用牛顿法求解非线性方程.docx

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用牛顿法求解非线性方程

实验七非线性方程求根

一、实验目标

1.掌握常用的非线性方程求根算法（二分法、不动点迭代法与Newton法）及加速技术（Aitken加速与Steffsen加速）.

2.会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.

二、实验问题

求代数方程

的实根.

三、实验要求

1．方程有一个实根：

.将方程以下面六种不同方式等价地改写，构造迭代格式，计算

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

2.对每一种迭代格式，编制一个程序进行运算，观察每种格式的敛散情况；用事后误差估计

来控制迭代次数，并且输出迭代的次数；观察不同初值的结果.

3.从理论上分析各种格式的收敛性及收敛阶.

4.将收敛较慢的一种格式分别用Atken方法及Steffsen方法加速，通过输出结果了解加速效果.

5.将一种不收敛的方法用Steffsen方法加速得到收敛的迭代.

附录一：

《数值分析》实验报告（模板）

【实验课题】用牛顿迭代法求非线性方程根

【实验目标】

明确实验目标

1.掌握常用的非线性方程求根算法（二分法、不动点迭代法与Newton法）及加速技术（Aitken加速与Steffsen加速）.

2.会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.

3探索不同方式改写方程的收敛程度

【理论概述与算法描述】

1.牛顿法

设已知方程f（x）=0有近似根xk,将函数f（x）在点xk展开，有

f（x）=f（xk）+f’（xk）（x-xk）,

于是方程可表示为

f（xk）+f’（xk）（x-xk）=0,

这是个线性方程，记其根为x（k+1）,

则x（k+1）=xk-f（xk）/f’（xk）,这就是牛顿迭代法求根.

2.埃特金加速收敛方法

设

是根

的某个近似值，用迭代一次得

，

而由微分中值定理，有

其中

介于

和

之间。

假设

改变不大，近似地取某个近似值L，则有

若将校正值

再迭代一次，又得

由于

将它与前面的式子联立，消去未知的L，有

由此推知

，

记

称为埃特金加速方法。

3.斯特芬森迭代法

将埃特金加速技巧与不动点迭代结合，则可得到如下的迭代法

即为斯特芬森迭代法

【实验问题】

1.求代数方程

的实根.

2．方程有一个实根：

.将方程以下面六种不同方式等价地改写，构造迭代格式，计算

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

3.对每一种迭代格式，编制一个程序进行运算，观察每种格式的敛散情况；用事后误差估计

来控制迭代次数，并且输出迭代的次数；观察不同初值的结果.

4.从理论上分析各种格式的收敛性及收敛阶.

5.将收敛较慢的一种格式分别用Atken方法及Steffsen方法加速，通过输出结果了解加速效果.

6.将一种不收敛的方法用Steffsen方法加速得到收敛的迭代.

【实验过程与结果】

1.用matlab编程计算代数方程的根

2.分别编写6个迭代法编程，对结果进行分析

【结果分析、讨论与结论】

迭代公式1：

x1=

2.0000

1.5000

2.0000

1.5000

2.0000

1.5000

2.0000

1.5000

2.0000

1.5000

2.0000

1.5000

2.0000

1.5000

2.0000

1.5000

2.0000

1.5000

2.0000

1.5000

迭代公式2：

x2=

1.0e+142*

0.0000

-0.0000

-1.4947

-Inf

迭代公式3：

x3=

2.0000

3.3166

3.8665

4.0743

4.1500

4.1773

4.1871

4.1906

4.1919

4.1923

4.1925

4.1926

迭代公式4：

x4=

2.0000

5.0000

0.2273

-1.6959

-40.3095

0.0031

-1.6667

-22.5018

0.0099

-1.6667

-22.5185

0.0099

-1.6667

-22.5185

0.0099

-1.6667

-22.5185

0.0099

-1.6667

-22.5185

迭代公式5：

x5=

2.0000

2.3452

2.2654

2.2819

2.2784

2.2791

2.2790

迭代公式6：

x6=

2.0000

2.3333

2.2806

2.2790

从上述的运算结果可以看出，迭代公式1、2、4不收敛，3虽然收敛，但与其他迭代法的结果差异太大，对5和6分别用埃特金加速和斯特芬森迭代得到结果如下：

对于5埃特金加速结果：

2.0000

2.2804

2.2791

2.2790

斯特芬森迭代结果：

2.0000

2.1547

2.2792

2.2790

对于6埃特金加速结果：

2.0000

2.2878

2.2790

斯特芬森迭代结果：

2.0000

2.1544

2.2838

2.2790

　　　从以上结果可以看出，埃特金加速方法和斯特芬森迭代法确实可以加快收敛速度，且在此题的情况下，两种方法的加速效果差不多，但埃特金加速方法较斯特芬森迭代法来说更为简单易理解，运算步骤也少一些，因此对于此题，我们可以选用埃特金加速方法。

【附程序】

function[k,x,da,g]=newton（x0,tol）

k=1;

g1=fun1（x0）;

g2=fun2（x0）;

x1=x0-g1/g2;

whileabs（x1-x0）>tol

x0=x1;

g1=fun1（x0）;

g2=fun2（x0）;

k=k+1;

x1=x0-g1/g2;

end

x=x1;

da=abs（x1-x0）/2;

g=fun1（x）;

end

functiong1=fun1（x）

g1=x^3-3*x-5;

end

functiong2=fun2（x）

g2=3*x^2-3;

end

functiong1=fun1（x）

g1=x^3-3*x-5;

end

functionx=Aitken（A）;

n=length（A）;

x=zeros（n,1）;

t=0;

（1）=A

（1）;

fori=1:

n-2

x（i+1）=A（i）-（（A（i+1）-A（i））^2）/（A（i）-2*A（i+1）+A（i+2））;

end

functionx=Steffsen（A,B）

n=length（B）;

x=zeros（n,1）;

（1）=B

（1）;

fori=2:

x（i）=A（i）-（（B（i-1）-A（i））^2）/（B（i）-2*B（i-1）+A（i））;

end

④

%构造迭代算法x=（3*x+5）/（x^2）

functionx=diedai1（x0,tol,N）

%x0是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数

x=zeros（N,1）;

（1）=x0;

k=1;

t=0;

whilek<=N

fori=2:

x（i）=（3*x（i-1））/（x（i-1）^2）;

end

k=k+1;

t=x（i）-x（i-1）;

ifabs（t）<=tolbreak;

end

⑤

%构造迭代算法x=（x^3-5）/3

functionx=diedai2（x0,tol,N）

%x0是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数

x=zeros（N,1）;

（1）=x0;

k=1;

t=0;

whilek<=N

fori=2:

x（i）=（x（i-1）^3-5）/3;

end

k=k+1;

t=x（i）-x（i-1）;

ifabs（t）<=tolbreak;

end

⑥

%构造迭代算法x=（3*x+5）^（1/3）

functionx=diedai3（x0,tol,N）

%x0是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数

x=zeros（N,1）;

（1）=x0;

k=1;

t=0;

whilek<=N

fori=2:

x（i）=（3*x（i-1）+5）^（1/2）;

end

k=k+1;

t=x（i）-x（i-1）;

ifabs（t）<=tolbreak;

end

⑦

%构造迭代算法x=5/（x^2-3）

functionx=diedai4（x0,tol,N）

%x0是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数

x=zeros（N,1）;

（1）=x0;

k=1;

t=0;

whilek<=N

fori=2:

x（i）=5/（x（i-1）^2-3）;

end

k=k+1;

t=x（i）-x（i-1）;

ifabs（t）<=tolbreak;

end

⑧

%构造迭代算法x=sqrt（3+5/x）

functionx=diedai5（x0,tol,N）

%x0是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数

x=zeros（N,1）;

（1）=x0;

k=1;

t=0;

whilek<=N

fori=2:

x（i）=sqrt（3+5/x（i-1））;

end

k=k+1;

t=x（i）-x（i-1）;

ifabs（t）<=tolbreak;

end

⑨

%构造迭代算法x=x-（x^3-3*x-5）/（3*（x^2-1））

functionx=diedai6（x0,tol,N）

%x0是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数

x=zeros（N,1）;

（1）=x0;

k=1;

t=0;

whilek<=N

fori=2:

x（i）=x（i-1）-（x（i-1）^3-3*x（i-1）-5）/（3*（x（i-1）^2-1））;

end

k=k+1;

t=x（i）-x（i-1）;

ifabs（t）<=tolbreak;

end

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