普通高等学校招生全国统一考试理科数学和答案docx.docx
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普通高等学校招生全国统一考试理科数学和答案docx
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
（2）
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整，笔迹清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在
草稿纸、试卷上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.3
i
（
）
1
i
A．12i
B
．12i
C
．2i
D
．2i
2.设集合
1,2,4
，
xx2
4xm
0．若
I
1，则
（
）
A．1,
3
B
．1,0
C
．1,3
D
．1,5
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
”
意思是：
一座7层塔共挂了
381盏灯，且相邻两层中的
下一层灯数是上一层灯数的
2倍，则塔的顶层共有灯（
）
A．1盏
B
．3盏
C
．5盏
D
．9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几
何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）
A．90B．63C．42D．36
2x
3y
3
0
5.设x，y满足约束条件
2x
3y
3
0，则z
2x
y的最小值是（
）
y
30
A．15
B
．9
C
．1
D
．9
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排
方式共有（）
A．12种
B
．18种
C
．24种
D
．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：
你们四人中有
2
位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学
科&网给丁看甲的成
绩．看后甲对大家说：
我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（
）
A．乙可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的
A．2B．3
B
D
a1，则输出的
C．4
．丁可以知道四人的成绩
．乙、丁可以知道自己的成绩
S（）
D．5
9.若双曲线C:
x
2
y
2
1（a
0，b0
2
2
）的一条渐近线被圆
所截得的
x
2y
4
a2
b2
弦长为
2，则C的离心率为（
）
A．2
B
．3
C
．2
D
．23
3
10.已知直三棱柱
C
11C1中，
C120o，
2，
C
CC1
1
，则异面直
线
1与C1所成角的余弦值为（
）
A．3
B
．15
C
．10
D
．3
2
5
5
3
11.若x
2是函数
f（x）
（x2
ax
1）ex
1`的极值点，则
f（x）的极小值为（
）
A.
1
B.
2e3
C.
5e3
D.1
12.已知
uuur
uuur
uuur
ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC一点，则PA（PB
PC）的最小值
是（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
1
2
3
二、填空题：
本题共
4小题，每小题
5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，
表示抽到的二等品件数，则
D
．
14.函数fxsin2x
3cosx
3
（x
0,）的最大值是
．
4
2
15.
等差数列an的前n项和为Sn，a3
3，S4
n
1
10，则
．
k
1Sk
16.
已知F是抛物线C:
y2
8x的焦点，
是C上一点，F
的延长线交y轴于点．若
为F的中点，则F
．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）
17~21题为必做题，
B
ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin（AC）8sin2．
（1）求cosB
（2）若ac6,ABC面积为2,求b.
18.（12
分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了
100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：
kg）某频率直方图如下：
（1）
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：
旧养殖法的箱产量低于50kg,
新
养殖法的箱产量不低于
50kg,估计A的概率；
（2）
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有
99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）
根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值
（精确到0.01）
P（
）
0.050
0.
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2
n（ad
bc）2
（a
b）（c
d）（a
c）（b
d）
19.（12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，
AB
BC
1
AD,
BAD
ABC
90o,
E是PD的中点
.
2
（1）证明：
直线CE//平面PAB
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o，求二面角M-AB-D的余弦
值
20.（12分）
设O为坐标原点，动点
M在椭圆C：
x2
y2
1上，过M做x轴的垂线，垂足为
N，点P满
2
uuur
uuuur
足NP
2NM.
（1）求点P的轨迹方程；
uuuruuur
（2）设点Q在直线x=-3上，且OPPQ1.证明：
过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦
点F.
20.（12分）
已知函数f（x）
ax3
ax
xlnx,且f（x）0.
（1）求a；
（2）证明：
f（x）存在唯一的极大值点
x0，且e2
f（x0）23
.
（二）选考题：
共
10分。
请考生在第
22、23题中任选一题作答。
如果多做，按所做的第一
题计分。
22.[
选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C1的
极坐标方程为
cos
4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹C2
的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2,
），点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值．
3
23.[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
已知a
0,b
0,a3
b3
2，证明：
（1）（a
b）（a3
b3）
4；
（2）ab2．
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案
一、选择题
1.D2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D8.B9.A
10.C
11.A
12.B
二、填空题
13.1.96
14.1
15.
2n
16.6
n1
三、解答题
17.解：
2
（1）由题设及ABC得sinB8sin，故
sinB（41-cosB）
上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0
解得cosB=1（舍去），cosB=15
17
（2）由cosB=
15
得sinB
8
，故SABC
1
acsinB
4
ac
17
17
2
17
17
又SABC=2，则ac
2
由余弦定理学
科&网及a
c6得
b2
a2
c2
2accosB
2
（a+c）2ac（1cosB）
36
2
17
（1
15）
2
17
4
所以b=2
18.解：
（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于
50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不
低于50kg”
由题意知
PA
PBC
PBPC
旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
（0.0400.0340.0240.0140.012）5=0.62
故PB的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为
（0.0680.0460.0100.008）5=0.66
故PC的估计值为0.66
因此，事件A的概率估计值为0.620.66
0.4092
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量
50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
200
62
66
34
38
2
2
15.705
K
100
100
96
104
由于15.705
6.635
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，
箱产量低于50kg的直方图面积为
0.004
0.020
0.044
5
0.34
0.5，
箱产量低于55kg的直方图面积为
0.004
0.020
0.044+0.068
5
0.68
0.5
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
0.5-0.34
50+≈52.35（kg）．
19.解：
（1）取PA中点F，连结EF，BF．
因为
1
ABC90得
E为PD的中点，所以EFPAD,EF=AD,由BAD
2
BC∥AD，又BC
1AD
2
所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF．
又BF
平面PAB，CE
平面PAB，故CE∥平面PAB
（2）
由已知得BAAD,以A为坐标原点，
uuur
uuur
AB的方向为x轴正方向，
AB为单位长，建立如
图所示的空间直角坐标系
A-xyz,则
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，1，
3），
uuur
，，
uuur
（10，，0）则
PC
3）
AB
（10
uuuur
，，
uuuur
，
，
BM
z）,PM
（x
y
3）
（x1
y
1
z
因为BM与底面ABCD所成的角为
45°，而n
（0，0，1）
是底面ABCD的法向量，所以
uuuur
sin450，
z
2
cosBM,n
y2
z2
（x1）2
2
即（x-1）2
+y2
-z2
=0
uuuur
uuur
又M在棱PC上，学|科网设PM
PC,则
x
y1,z
3
3
=1+
2
x
=1-
2
x
2
2
由①，②得
y=1
（舍去），y=1
6
6
z
z
2
2
所以M1-
2
1，6
uuuur
1-
2,1，6
，从而AM
2
2
2
2
设m=
x0,y0,z0是平面ABM的法向量，则
uuuur
0
2-
2x
2y
6z
0
mgAM
0
0
0
uuur
即
g
0
x0
0
mAB
所以可取
=（0，-
6
，2）.于是
cosm,n
mgn
10
m
mn
5
10
因此二面角M-AB-D的余弦值为
5
20.解
（1）设P（x,y）,M（x,y
）,设N（x
uuur
uuuur
0）,NP
xx0,y,NM0,y0
0
0
0
uuur
uuuur
=x,y
2
y
由NP
2NM得x
0
0
2
因为M（x0,y0）在C上，所以x2
y2
1
2
2
因此点P的轨迹方程为x2
y2
2
（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P（m,n）,则
uuur
3,t
uuur
uuuruuur
OQ
PF
1
m,
n,OQgPF3
3mtn，
uuur
m,n
uuur
3
m,t
n,
OP
PQ
uuuruuur
1得-3m
m2
tn
n2
1，又由
（1）知m2+n2=2，故
由OPgPQ
3+3m-tn=0
uuuruuur
uuur
uuur
P存在唯一直线垂直于
OQ，所以过点
P且
所以OQgPF
0，即OQ
PF.学.科网又过点
垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.解：
（1）f
x的定义域为
0，+
设gx
=ax-a-lnx
，则f
x
=xg
x,f
x
0等价于g
x0
因为g
1=0，g
x
0,故g'
1
=0,而g'
x
a
1,g'1=a
1,得a1
x
若a=1，则g'x
=1
1.当0＜x＜1时，g'
x
＜0,gx单调递减；当x＞1时，g'
x＞0，
x
gx单调递增.所以x=1是g
x
的极小值点，故
g
x
g1
=0
综上，a=1
（2）由
（1）知f
x
x2
x
xln
x,f
'（
x）
2x
2
ln
x
设hx
2x
2
lnx,则h
'（x）
2
1
x
当x
0,1时，h'x＜0
；当x
1,+
时，h'
x
＞0，所以h
x
在0,1
单调递减，
2
2
2
在1,+
单调递增
2
又he
2
＞0,h
1
＜0,h
1
0，所以h
x
在
1
有唯一零点
0
1
有唯一零
2
0,
x，在
+
2
2
点1，且当x
0,x0时，h
x
＞0
；当x
x0,1
时，h
x
＜0，当x
1,+
时，hx＞0.
因为f
'
x
h
x
，所以x=x0是f（x）
的唯一极大值点
由f'
x0
0得ln
x0
2（x0
1）,故fx0=x0（1
x0）
由x0
0,1得f
'
x0＜
1
4
因为x=x0
是f（x）
在（0,1
）的最大值点，由
e1
0,1
f
'e1
0
得
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