（lg5＋lg2）－2＝1－2＝－1.]

2．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________.

【导学号：

62172050】

（－∞，－1）　（－1，＋∞）　[作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象（如图所示）．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为（－∞，－1），单调递增区间为（－1，＋∞）．]

3．函数y＝的定义域是________．

　[由log（2x－1）≥0⇒0＜2x－1≤1⇒＜x≤1.]

4．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．

a＝b＞c　[因为a＝log23＋log2＝log23＝log23＞1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32＜log33＝1，所以a＝b＞c.]

5．若函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象如图94所示，则下列函数图象中正确的是________．（填序号）

图94

①　　　　②　　　　③　　　　④

②　[由题图可知y＝logax的图象过点（3,1），

∴loga3＝1，即a＝3.

选项①，y＝3－x＝x在R上为减函数，错误；

选项②，y＝x3符合；

选项③，y＝（－x）3＝－x3在R上为减函数，错误；

选项④，y＝log3（－x）在（－∞，0）上为减函数，错误．]

6．已知函数f（x）＝则f（f

（1））＋f的值是________.

【导学号：

62172051】

5　[由题意可知f

（1）＝log21＝0，

f（f

（1））＝f（0）＝30＋1＝2，

f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，

所以f（f

（1））＋f＝5.]　

7．已知函数y＝log2（ax－1）在（2,4）上单调递增，则a的取值范围是____________．

　[由函数y＝log2（ax－1）在（2,4）上单调递增，得解得a＞，

则a的取值范围是.]

8．（2017·苏锡常镇调研二）已知函数f（x）＝x3＋2x，若f

（1）＋f（log3）>0（a>0且a≠1），则实数a的取值范围是________.【导学号：

62172052】

（0,1）∪（3，＋∞）　[∵f′（x）＝3x2＋2>0，

∴f（x）为R上的递增函数，

又f（－x）＝－x3－2x＝－f（x），

∴f（x）为奇函数．

由f

（1）＋f>0得f

（1）>－f（log3）＝f，

∴loga3<1，即a>3或0

9．（2017·盐城期中）设函数f（x）＝lg（x＋）是奇函数，则实数m的值为________．

1　[∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＋f（x）＝0，

∴lg（－x＋）＋lg（x＋）＝lg（1＋mx2－x2）＝0，

∴（m－1）x2＝0，即m＝1.]

10．（2017·无锡期中）若函数f（x）＝ln|x－a|（a∈R）满足f（3＋x）＝f（3－x），且f（x）在（－∞，m）单调递减，则实数m的最大值等于________．

3　[由f（3＋x）＝f（3－x）可知，f（x）关于x＝3对称，又f（x）＝ln|x－a|的图象关于x＝a对称，

所以a＝3，

结合题意可知，实数m的最大值为3.]

二、解答题

11．设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，a≠1），且f

（1）＝2.

（1）求a的值及f（x）的定义域；

（2）求f（x）在区间上的最大值．

[解]　

（1）∵f

（1）＝2，

∴loga4＝2（a＞0，a≠1），

∴a＝2.

由得x∈（－1,3），

∴函数f（x）的定义域为（－1,3）．

（2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）

＝log2（1＋x）（3－x）＝log2[－（x－1）2＋4]，

∴当x∈（－1,1）时，f（x）是增函数；

当x∈（1,3）时，f（x）是减函数，

故函数f（x）在上的最大值是f

（1）＝log24＝2.

12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）＝0，当x＞0时，f（x）＝

x.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）解不等式f（x2－1）＞－2.【导学号：

62172053】

[解]　

（1）当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝log（－x）．

因为函数f（x）是偶函数，所以f（－x）＝f（x），

所以函数f（x）的解析式为

f（x）＝

（2）因为f（4）＝

4＝－2，f（x）是偶函数，

所以不等式f（x2－1）＞－2可化为f（|x2－1|）＞f（4）．

又因为函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数，

所以|x2－1|＜4，解得－＜x＜，

即不等式的解集为（－，）．

B组　能力提升

（建议用时：

15分钟）

1．已知点（n，an）（n∈N＋）在y＝ex的图象上，若满足当Tn＝lna1＋lna2＋…＋lnan＞k时，n的最小值为5，则k的取值范围是________．

10≤k＜15　[因为点（n，an）在y＝ex的图象上，所以an＝en，所以Tn＝ln（e1e2…en）＝，由＞k时n的最小值为5，即解得10≤k＜15.]

2．（2017·南京模拟）若函数f（x）＝（a>0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），则实数a的取值范围是________．

（1,2]　[当x≤2时，y＝－x＋6≥4.∵f（x）的值域为[4，＋∞），

∴当a>1时，3＋logax>3＋loga2≥4，∴loga2≥1，

∴1

当0

故a∈（1,2]．]

3．已知函数f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x）（a＞0且a≠1）．

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；

（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的解集．

[解]　

（1）要使函数f（x）有意义，

则解得－1＜x＜1.

故所求函数f（x）的定义域为（－1,1）．

（2）证明：

f（x）为奇函数，由

（1）知f（x）的定义域为（－1,1），

且f（－x）＝loga（－x＋1）－loga（1＋x）

＝－[loga（x＋1）－loga（1－x）]＝－f（x），

故f（x）为奇函数．

（3）因为当a＞1时，f（x）在定义域（－1,1）内是增函数，

所以f（x）＞0⇔＞1，解得0＜x＜1，

所以使f（x）＞0的x的解集是（0,1）．

4．已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）．

（1）若f

（1）＝1，求f（x）的单调区间；

（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？

若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

[解]　

（1）∵f

（1）＝1，

∴log4（a＋5）＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，

这时f（x）＝log4（－x2＋2x＋3）．

由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，

函数f（x）的定义域为（－1,3）．

令g（x）＝－x2＋2x＋3，

则g（x）在（－1,1）上单调递增，在（1,3）上单调递减．

又y＝log4x在（0，＋∞）上单调递增，

∴f（x）的单调递增区间是（－1,1），单调递减区间是（1,3）．

（2）假设存在实数a使f（x）的最小值为0，

则h（x）＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

因此应有解得a＝.

故存在实数a＝使f（x）的最小值为0.