集合.docx

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集合

第一章集合

第一课时集合的含义

1．元素与集合的概念

（1）元素：

一般地，我们把研究对象统称为元素．

（2）集合：

把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）．

2．集合中元素的特性

集合中元素具有三个特性：

确定性、互异性、无序性

3．集合的相等

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的．

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合．（　错　）

（2）分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．（对　）

（3）由－1,1,1组成的集合中有3个元素．（　错　）

下列所给的对象能构成集合的是___1/3/4_____．

①所有的正三角形；

②比较接近1的数的全体；

③某校高一年级所有16岁以下的学生；

④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；

⑤所有参加2018年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员

⑥

的近似值的全体．

1．元素与集合的表示

（1）元素的表示：

通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．

（2）集合的表示：

通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．

2．元素与集合的关系

（1）属于：

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.

（2）不属于：

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.

3．常用数集及符号表示

数集

非负整数集（或自然数集）

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*或N＋

Z

Q

R

用“∈”或“∉”填空：

____N；－3____Z；

____Q；0____N*；

____R

给出下列6个关系：

①

∈R，②

∈Q，③0∉N，④

∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.

其中正确命题的个数为（　　）

A．4　　　B．3　　　

C．2　　　D．1

若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点（0,0）________A，（1,1）______A，（－1,1）______A.

若a和a2都是集合A中的元素，则实数a的取值范围是什么？

已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（　　）

A．2B．3

C．0或3D．0,2,3均可

a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（　　）

A．矩形B．平行四边形

C．菱形D．梯形

已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值

集合的表示方法

列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

大于4并且小于10的奇数组成的集合用列举法可表示为________【答案】　{5,7,9}

1．定义：

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．

2．具体方法：

在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

（1）集合0∈{x|x>1}．（错）

（2）集合{x|x<5，x∈N}中有5个元素．（　对　）

（3）集合{（1,2）}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合．（　错　）

（1）36与60的公约数组成的集合；

（2）方程（x－4）2（x－2）＝0的根组成的集合；

（3）一次函数y＝x－1与y＝－

x＋

的图象的交点组成的集合

1．用列举法书写集合时，应先明确集合中的元素是什么．如本题（3）是点集{（x，y）}，而非数集{x，y}．集合的所有元素用“{　}”括起来，元素间用分隔号“，”．

2．元素不重复，元素无顺序，所以本题

（2）中，{4,4,2}为错误表示．

3．对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号

1．用列举法表示下列集合：

（1）不大于10的非负偶数组成的集合；

（2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；

（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；

（4）由所有正整数构成的集合

（1）比1大又比10小的实数的集合；

（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．

（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合；

【自主解答】　

（1）{x∈R|1

（2）集合的代表元素是点，用描述法可表示为{（x，y）|x<0，且y>0}．

（3）{x|x＝3n＋1，n∈N}．

利用描述法表示集合应注意以下两点：

1．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素．

2．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围，如本例（3）．

用另一种方法表示下列集合：

（1）{能被3整除且小于10的正数}；

（2）{（x，y）|x＋y＝6，x∈N*，y∈N*}；

（3）{－3，－1,1,3,5}；

（4）{自然数中六个最小数的平方}；

（5）{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．

（1）{3,6,9}．

（2）{（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）}．

（3）{x|x＝2k＋1，－2≤k≤2，k∈Z}．

（4）{0,1,4,9,16,25}．

（5）∵y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，∴x＝0,1,2，y＝6,5,2.∴集合为{2,5,6}．

集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k

（1）当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题

（2）当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．

综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}

已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

1．用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为（　　）　　　　　　　　　　　　　

A．{3,4}B．A＝{2,3,4,5}

C．{2

【解析】　大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}．

【答案】　A

2．如果A＝{x|x>－1}，那么（　　）

A．－2∈AB．{0}∈A

C．－3∈AD．0∈A

【解析】　A．∵－2<－1，∴A错误．B.{0}为集合，不是元素，∴B错误．C.∵－3<－1，∴C错误．D.∵0>－1，∴0∈A成立．故选D.

【答案】　D

3．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示B＝________.

【解析】　由题意知，A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，∴B＝{4,9,16}．

【答案】　{4,9,16}

4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________.

【解析】　∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，

∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．

【答案】　{－1,4}

5．用适当的方法表示下列集合：

（1）方程组

的解集；

（2）所有的正方形；

（3）抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．

【解】　

（1）解方程组

得

故解集为{（4，－2）}．

（2）集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．

（3）集合用描述法表示为{（x，y）|y＝x2}．

.

集合第二课时

1.集合的基本关系

2.1．子集与真子集

概念

定义

符号表示

图形表示

真子集

如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集．

AB（或BA）

3.2.Venn图

4.用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．

5.3．集合的相等

（1）条件：

A⊆B且B⊆A；

（2）表示：

A＝B；

（3）Venn图：

.

（1）0⊆{x|x<5，x∈N}．（　错　）

（3）若集合A中有3个元素，则集合A共有7个真子集．（　对　）

空集

1．定义：

不含任何元素的集合，叫做空集．

2．符号表示为：

∅.

3．规定：

空集是任何集合的子集．

6.下列四个集合中，是空集的为（　B　）

7.A．{0}

B．{x|x>8，且x<5}

C．{x∈N|x2－1＝0}

D．{x|x>4}

8.子集的性质：

（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；

（2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.

下列命题中正确的有________．（写出全部正确的序号）

①{2,4,6}⊆{2,3,4,5,6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x|x2＝0}⊆{0}；④{（0,1）}⊆{0,1}；⑤{1}∈{0,1,2}；⑥{x|x>1}{x|x≥2}

1．判断集合间关系的方法

（1）定义法．判断一个集合A中的元素是否全部属于另一个集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集．

（2）数形结合法．利用数轴或Venn图判断．

2．写有限集合的子集时，要注意两个特殊的子集∅和自身，按照元素个数分类写出，避免重复或遗漏．

集合

＝{0，a2，a＋b}，则a2016＋b2015的值为（　B　）

A．0B．1

C．－1D．±1

设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A＝B，则a＋b＝______4_______.

　若A＝{x|x>1}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则实数a满足什么条件？

若B⊆A呢？

【提示】　如图

（1），若A⊆B，则a≤1；如图

（2），若B⊆A，则a>1.

探究2　设集合A＝{x|ax＋1＝0}，B＝{x|ax2＋x＋1＝0}，C＝{x|a＋1

若可能是空集，实数a的值或范围分别是什么？

【提示】　集合A，B，C可能是空集．当a＝0时，集合A是空集，当a>

时，集合B是空集，当a≤1时，集合C是空集．

　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1

（1）当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.

（2）当B≠∅时，有

解得－1≤m<2，综上得m≥－1.

1．利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合（含参数），另一个为静集合（具体的），解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．

2．空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B（B≠∅）的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．

已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，那么a的取值是___　0或±1

2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是（　B　）

4．设集合A＝{x|1

A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}

C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}

并集、交集

1．并集的定义

自然语言

符号语言

图形语言

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记作A∪B

A∪B＝

{x|x∈A，或x∈B}

2.并集的性质

A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B.

（1）两个集合的并集中元素的个数一定多于这两个集合中元素个数之和．（　错　）

（2）{1,2,3,4}∪{0,2,3}＝{1,2,3,4,0,2,3}．（　错　）

（3）若A∪B＝A，则A⊆B.（　错　）

1．交集的定义

自然语言

符号语言

图形语言

对于两个给定的集合A，B，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

2.交集的性质

A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B⊆A.

1．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则（A∩B）∪C＝（　D　）　　　　　　　　　　　　　

A．{1,2,3}B．{1,2,4}

C．{2,3,4}D．{1,2,3,4}

已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{x|－2≤x≤5}，则A∩B＝（　B　）

A．{x|－3≤x≤5}B．{x|－2≤x＜4}

C．{x|－2≤x≤5}D．{x|－3≤x＜4}

1．若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．

2．若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍．

若A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，则A∩B＝________.

设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2（a－1）x＋（a2－5）＝0}．

（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；

（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

（1）由题可知：

A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．∵A∩B＝{2}，∴2∈B，

将2带入集合B中，得4＋4（a－1）＋（a2－5）＝0，解得a＝－5或a＝1.

当a＝－5时，集合B＝{2,10}，符合题意；

当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意．

综上所述：

a＝－5，或a＝1.

（2）若A∪B＝A，则B⊆A，∵A＝{1,2}，∴B＝∅或B＝{1}或{2}或{1,2}．

若B＝∅，则Δ＝4（a－1）2－4（a2－5）＝24－8a＜0，解得a＞3，

若B＝{1}，则

即

不成立

若B＝{2}，则

即

不成立，

若B＝{1,2}，则

即

不成立综上a＞3.

2．集合运算常用的性质

（1）A∪B＝B⇔A⊆B；

（2）A∩B＝A⇔A⊆B；

（3）A∩B＝A∪B⇔A＝B.

．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值集合.

【解】　A＝{1,2}．∵A∪B＝A，

∴B⊆A，故分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．

（1）B＝∅时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，

则Δ＝16－4a<0，解得a>4.

（2）B≠∅时，当Δ＝0时，a＝4，B＝{2}⊆A满足条件；

当Δ>0时，若1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，

由根与系数的关系知矛盾，无解，所以a＝4.

所以a的取值集合为{a|a≥4}．

1．设集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则A∩B＝（　A　）　　　　　　　　　　　　　

A．{2,3}B．{0,1}

C．{0,1,4}D．{0,1,2,3,4}

2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，则A∪B＝（　B　）

A．{x|2

C．{x|－1

3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A．a<2　　　　　　B．a>－2

C．a>－1D．－1

4．设集合A＝{（x，y）|y＝ax＋1}，B＝{（x，y）|y＝x＋b}，且A∩B＝{（2,5）}，则（　B　）

A．a＝3，b＝2B．a＝2，b＝3

C．a＝－3，b＝－2D．a＝－2，b＝－3

5．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3，或x≥7}，求：

（1）A∪B；

（2）C∩B.

补集及综合运用

1．全集

（1）定义：

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．

（2）记法：

全集通常记作U.

2．补集

文字语言

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA

符号语言

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

图形语言

3.补集的性质

∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U（∁UA）＝A.

（1）只有实数R才可以做为全集U.（　　）

（2）一个集合的补集一定含有元素．（　　）

（3）集合∁ZN与集合∁ZN*相等．（　　）

（2）已知全集U＝{x|x>0}，∁UA＝{x|1

（1）已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩（∁UA）＝{2}，A∩（∁UB）＝{4}，U＝R，求实数a，b的值；

（2）已知集合A＝{x|2a－2

（2）求出∁RB，根据A∁RB，列出不等式组，可求a的取值范围．

（1）∵B∩（∁UA）＝{2}，∴2∈B，但2∉A.∵A∩（∁UB）＝{4}，∴4∈A，但4∉B.

∴

解得

∴a，b的值分别为

，－

.

（2）∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}≠∅.

∵A∁RB，∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．

①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2.

②若A≠∅，则有

或

∴a≤1.

综上所述，a≤1，或a≥2.

已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁UB，求实数a的取值范围．

　若B＝∅，则a＋1>2a－1，则a<2，

此时∁UB＝R，∴A⊆∁UB；

若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，

此时∁UB＝{x|x2a－1}．

由于A⊆∁UB，如图，

则a＋1>5，∴a>4.

∴实数a的取值范围为{a|a<2，或a>4}．