5、已知：
AD、AE分别是△ABC和△ABD的中线，且
9、如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB
于E，DF平分ADC交AC于F.求证：
BECFEF
∠3＝∠4。
求证：
BC＝AB＋CD。
A
D
E
A
BC
D14
23
方法1：
在DA上截取DG=BD，连结EG、FG证明ΔBDE≌ΔGDEΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG
利用三角形两边之和大于第三边
BC
1、如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，
∠DCE=∠ECB.
方法2：
倍长ED至H，连结CH、FH
证明FH=EF、CH=BE
利用三角形两边之和大于第三边
10、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
求证：
CD=AD+BC.
11、已知：
如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC.求证：
AE平分BAC
3、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分
A线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数
A
BDEC
BDC
方法1：
倍长AE至G，连结DG
方法2：
倍长FE至H，连结CH
截长补短
7.9作业：
已知，四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，
4、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线
AD,CE相交于点O，求证：
OE=OD
A外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?
D
BDC
AMBE
5、已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．
A
角平分线上的点向角两边引垂线段
1、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，求证：
∠BAD+∠C=180°
A
BC
0
BC
6、如图，已知在ABC内，BAC60，C400，
P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，
ABC的角平分线。
求证：
BQ+AQ=AB+BP
A
2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，
CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补.为什么？
DC
B
Q
AEB
C
7、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意
3、如图4，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD
平分∠BAC.
A
一点，求证;AB-AC＞PB-PC
A
BC
BC
D
8、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN60，射线MN与∠DBA
4、如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，
CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求
∠ADE的度数.
分别是DC、BC的中点，求证：
AE＝AF。
D
E
AC
F
B
7.5作业：
已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。
1、如图，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：
CO=DO．
求证：
∠ADC＋∠B＝180°。
CD
A
12
AB
D
2、已知：
如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中
B点，AF⊥CD．求证：
∠B=∠E．
C
A
7.6
作业：
如图，在△ABC中∠ABC,∠ACB的外角平分
线交P.求证:
AP是∠BAC的角平分线BE
A
CFD
3、如图11-30，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点.求证：
AF⊥CD.
A
P
7.6作业：
如图,∠B=∠C=90°,AM平分∠DAB,DM平分∠ADC求证:
点M为BC的中点
B
E
CFD
4、在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，求BED.
A
连接法（构造全等三角形）B
C
5、如图所示，BD=DC,DE⊥
BC,交∠BAC的平分线于E，
7.9作业：
已知：
如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、FEM⊥AB,EN⊥AC,求证：
BM=CN
A
M
BDCN
E
1、如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,BC、
DE交于点O.
求证：
（1）△ABC≌△AED；
（2）OB＝OE.
A
BE
6、如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求
证：
△ABD≌△ACD．
A
2、.已知：
如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB
＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．求证：
OA＝OD．
BC
D
全等+角平分线性质
1、如图21，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：
EB=FC
两次全等
7.4作业：
AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：
BF=CF
A
BC
F
2、已知：
如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，判断
PM与PN的关系．
1、如图，D、E、F、B在一条直线上AB=CD,∠B=∠D，
BF=DE.
求证：
（1）AE=CF;
（2）AE∥CF
（3）∠AFE=∠CEF
AMDAB
PN
C
B
D
全等+等腰性质
2、如图：
A、E、F、B四点在一条直线上，AC⊥CE，
BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。
求证：
△ACF≌△BDEAD
D
BC
AB
CE
3、如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，
∠3=∠4，求证:
∠5=∠6．
D
直角三角形全等（余角性质）
作业：
如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的
A
C
延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
B求证：
BD＝CG．
4、已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF
求证：
AC与BD互相平分
A
1、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l
上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，
E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
BD
C
由BF＝DF，得BE＝DF
∴△ABE≌△CDF，∴∠B＝∠D
再证△AOB≌△COD，得OA＝OC，OB＝OD
即AC、BD互相平分
5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°
DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC.求证：
BG=FG
解：
全等三角形为：
△ACD≌△CBE．证明如下：
由题意知∠CAD+∠ACD=90°，
∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE．
在△ACD与△CBE中，
∠ADC=∠CEB=90°∠CAD=∠BCEAC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS）．
2、如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F
A6
ED
F
求证：
EF＝CF－AE
2、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，
DE⊥BD于D，交BC于点E．
1
求证：
CD=BE
2
A
证△ABE≌△BCF，得BE＝CF，AE＝BF，
∴EF＝BE－BF＝CF－AE
3、在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：
①ADC≌CEB；②DEADBE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，
（1）中的结论还成立吗？
若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
证明：
过点D作DF∥AB交BC于点F．
∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2．
∵DF∥AB，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC．
∴∠2=∠3，∴DF=BF．
∵DE⊥BD，∴∠2+∠DEF=90º，∠3+∠5=90º．
∴∠DEF=∠5．∴DF=EF．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．
∴∠4=∠C，CD=DF．
∴CD=EF=BF，即CD=1
2
BE．
4、如图：
BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
求证：
（1）AM=AN；
（2）AM⊥AN。
延长角平分线的垂线段
1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：
∠ACE=∠B+∠ECD．
A
NA
43
F
E
1M2F
C
BCD
作平行线B
1、已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长
线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：
EG=GF．
A
E
分析：
注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长
CE交AB于点F，即可构造全等三角形．证明：
延长CE交AB于点F．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE=∠CAE．
∵CE⊥AD，
∴∠FEA=∠CEA=90º．
BGC在△FEA和△CEA中，
F∠FAE=∠CAE，
AE=AE，
∠FEA=∠CEA．
∴△FEA≌△CEA．
∴∠ACE=∠AFE．
∵∠AFE=∠B+∠ECD，
∴∠ACE=∠B+∠ECD．
2、如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠
ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：
BD=2CE．
F
A
E
面积法
例1如图1，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.
分析：
根据已知可知AD是∠BAC的平分线，可通过点
D作∠BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.
证明：
过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
因为DA为∠BAC的平分线，所以DE=DF.
又因为AD平分BC，所以BD=CD，所以S△ABD=S△ACD，
D1
又S△ABD=
2
1
AB·DE，S△ACD=
2
AC·DF，
BC所以AB·DE=AC·DF，所以AB=AC.
2、如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它
3、如图：
∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC，BD是∠
ABC的平分线，求证：
BD=2EC
A
到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为
M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系,并给予证明.
A
B
C
4、已知，如图34，△ABC中，∠ABC=90º，
AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．
1
BDC
求证：
CD=
2
AE．
A
3、己知，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D，P是BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC垂足分别为E、F，求证：
①PE+PF=CD.
②PE–PF=CD.
CEB
D
A
CB
BPC
DOA
图7
（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和
大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD
A不能重叠），求∠AEB的大小.
E
DB
GC
BCP
F
旋转型
E
O
D图8
A
4、如图，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AE，
1、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形
ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。
求证：
①△BCG≌△DCE
②BH⊥DE
∠B=∠E，
求证：
（1）BD=CE；
（2）BD⊥CE．
A
F
BCE
2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：
结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：
DC⊥BE．
．证明：
（1）AE⊥AB，AD⊥AC∠BAE=∠CAD
∠BAD=∠CAE．而AB=AE，∠B=∠E，
∴△ABD≌△AEC．∴BD=CE．
（2）由△ABD≌△AEC知∠B=∠E．
而∠AGB=∠EGF，∴∠EFG=∠EAB=90°，∴BD⊥CE．
5、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF
F
D
E
CEC
图1图2
3、
（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和
DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求
∠AEB的大小；
6、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，
BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
A
ADF
FB
CD
BEC
7、D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
①当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。
②若AB=2，求四边形DECF的面积。
B
10、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠
AED=90°，求五边形ABCDE的面积
MA
8、如图，ABC是边长为3的等边三角
N形，BDC是等腰三角形，且
BDC1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求AMN的周长。
A
BC
D
9、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，
∠ABC+∠AED=180°，求证：
AD平分∠CDE
A
BE
CD
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