《高等数学一》教学大纲.docx
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《高等数学一》教学大纲
《高等数学
（一）》教学大纲
课程编号：
53011-2#课程性质：
专业必修
课程名称：
高等数学
（一）学时学分：
152/9.5
英文名称：
Advancedmathematics
（一）考核方式：
闭卷考试
选用教材：
高等数学（上）、第三版，吴建成、高岩波编，高等教育出版社；高等数学（下）、第三版，高岩波、吴建成、李洵编，高等教育出版社.
大纲执笔人：
赵志新
先修课程：
高中课程大纲审核人：
陈岚萍
适用专业：
自动化批准人：
孙霓刚
执行时间：
2016年9月1日
一、课程目标
1、本课程在理工科各专业的教学计划中是一门十分重要的基础理论课程，为学习后继课程和进一步获取数学知识（如概率论与数理统计等）奠定必要的数学基础，也是硕士研究生入学考试的必考课程之一。
通过本课程的学习，一方面使学生掌握函数与极限、一元微分学、一元积分学、多元微分学、多元积分学、无穷级数、微分方程等基础知识，能熟练的运用其分析、解决一些实际问题；另一方面通过各个教学环节，培养学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力。
二、课程目标、教学方法与毕业要求的对应关系
毕业要求
毕业要求指标点
课程目标
教学方法
1工程知识：
能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂工程问题。
1.1能将数学、自然科学、工程基础和专业知识运用到复杂计算机工程问题的恰当表述中。
课程目标1
多媒体讲授，阐述基本原理。
三、教学基本内容
（一）函数与极限（支撑课程目标1）
内容：
映射与函数；数列的极限；函数的极限；无穷小与无穷大；极限运算法则；极限存在准则；两个重要极限；无穷小的比较；函数的连续性与间断点；连续函数的运算与初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。
要求：
理解函数的概念；了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数的概念；了解反函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；会建立简单实际问题中的函数关系式；理解极限的概念（对极限的定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出
求
或
不作要求）；掌握极限四则运算法则；了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限；了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念；会用等价无穷小求极限；理解函数在一点连续的概念；了解间断点的概念，并会判别间断点的类型；了解初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。
重点：
基本初等函数的性质及其图形；极限的概念（对极限的定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出
求
或
不作要求）；极限四则运算法则；两个重要极限求极限；无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念；利用等价无穷小求极限；函数在一点连续的概念；间断点的概念，并判别间断点的类型；了解初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。
难点：
建立简单实际问题中的函数关系式；极限的概念（对极限的定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出
求
或
不作要求）；两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）；两个重要极限求极限；利用等价无穷小求极限；间断点的概念，并判别间断点的类型；了解初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。
知识目标：
理解函数的概念；了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性；理解复合函数的概念；了解反函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形；理解极限的概念（对极限的定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出
求
或
不作要求）；掌握极限四则运算法则；了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）；了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念；理解函数在一点连续的概念；了解间断点的概念；了解初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。
能力目标：
能够建立简单实际问题中的函数关系式；掌握极限的性质；会用两个重要极限求极限；会用等价无穷小求极限；能够判别间断点的类型。
（二）导数与微分（支撑课程目标1）
内容：
导数概念；函数的求导法则；高阶导数；隐函数及由参数方程所确定的函数的导数；函数的微分。
要求：
理解导数和微分的概念；理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；会用导数描述一些物理量；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法；掌握基本初等函数的导数公式；了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性；了解高阶导数的概念；掌握初等函数一阶、二阶导数的求法；会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数；会求反函数的导数。
重点：
导数和微分的概念；导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；导数的四则运算法则和复合函数的求导法；基本初等函数的导数公式；初等函数一阶、二阶导数的求法；求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。
难点：
导数和微分的概念；导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；用导数描述一些物理量；复合函数的求导法；基本初等函数的导数公式；微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性；高阶导数的概念；反函数的导数。
知识目标：
理解导数和微分的概念；理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法；掌握基本初等函数的导数公式；了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性；了解高阶导数的概念；掌握初等函数一阶、二阶导数的求法；会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数；会求反函数的导数。
能力目标：
会用导数描述一些物理量；会求初等函数的导数；会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数；会求反函数的导数。
（三）中值定理与导数的应用（支撑课程目标1）
内容：
微分中值定理；洛必达法则；泰勒公式；函数的单调性与曲线的凹凸性；函数的极值与最大值最小值；函数图形的描绘。
要求：
理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理；了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理；掌握洛必达法则；理解函数的极值概念；掌握用导数判断函数的单调性和求极值方法；会用导数判断函数图形的凹凸性；会求拐点；会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）；会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
重点：
罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理；函数的极值概念；用导数判断函数的单调性和求极值方法；用导数判断函数图形的凹凸性；求拐点；求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
难点：
罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理；柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理；求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
知识目标：
理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理；了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理；掌握洛必达法则；理解函数的极值概念；掌握用导数判断函数的单调性和求极值方法。
能力目标：
能够运用洛必达法则进行极限的计算；会用导数判断函数图形的凹凸性；会求拐点；会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）；会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
（四）不定积分（支撑课程目标1）
内容：
不定积分的概念与性质；换元积分法；分部积分法。
要求：
理解不定积分的概念与性质；掌握不定积分的换元法与分部积分法。
重点：
不定积分的概念与性质；不定积分的换元法与分部积分法。
难点：
不定积分的换元法与分部积分法。
知识目标：
理解不定积分的概念与性质；掌握不定积分的换元法与分部积分法。
能力目标：
能够利用不定积分的概念与性质，换元法与分部积分法进行不定积分的计算。
（五）定积分（支撑课程目标1）
内容：
定积分的概念与性质；微积分基本公式；定积分的换元法和分部积分法；反常积分。
要求：
理解定积分的概念与性质；掌握定积分的换元法与分部积分法；理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理；掌握牛顿（Newton）—莱布尼兹（Leibniz）公式；*了解广义积分的概念。
重点：
定积分的概念与性质；定积分的换元法与分部积分法；牛顿（Newton）—莱布尼兹（Leibniz）公式。
难点：
定积分的换元法与分部积分法。
知识目标：
理解定积分的概念与性质；掌握定积分的换元法与分部积分法；理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理；掌握牛顿（Newton）—莱布尼兹（Leibniz）公式。
能力目标：
会用定积分的概念与性质，换元法与分部积分法进行定积分的计算。
（六）定积分的应用（支撑课程目标1）
内容：
定积分的元素法；定积分在几何学上的应用。
要求：
理解定积分的元素法；理解平面图形的面积公式；旋转体体积公式。
重点：
平面图形的面积公式；旋转体体积公式。
难点：
平面图形的面积公式；旋转体体积公式。
知识目标：
理解定积分的元素法；理解平面图形的面积公式；旋转体体积公式。
能力目标：
会用定积分的元素法；能够计算平面图形的面积；旋转体的体积。
（七）常微分方程（支撑课程目标1）
内容：
微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；高阶线性微分方程及其解的结构；二阶常系数齐次线性微分方程；二阶常系数非齐次线性微分方程。
要求：
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念；掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；会解齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程；理解二阶线性微分方程解的结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法；会求自由项形如
的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解；会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。
重点：
微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念；一阶线性方程的解法；求自由项形如
的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
难点：
一阶线性方程的解法；二阶线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性微分方程的解法；求自由项形如
的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解；用微分方程解一些简单的几何和物理问题。
知识目标：
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念；掌握可分离变量的方程及一阶线性方程的解法；会解齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程；理解二阶线性微分方程解的结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法；会求自由项形如
的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
能力目标：
能够判断微分方程的通解和特解等概念；会求解可分离变量的方程；会求解齐次方程；会求解一阶线性微分方程；会求解部分简单的可降阶的高阶微分方程；会用微分方程解；能够分析高阶线性微分方程及其解的结构；会求解二阶常系数齐次、非齐次线性微分方程；一些简单的几何和物理问题。
（八）空间解析几何与向量代数（支撑课程目标1）
内容：
空间直角坐标系；向量及其运算；平面方程；空间直线的方程；几种常见的曲面；空间曲线的参数方程；投影柱面。
要求：
理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法）；了解两个向量垂直、平行的条件；掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；掌握平面的方程和直线的方程及其求法；会利用平面、直线的相互关系解决有关问题；理解曲面方程的概念；了解常用二次曲面的方程及其图形；了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解曲面的交线在坐标平面上的投影。
重点：
向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法）；两个向量垂直、平行的条件；平面的方程和直线的方程及其求法；利用平面、直线的相互关系解决有关问题；曲面方程的概念；常用二次曲面的方程及其图形；以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；空间曲线的参数方程和一般方程。
难点：
向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法）；两个向量垂直、平行的条件；单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算；平面的方程和直线的方程及其求法；利用平面、直线的相互关系解决有关问题。
知识目标：
理解空间直角坐标系；掌握向量的运算；掌握平面方程的求法；平面与平面间的位置关系；掌握直线方程的求法；平面与直线，直线与直线间的位置关系；了解曲面方程及常见二次曲面的方程及图形；了解曲线方程。
能力目标：
会用坐标表达式进行向量的运算；会求平面方程；会利用平面、直线的相互关系解决有关问题；会判断二次曲面的图形；会求投影曲线的方程。
（九）多元函数微分法与应用（支撑课程目标1）
内容：
多元函数的基本概念；偏导数；全微分；多元复合函数的求导法则；隐函数的求导公式；多元微分学在几何上的应用；多元函数的极值与最值。
要求：
理解多元函数概念；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念；了解全微分存在的必要条件和充分条件；掌握复合函数一阶偏导数求法；会求复合函数的二阶偏导数；会求隐函数的偏导数；了解曲线的切线和法平面的曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程；理解多元函数极值和条件极值的概念；会求二元函数的极值；会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
重点：
偏导数；全微分；多元复合函数的求导法则；隐函数的求导公式；多元微分学在几何上的应用；多元函数的极值与最值。
难点：
多元复合函数的求导法则；多元微分学在几何上的应用；多元函数的极值与最值。
知识目标：
理解多元函数的概念；极限的概念；理解偏导数的概念；理解全微分的概念；掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法；掌握隐函数的求导公式；掌握多元函数微分学在几何上的应用；掌握多元函数的极值与最值。
能力目标：
会求多元函数的极限；会求偏导数；会求全微分；能够计算多元复合函数一阶、二阶偏导数；能计算隐函数的导数；会计算切线、法平面、切平面和法线方程；能够计算掌握多元函数的极值与最值。
（十）重积分（支撑课程目标1）
内容：
二重积分的概念与性质；二重积分的计算法；二重积分的应用；三重积分。
要求：
理解二重积分的概念，了解重积分的性质；掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；理解三重积分的概念；了解重积分的性质；会求三重积分。
重点：
二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；三重积分的计算。
难点：
二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；三重积分的计算。
知识目标：
理解二重积分的概念；了解二重积分的性质；掌握二重积分的计算；了解曲面的面积；理解三重积分的概念；了解三重积分的性质；掌握三重积分的计算。
能力目标：
会使用二重积分的性质；能够计算二重积分；会求曲面面积；会使用三重积分的性质；能够计算三重积分。
（十一）曲线积分与曲面积分（支撑课程目标1）
内容：
对弧长的曲线积分；对坐标的曲线积分；格林公式及其应用；对面积的曲面积分；对坐标的曲面积分；高斯公式。
要求：
理解两类曲线积分的概念；了解两类曲线积分的性质及关系；会计算两类曲线积分；掌握格林（Green）公式；会使用平面曲线积分与路径无关的条件；了解两类曲面积分的概念、性质和计算；会用高斯公式。
重点：
两类曲线积分的概念；两类曲线积分的性质及关系；两类曲线积分的计算；格林（Green）公式；平面曲线积分与路径无关的条件；两类曲面积分的概念、性质和计算；高斯公式。
难点：
两类曲线积分的计算；格林（Green）公式；平面曲线积分与路径无关的条件；两类曲面积分的计算；高斯公式。
知识目标：
理解对弧长的曲线积分的概念；掌握对弧长的曲线积分的性质；理解对坐标的曲线积分的概念；掌握对弧长的曲线积分的性质；掌握格林公式；理解面积的曲面积分分的概念；掌握面积的曲面积分的性质；理解对坐标的曲面积分的概念；掌握对坐标的曲面积分的性质；掌握高斯公式。
能力目标：
能够用对弧长的曲线积分的性质进行计算；能够用对坐标的曲线积分的性质进行计算；会运用平面曲线积分与路径无关的条件；能够用面积的曲面积分性质进行计算；能够用对坐标的曲面积分的性质进行计算；能够运用高斯公式计算曲面积分。
（十二）无穷级数（支撑课程目标1）
内容：
常数项级数的基本概念和性质；常数项级数敛散性的判别法；幂级数；函数展开成幂级数。
要求：
理解无穷级数收敛、发散以及和概念；了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件；
掌握几何级数和P—级数的收敛性；了解正项级数的比较审敛法；掌握正项级数的比值审敛法；了解交错级数的莱布尼兹定理；了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；会利用
的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
重点：
常数项级数敛散性的判别法；幂级数敛散性的判别法；函数展开成幂级数。
难点：
常数项级数敛散性的判别法；幂级数；函数展开成幂级数。
知识目标：
理解无穷级数收敛、发散以及和概念；了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数和P—级数的收敛性；掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法；
会用根值判别法；掌握绝对收敛；掌握交错级数的莱布尼兹判别法；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；会利用部分函数的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
能力目标：
能够运用常数级数的基本概念和性质来判别常见级数的敛散性；会用比较判别法，根值判别法和比值判别法判别正项级数的收敛性的；能够用莱布尼兹判别法判别交错级数的敛散性；会求比较简单的幂级数收敛区间；会利用部分函数的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
四、教学进度与学时分配
教学内容
讲课
实验
上机
合计
（一）函数与极限
14
0
0
14
（二）导数与微分
10
0
0
10
（三）中值定理与导数的应用
14
0
0
14
（四）不定积分
8
0
0
8
（五）定积分
10
0
0
10
（六）定积分的应用
6
0
0
6
（七）常微分方程
14
0
0
14
（八）空间解析几何与向量代数
14
0
0
14
（九）多元函数微分法与应用
18
0
0
18
（十）重积分
10
0
0
10
（十一）曲线积分与曲面积分
16
0
0
16
（十二）无穷级数
14
0
0
14
机动课时
4
0
0
4
合计
152
0
0
152
五、考核及成绩评定方式
平时成绩（共计40分）
评价环节
评估毕业要求（见培养方案）
作业
1.1
期末考试（共计60分）
卷面分数
1.1
六、参考书目
[1]龚冬保，武忠祥，毛怀遂等，21世纪大学课程辅导丛书《高等数学典型题解法·技巧·注释》，西安交通大学出版社，2000.
[2]（美）菲茨帕特里克，《高等微积分》，北京机械工业出版社，2003.
[3]（加）史迪沃特，《微积分》（上、下册），北京高等教育出版社，2004.
[4]上海交通大学，集美大学，21世纪高等院校教材《高等数学——及其教学软件》（上、下册），北京科技出版社，2005.
[5]马新生，陈涛，陈钰菊等，21世纪高等院校教材《高等数学实验》，北京科技出版社，2005.
[6]韩松，高等学校数学教材配套辅导书《高等数学习题集》（修订本），北京科学技术文献出版社，1999.
[7]王丽燕，《高等数学大讲堂·同步版》，大连理工大学出版社，2004.9。
[8]叶盛标，《考研数学秘诀》，北京新华出版社，2005.
[9]张圣勤，《高等数学学习指导：
理工类（上、下册）》，复旦大学出版社，2009.
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