一元二次方程应用题.docx
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一元二次方程应用题
一元二次方程应用题
一元二次方程应用题经典题型汇总
同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明.
一、增长率问题
例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
解 设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200（1－20%）（1+x）2＝193.6，
即（1+x）2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）.
答 这两个月的平均增长率是10%.
说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m（1+x）2＝n求解，其中m＜n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m（1－x）2＝n即可求解，其中m＞n.
二、商品定价
例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？
每件商品应定价多少？
解 根据题意，得（a－21）（350－10a）＝400，整理，得a2－56a+775＝0，
解这个方程，得a1＝25，a2＝31.
因为21×（1+20%）＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去.
所以350－10a＝350－10×25＝100（件）.
答 需要进货100件，每件商品应定价25元.
说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
三、储蓄问题
例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
解 设第一次存款时的年利率为x.
则根据题意，得[1000（1+x）－500]（1+0.9x）＝530.整理，得90x2+145x－3＝0.
解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.
答 第一次存款的年利率约是2.04%.
说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.
四、趣味问题
例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？
解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为（x+0.1）m，上口宽为（x+0.1+1.4）m.
则根据题意，得
（x+0.1+x+1.4+0.1）·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0.
解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1.
所以x+1.4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5.
答 渠道的上口宽2.5m，渠深1m.
说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.
五、古诗问题
例5 读诗词解题：
（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.
则根据题意，得x2＝10（x－3）+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6.
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.
答 周瑜去世的年龄为36岁.
说明 本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.
六、象棋比赛
例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.
解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与（n－1）个选手比赛一局，共计n（n－1）局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为
n（n－1）局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n（n－1）分.显然（n－1）与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n（n－1）＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）.
答 参加比赛的选手共有45人.
说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.
七、情景对话
例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人.
则根据题意，得[1000－20（x－25）]x＝27000.
整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30.
当x＝45时，1000－20（x－25）＝600＜700，故舍去x1；
当x2＝30时，1000－20（x－25）＝900＞700，符合题意.
答：
该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.
说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.
八、等积变形
例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）
（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?
若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.
解 都能.
（1）设小路宽为x，则18x+16x－x2＝
×18×15，即x2－34x+180＝0，
解这个方程，得x＝
，即x≈6.6.
（2）设扇形半径为r，则3.14r2＝
×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6.
说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.
九、动态几何问题
例9 如图4所示，在△ABC中，∠C＝90?
/SPAN>，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
解 因为∠C＝90?
/SPAN>，所以AB＝
＝
＝10（cm）.
（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝（6－x）cm，CQ＝2xcm.
则根据题意，得
·（6－x）·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意，得
（6－x）·2x＝
×
×6×8.整理，得x2－6x+12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻.
说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.
十、梯子问题
例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.
（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？
（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？
（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
解 依题意，梯子的顶端距墙角
＝8（m）.
（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.
则根据勾股定理，列方程72+（6+x）2＝102，整理，得x2+12x－15＝0，
解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去），
所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.
（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.
则根据勾股定理，列方程（8－x）2+（6+1）2＝100.整理，得x2－16x+13＝0.
解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.
所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.
（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.
则根据勾股定理，列方程 （8－x）2+（6+x）2＝102，整理，得2x2－4x＝0，
解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.
所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.
说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.
十一、航海问题
例11 如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？
（精确到0.1海里）
解
（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝
AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－（AB+BE）－CF＝（300－2x）海里.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+（300－2x）2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.
解这个方程，得x1＝200－
≈118.4，x2＝200+
（不合题意，舍去）.
所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.
说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.
十二、图表信息
例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n－1）×（n－1）个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.
请你认真观察思考后回答下列问题：
（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：
纸片的边长n
2
3
4
5
6
使用的纸片张数
（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.
①当n＝2时，求S1∶S2的值；
②是否存在使得S1＝S2的n值？
若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.
解
（1）依题意可依次填表为：
11、10、9、8、7.
（2）S1＝n2+（12－n）[n2－（n－1）2]＝－n2+25n－12.
①当n＝2时，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110.
所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.
②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝
×122，即n2－25n+84＝0，
解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）.
所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的.
说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.
十三、探索在在问题
例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
解
（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20－x）cm.
则根据题意，得
+
＝17，解得x1＝16，x2＝4，
当x＝16时，20－x＝4，当x＝4时，20－x＝16，
答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.
（2）不能.理由是：
不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20－y）cm.则由题意得
+
＝12，整理，得y2－20y+104＝0，移项并配方，得（y－10）2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.
说明 本题的第
（2）小问也可以运用求根公式中的b2－4ac来判定.若b2－4ac≥0，方程有两个实数根，若b2－4ac＜0，方程没有实数根，本题中的b2－4ac＝－16＜0即无解.
十四、平分几何图形的周长与面积问题
例14 如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E在下底边BC上，点F在腰AB上.
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？
若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？
若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.
解
（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.
过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.
则可得，FG＝
×4，
所以S△BEF＝
BE·FG＝－
x2+
x（7≤x≤10）.
（2）存在.由
（1）得－
x2+
x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题意，舍去），
所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.
（3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2，
即（BE+BF）∶（AF+AD+DC）＝1∶2.则有－
x2+
x＝
，
整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，
所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.
说明 求解本题时应注意：
一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得x2＝5时，并不属于7≤x≤10，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.
十五、利用图形探索规律
例15 在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：
图8
（1）观察图形，请填写下列表格：
正方形边长
1
3
5
7
…
n（奇数）
黑色小正方形个数
…
正方形边长
2
4
6
8
…
n（偶数）
黑色小正方形个数
…
（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2＝5P1？
若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.
解
（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n 时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.
（2）由
（1）可知n为偶数时P1＝2n，所以P2＝n2－2n.根据题意，得n2－2n＝5×2n，即n2－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0（不合题意，舍去）.所以存在偶数n＝12，使得P2＝5P1.
说明 本题的第
（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.
综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：
找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.
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