相似三角形添加辅助线的方法举例(有答案).doc

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相似三角形添加辅助线的方法举例

例1：

已知：

如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．

求证：

BC2＝2CD·AC．

例2．已知梯形中，，，是腰上的一点，连结

（1）如果，，，求的度数；

（2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值

例3．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，，连E、F交AC于G．求AG：

AC的值．

例4、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：

AE=___________.

例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．

例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：

．

相似三角形添加辅助线的方法举例答案

例1：

已知：

如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．

求证：

BC2＝2CD·AC．

分析：

欲证BC2＝2CD·AC，只需证．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．

证法一（构造2CD）：

如图，在AC截取DE＝DC，

∵BD⊥AC于D，

∴BD是线段CE的垂直平分线，

∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，

又∵AB＝AC，

∴∠C=∠ABC．

∴△BCE∽△ACB．

∴，∴

∴BC2＝2CD·AC．

证法二（构造2AC）：

如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，

∵AB＝AC，

∴AB＝AC=AE．

∴∠EBC=90°，

又∵BD⊥AC．

∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，

∴∠E=∠DBC，

∴△EBC∽△BDC

∴即

∴BC2＝2CD·AC．

证法三（构造）：

如图，取BC的中点E，连结AE，则EC=．

又∵AB=AC，

∴AE⊥BC，∠ACE=∠C

∴∠AEC=∠BDC=90°

∴△ACE∽△BCD．

∴即．

∴BC2＝2CD·AC．

证法四（构造）：

如图，取BC中点E，连结DE，则CE=．

∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，

∴∠EDC=∠C

又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

∴△ABC∽△EDC．

∴J即．

∴BC2＝2CD·AC．

说明：

此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．

例2．已知梯形中，，，是腰上的一点，连结

（1）如果，，，求的度数；

（2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值

（1）设，则

解法1 如图，延长、交于点

，，，为的中点

又，又为等边三角形故

解法2 如图

作分别交、于点、

则，得平行四边形

同解法1可证得为等边三角形

故

解法3 如图

作交于，交的延长线于

作，分别交、于点、

则，得矩形

，

又，故为、的中点

以下同解法1可得是等边三角形

故

解法4 如图，

作，交于，作，交于，得平行四边形，且

读者可自行证得是等边三角形，故

解法5 如图

延长、交于点，作，分别交、于点、，得平行四边形

可证得为的中点，则，故

得为等边三角形，故

解法6 如图（补形法），

读者可自行证明是等边三角形，

得

（注：

此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）

（2）设，则

解法1（补形法）如图

补成平行四边形，连结，则

设，则，

由得，，

解法2 （补形法）如图，延长、交于点，

，，又

设，则，，

，

解法3（补形法）如图

连结，作交延长线于点

连结

则∽，故

（1）

，

故

（2）

由

（1）、

（2）两式得 即

解法4（割补法）如图

连结与的中点并延长交延长线于点，如图，过、分别作高、，则且，

，又

，，故

说明本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.

例3．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，，连E、F交AC于G．求AG：

AC的值．

解法1：

延长FE交CB的延长线于H，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴∠H=∠AFE，∠DAB=∠HBE

又AE=EB，∴△AEF≌△BEH，即AF=BH，

∵，∴，即．

∵AD∥CH，∠AGF=∠CGH，∠AFG=∠BHE，∴△AFG∽△CGH．∴AG：

GC=AF：

CH，

∴AG：

GC=1：

4，∴AG：

AC=1：

5．

解法2：

如图4—2，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边形ABCD可知，，即AB∥MC，

∴AF：

FD=AE：

MD，AG：

GC=AE：

MC．∵，∴AF：

FD=1：

2，

∴AE：

MD=1：

2．

∵．∴AE：

MC=1：

4，即AG：

GC=1：

4，

∴AG：

AC=1：

5

例4、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：

AE=___________.

解析：

取CF的中点G，连接BG．∵B为AC的中点，

∴BG：

AF=1：

2，且BG∥AF，又E为BD的中点，

∴F为DG的中点．

∴EF：

BG=1：

2．

故EF：

AF=1：

4，∴AF：

AE=4：

3．

例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．

解法1：

过O点作OM∥CB交AB于M，

∵O是AC中点，OM∥CB，

∴M是AB的中点，即，

∴OM是△ABC的中位线，，

且OM∥BC，∠EFB=∠EOM，∠EBF=∠EMO．

∴△BEF∽△MOE，∴，

即，∴.

解法2：

如图4-8，延长EO与AD交于点G，则可得△AOG≌△COF，

∴AG=FC=b-BF，∵BF∥AG，∴．即，

∵∴.

解法3：

延长EO与CD的延长线相交于N，则△BEF与△CNF的对应边成比例，即．

解得.

例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：

．

分析1比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD为△ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决．

证法1：

如图4—9，过C点作CE∥AD，交BA的延长线于E．

在△BCE中，∵DA∥CE，∴①

又∵CE∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，且AD平分∠BAC，

∵∠1=∠2，于是∠3=∠4，

∴AC=AE．代入②式得．

分析2由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线．

证法2：

如图4—10，过D作DE∥AC交AB于E，则∠2=∠3．

∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．

于是EA=ED．

又∵，∴，∴.

分析3欲证式子左边为AB：

AC，而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到与AC平行的位置．

证法3：

如图4—11，过B作BE∥AC，交AD的延长线于E，则∠2=∠E．

∵∠1=∠2，∴∠1=∠E，AB=BE．

又∵，∴.

分析4由于AD是∠BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证．

证法4如图4—12，过D点作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

易证四边形AEDF是菱形．则DE=DF．

由△BDE∽△DFC，得．

又∵，∴.

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