答案：
B
9．已知f1（x）＝cosx，f2（x）＝f′1（x），f3（x）＝f′2（x），f4（x）＝f′3（x），…，fn（x）＝f′n－1（x），则f2019（x）等于（ ）
A．sinxB．－sinx
C．cosxD．－cosx
解析：
由已知，有f1（x）＝cosx，f2（x）＝－sinx，f3（x）＝－cosx，f4（x）＝sinx，
f5（x）＝cosx，…可以归纳出：
f4n（x）＝sinx，f4n＋1（x）＝cosx，f4n＋2（x）＝－sinx，f4n＋3（x）＝－cosx（n∈N＋），
∴f2019（x）＝f3（x）＝－cosx.
答案：
D
10．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2＋BD2＝2（AB2＋AD2），那么在图乙中所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB等于（ ）
A．2（AB2＋AD2＋AA）B．3（AB2＋AD2＋AA）
C．4（AB2＋AD2＋AA）D．4（AB2＋AD2）
解析：
AC＋BD＋CA＋DB
＝（AC＋CA）＋（BD＋DB）
＝2（AA＋AC2）＋2（BB＋BD2）
＝4AA＋2（AC2＋BD2）
＝4（AA＋AB2＋AD2）．
答案：
C
11．已知x1>0，x1≠1，且xn＋1＝（n∈N*），试证“数列{xn}对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为（ ）
A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn>xn＋1
C．存在正整数n（n≥2），使xn≥xn＋1且xn≤xn－1
D．存在正整数n（n≥2），使（xn－xn－1）（xn－xn＋1）≥0
解析：
命题的结论是等价于“数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.
答案：
D
12．已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝，类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若＝＝＝＝k，则H1＋2H2＋3H3＋4H4＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
根据三棱锥的体积公式V＝Sh，
得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，
即S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝3V，
所以H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.
答案：
B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上）
13．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．
解析：
程序运行后，s＝0＋（－1）1＋1＝0，n＝2；
s＝0＋（－1）2＋2＝3，n＝3；
s＝3＋（－1）3＋3＝5，n＝4；
s＝5＋（－1）4＋4＝10>9，故输出的结果是10.
答案：
10
14．复数z满足（1＋i）z＝|－i|，则＝________.
解析：
∵（1＋i）z＝|－i|＝2，
∴z＝＝＝1－i，∴＝1＋i.
答案：
1＋i
15．半径为r的圆的面积S（r）＝πr2，周长C（r）＝2πr，若将r看作（0，＋∞）上的变量，则（πr2）′＝2πr， ①
①式可用语言叙述为：
圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．
对于半径为R的球，若将R看作（0，＋∞）上的变量，请你写出类似于①的式子：
________________，②
②式可用语言叙述为：
________________________________________________.
解析：
由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，
V（R）＝πR3，S（R）＝4πR2.
答案：
′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
16．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2018个梯形数为a2018，则a2018＝________.
解析：
5＝2＋3＝a1,
9＝2＋3＋4＝a2,
14＝2＋3＋4＋5＝a3，
…，
an＝2＋3＋…＋（n＋2）＝＝（n＋1）（n＋4），
由此可得a2018＝2＋3＋4＋…＋2020＝×2019×2022＝2019×1011.
答案：
2019×1011
三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知复数z＝.
（1）若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z1；
（2）若实数a，b满足z2＋az＋b＝1－i，求z2＝a＋bi的共轭复数．
解：
由已知得复数z＝＝＝＝＝＝1＋i.
（1）因为复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，
则它们实部互为相反数，虚部相等，
所以z1＝－1＋i.
（2）因为z2＋az＋b＝1－i，
所以（1＋i）2＋a（1＋i）＋b＝1－i，
整理得a＋b＋（2＋a）i＝1－i，
因为a，b∈R，所以a＋b＝1，且2＋a＝－1，
解得a＝－3，b＝4，所以复数z2＝－3＋4i，
所以z2的共轭复数为－3－4i.
18．（本小题满分12分）高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．为验证其正确性，对高三文科成绩调查得到如下列联表：
总成绩好
总成绩不好
总计
数学成绩好
478
12
490
数学成绩不好
399
24
423
总计
877
36
913
能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系？
P（χ2≥5.024）＝0.025.
解：
根据列联表中的数据，得
χ2＝≈6.233>5.024.
因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系．
19．（本小题满分12分）设函数f（x）＝，a，b∈（0，＋∞）．
（1）用分析法证明：
f＋f≤；
（2）设a＋b>4，求证：
af（b），bf（a）中至少有一个大于.
证明：
（1）要证明f＋f≤，
只需证明＋≤，
只需证明＋≤，
即证≤，
即证3b2＋12ab＋3a2≤4a2＋10ab＋4b2.
即证（a－b）2≥0，这显然成立，
∴f＋f≤.
（2）假设af（b），bf（a）都小于或等于，
（3）即≤，≤，
∴2a≤b＋2,2b≤a＋2，两式相加得a＋b≤4，
这与a＋b>4矛盾，
∴af（b），bf（a）中至少有一个大于.
20．（本小题满分12分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：
学生
A1
A2
A3
A4
A5
数学成绩x（分）
89
91
93
95
97
物理成绩y（分）
87
89
89
92
93
（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；
（2）根据上表数据作散点图，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）．
参考公式：
回归直线的方程是：
y＝bx＋a，
其中b＝，a＝－b，
＝93，＝90，Sxy＝6，S＝8.
解：
（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A3，A4），（A3，A5），（A4，A5），共10种情况．
其中至少有一人的物理成绩高于90分的情况有：
（A1，A4），（A1，A5），（A2，A4），（A2，A5），（A3，A4），（A3，A5），（A4，A5），共7种情况，
故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率P＝.
（2）散点图如图所示：
根据所给的数据，可以计算出b＝＝0.75，a＝90－0.75×93＝20.25，
所以y与x的线性回归方程是y＝0.75x＋20.25.
21．（本小题满分12分）通过计算可得下列等式：
22－12＝2×1＋1，
32－22＝2×2＋1，
42－32＝2×3＋1，
…
（n＋1）2－n2＝2n＋1.
将以上各等式两边分别相加得：
（n＋1）2－12＝2（1＋2＋3＋…＋n）＋n，即1＋2＋3＋…＋n＝.
（1）类比上述求法，请你求出12＋22＋32＋…＋n2的值．
（2）根据上述结论，求12＋32＋52＋…＋992的值．
解：
（1）∵23－13＝3×12＋3×1＋1，
33－23＝3×22＋3×2＋1，
43－33＝3×32＋3×3＋1，
…，
（n＋1）3－n3＝3×n2＋3×n＋1，
将以上各式两边分别相加得（n＋1）3－13＝3（12＋22＋…＋n2）＋3（1＋2＋…＋n）＋n，
∴12＋22＋…＋n2＝＝n（n＋1）（2n＋1）．
（2）12＋32＋52＋…＋992＝12＋22＋32＋…＋1002－（22＋42＋62＋…＋1002）＝12＋22＋32＋…＋1002－4（12＋22＋32＋…＋502）＝×100×101×201－4××50×51×101＝166650.
22．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：
[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
P（χ2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
附：
χ2＝.
解：
（1）由已知得，样本中有25周岁（含25周岁）以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3（人），记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2（人），记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：
（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．
其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．故所求的概率P＝.
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组（含25周岁）”中的生产能手有60×0.25＝15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15（人），据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得χ2＝＝＝≈1.79.
因为1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
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