北京市人大附中学年八年级上期末数学复习大纲.docx
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北京市人大附中学年八年级上期末数学复习大纲
人大附中八年级上册
「数学」期末复习大纲
写在前面
全文共1468字，阅读时间5分钟
随着时间的流逝，初一已成为历史，中考却不再遥远，而三年的初中生活也将过去一半，马上初二上
学期就结束了，各位同学是否意识到学习的紧迫性了呢？
有一句话说：
初一“不分上下”，初二“两极分化”，初三“天上地下”。
伴随着初二的开始，物理学科的引入，数学学科的知识点也不断的加多、加难，相信各位同学在学习的过程中克服了不少的困难，这是值得称赞的。
还记得这学期的期中考试，有多少同学跌倒在几何全等，又有多少同学在物理实验题目上丢分。
作为一名初二数学老师，我发现孩子们在面对大型考试时有以下几种表现：
（1）考前无所谓，直接裸考（不过这是少数学生）；
（2）考前拼命刷题，做完了一切可做的题目（目测这种情况最多）；
（3）考前复习以平时作业、考试试卷、课堂笔记为主；
…..
上述是我对初二学生考前复习方式大致总结的几点，也是最常见的几种现象。
我们逐一分析：
首先，到了初二这个阶段，考前不复习，直接裸考，这是相当不科学的！
众所周知，初二科目多，知识点难？
孩子学完一次后，能记得多少呢？
其次，考前拼命刷题，虽然相比与第一种情况，这类孩子是特别努力的，但是作为过来人的我们，仔细思考，这却是非常低效的方法，因为漫无目的的刷题，可能刷了100道、
1000道，却没有找到重点，而且各科都要考试，各科都刷题的话，遗忘快，更容易混乱！
而最后一种情况是三者中较为理想的。
但是做到的人，或者说会做的人，却少之又少！
那么怎么做到复习呢？
“复”即反复，对之前学过的或做过的题目进行重复学习，进而有新的认知，新的理解。
尤其是对于期末这样的大型考试，做好复习规划显得尤为重要！
以下是一些建议，抛砖引玉，希望帮到孩子们冲刺期末复习。
第一：
以一章节学习为单位，先看教材，重视基础，尤其注意课本上的例题；
第二：
复习该章节的笔记，尤其注意笔记中的重点标记，如遇到不熟练的知识点，务必勾画，便于二轮复习；
第三：
复习课堂例题。
以学而思课程为例，对于上课讲过的例题，注重复习思路。
如是上课老师重点讲过的题目，需要进行二轮复习！
第四：
复习该章节的错题，重视自己第一次做错的题目，进行再次练习。
以上是对某章节知识点进行复习，该章节复习结束后，其他章节重复上述步骤即可。
期间需要注意，合理分配好时间，千万不要第一章复习的非常充分，后面的草草了事！
最后再对上述讲到的重点知识，不
熟的知识点进行二轮复习即可！
复习抓住两个点：
“全面但不失针对性”、“真题训练”！
说了这么多，希望能够帮助孩子们冲刺期末考！
另外对于大家手里学而思的期末复习资料及相应活动，可能大多数家长/学生还不会使用，因此下方做个简单使用介绍：
一、八年级上期末复习大纲（即本资料）
主要汇总常考的知识点，列举每章节重要知识，帮助孩子复习每章节的笔记！
另外有经典例题，建议一并复习。
二、期末拔分宝（建议在1月1日前完成）
这是分类汇集往届真题，在孩子做好笔记、例题复习之后，可以对该章节进行真题训练。
此步相当于第一轮复习，需要做到全面，无遗漏！
课堂上老师也会讲解，如遇到不会的题目，尽快问任课老师或观看视频讲解（视频讲解预计1月1日于本群推出）。
三、期末区统考重难点精讲班（1月5-7日）
此为最后一轮冲刺。
主要解决分值较高的重点知识及难点。
比如数学里面的几何问题、物理中的实验等。
均是往届失分最多、孩子觉得最难的部分，建议在做好第一轮复习后，针对性的选择对应区的精讲班。
目前面授开设了“天河、越秀、荔湾、海珠”精讲班，1次课冲刺，100元/科，在学而思APP—初二年级—短期班即可报名，如需了解更多消息，请扫描下方二维码了解。
祝所有孩子期末考试加油！
！
复习指南篇
一、数学部分
板块一：
各区期末考试压轴题统计
2015年四区期末考试压轴题统计
越秀
天河
海珠
荔湾
23题
全等三角形性质与判定综合
分式化简与因式分解
尺规作图与最短路径问题
全等三角形性质与判定综合（21题）
24题
分式方程应用题
轴对称与等腰三角形
全等手拉手模型
分式方程应用题（22题）
25题
全等双垂模型
全等手拉手模型与半角模型
分式综合应用
全等手拉手模型（23题）
2016年四区期末考试压轴题统计
越秀
天河
海珠
荔湾
23题
垂直平分线与等腰三角形
尺规作图与垂直平分线
全等截长补短
全等三角形性质与判定综合（21题）
24题
分式方程应用题
乘法公式
配方法求值
分式方程应用题（22题）
25题
全等三角形性质与判定综合
全等手拉手模型
全等手拉手模型
全等边边角模型（23题）
板块二：
期末复习各章节知识点汇编
（1）全等三角形
全等三角形
重点：
全等形和全等三角形的概念及全等三角形的表示方
法，全等三角形的性质
难点：
准确找出全等三角形的对应边和对应角考点：
运用全等三角形的性质解决线段的长度问题和角度
问题，利用全等变换解决几何问题，全等三角形的面积
全等三角形
三角形全等
重点：
判定三角形全等的方法:
角边角（ASA）、角角边
（AAS）、HL（直角三角形）
难点：
灵活运用三角形全等的性质解决线段或角相等的问考点：
通过判定三角形全等与多边形综合题
角的平分线的性质
重点：
角的平分线的性质及判定，作出已知角的平分线
难点：
用角的平分线的性质求线段相等，角的度数，角的平分线性质的综合运用
考点：
角的平分线的性质与三角形全等，线段垂直平分线及圆等其他几何
全等八大模型：
【例1】2013秋•荔湾区期末）如图，已知∠A=∠D=90°，AC=BD，求证：
（1）AB=DC；
（2）OB=OC．
菁优
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】
（1）根据条件可以得出△ABC≌△DCB就可以得出结论；
（2）由△ABC≌△DCB就可以得出∠ACB=∠DBC，就可以得出OB=OC．
【解答】证明：
（1）∵∠A=∠D=90°，
∴△ABC和△DCB是直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴AB=DC；
（2）∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC．
【点评】本题考查了运用HL证明两直角三角形全等的运用，全等三角形的性质的运用，解答时证明△ABC≌△DCB是关键．
【例2】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.E，F分别是CD，AD
上的点，且CE＝AF如果∠AED＝62°，那么∠DBF等于（）
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD．又∵∠BAC=90°，
∴BD=AD=CD．
又∵CE=AF，
∴DF=DE．
∴Rt△BDF≌Rt△ADE（HL）．
∴∠DBF=∠DAE=90°-62°=28°．
点评：
主要考查：
等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质．注意：
根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF≌△ADE．熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是本题解题关键。
【例3】如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB
于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：
BF=CG.
A
FB
DG
C
E
证明：
连接BE,CE
∵E是∠BAC的平分线上一点，且EF⊥AB,EG⊥AG
∴EF=EG
又∵D是BC重点，且DE⊥BC
∴BE=EC
又∵EF⊥AB，EG⊥AG
∴△BFE和△GCE为直角三角形
又由：
EF=EG，BE=EC
∴Rt△BFE≌Rt△GCE（HL）
∴BF=CG
点评：
本题主要考查：
角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），中垂线的性质（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等），以及直角三角形全等的判定。
熟练运用此定理是本题解题关键。
轴对称
重点：
轴对称与轴对称图形，线段垂直平分线，画轴对称图
形或成轴对称的两个图形的对称轴
难点：
轴对称和轴对称图形的性质考点：
轴对称变换与旋转知识的综合
轴对称
作轴对称图形
重点：
作轴对称图形
难点：
用坐标表示轴对称考点：
轴对称变换及关于坐标轴对称的点的坐标，轴对称与
平移、中心对称、旋转的综合
等腰三角形
重点：
等腰三角形的有关概念及性质，等腰三角形的判定，
等边三角形及其性质，等边三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
难点：
有关等腰三角形的综合运用考点：
等腰三角形及等边三角形的性质和判定及探究性问题
【例4】如图，D是AB边上的中点，将∆ABC沿过D点的直线折叠，使点A落在BC上点F
处，若∠B=50o,则∠BDF=度.
解：
∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，
∴AD=DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD=BD，
∴BD=DF，
∴∠B=∠BFD，
∵∠B=65°，
∴∠BDF=180°-∠B-∠BFD=180°-65°-65°=50°．故答案为：
50．
点评：
此题是翻折变换问题，先根据图形翻折不变性的性质可得AD=DF，根据等边对等角的性质可得∠B=∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
整式乘除与因式分解
重点：
整式乘法与因式分解，能进行正向和逆向应用，并相互
检验运算的准确性。
难点：
正确区分同底数幂相乘，积的乘法，同底数数幂相除的法则，注意运算中符号问题。
乘法公式的灵活运用。
考点：
整式乘除及化简求值，因式分解的几种基本方法的灵活
运用。
平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）
完全平方公式：
a2+2ab+b2=（a+b）2
a2-2ab+
b2=（
a-）
一些需要了解的公式：
a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）
a3-b3=（
a-b）（a2+
ab+2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a-b）3
=a3
-3a2
b+3a2b-
（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
一：
因式分解的基本方法
①提取公因式法②公式法③十字相乘法④分组分解
【例4】分解因式
⑴a（2-4b+2b2）-1+2b-b2
（2）a2-9b2+2a-6b
解：
原式=
2a（1-2b+b2）-1+2b-b2
解：
原式=
（a2-9b2）+（2a-6b）
=2a（1-2b+b2）-（1-2b+b2）
=（a2-（3b）2）+2（a-3b）
=（1-2b+b2）（2a-1）
=（a
+3b）（a
-3b）+2（a-3b）
=（a
-3b）（a
+3b+2）
二：
利用乘法公式或因式分解法化简整式
【例5】先化简，再求值：
（1）
（a2b-2ab2-b3）÷b-（a+b）（a-b）,其中a=1,b=-1；
2
解：
原式=（a2-2ab-b2）-（a2-b2）
=a2-2ab-b2-a2+b2
=-2ab
将a=1,b=-1代入原式，则原式=-2⨯1⨯（-1）=1
22
（4）分式及分式方程
重点：
分式的各种运算法则，分式方程的解法。
难点：
1.熟练的应用分式的各种运算法则进行混合运算；
分式2.掌握将分式方程转化为整式方程的思想及解可化为一元一次方程的分式方程。
考点：
分式的加减运算以及分式方程
一:
分式的概念及性质
x
||
-5
【例6】如果分式
x2+5x
的值为0，那么x的值是（）
A．0B．5C．－5D．±5
解析：
此题考查分式的定义，分式成立的前提是分母要不为0.所以计算出结果要检验，将所求数值代入分式的分母x=-5舍掉。
答案：
B.
二:
分式的加减及综合运算
11x
【例7】⑴计算：
先化简代数式：
（-）÷，再从你喜欢的数中选择一个恰当
x-1x+1x2-1
的作为x的值，代入求出代数式的值.
⎛x⎫⎛
3x2⎫1
⎝⎭⎝⎭
⑵先化简，再选择一个合适的x值代入求值：
çx+1+1⎪÷ç1-1-x2⎪⋅x-1．
11x
【解析】⑴（-）÷
x-1x+1x2-1
=2⋅
x2-1
=2
x
x2-1
x
当x=-1，0，1时，分式无意义，所以x可取除-1，0，1之外的任意数
取x=2时，原式=2=1（答案不唯一）
2
⑵原式=
x+x+11-x2-3x2
÷⋅
x+11-x2
1
x-1
=2x+1÷
x+1
=1-x⋅
（1+2x）（1-2x）
（1+x）（1-x）
1
⋅1
x-1
1-2xx-1
=1．
2x-1
取x=0，则原式=-1．
（注：
x可取除±1，±1外的任意实数）
2
三:
分式方程的解法解题步奏：
1.化分式方程为正式方程；
2.按照一元一次方程解法步奏求解；
3.如果整式方程有解，再进行检验，将所求的解代入原分式方程看分母是否为0，不为0所求的解则为原方程的解，若分母为0，则为增根。
【例8】解下列分式方程：
①3x-1+5x+2=2
②2=3
2x3x
x-3x
【解析】①方程两边同乘以最简公分母6x，得
3（3x-1）+2（5x+2）=12x
解得x=-1
7
检验：
当x=-1时，6x≠0
7
∴x=-1是原分式方程的解
7
【解析】②方程两边同乘x（x-3）,得
2x=3x-9
解得x=9
检验：
当x=9时，x（x-3）≠0
∴x=9是原方程的解
【例9】⑴用换元法解方程⎛
x⎫-5⎛
x⎫+4=0时，可设x
=y，则原方程可化为．
⎝⎭⎝⎭
2
çx+1⎪çx+1⎪
x2+12x
x+1
x
⑵用换元法解分式方程
方程是．
⑶阅读并完成下列问题：
-=3时，如果设
xx2+1
x2+1
=y，那么原方程可以化为关于y的
方程x+1=21的解是x
=2，x
=1；方程x+1=10的解是x
=3，x=1
x2122
x3123
观察上述方程及解，可猜想关于x的方程①x+1=c+1的解是；
xc
请用上述方法解方程：
3x
+x-1=5
【解析】⑴y2-5y+4=0
1-2y=3
x-13x2
⑵
y
1
⑶方程①的解为：
x1=c，x2=，
c
方法一：
原方程可化为3x
+x-1=2+1，∴3x
=2或3x
=1，
x-13x
2x-1
x-12
解得x=-2或x
1，经检验它们是原方程的根．
=-
5
方法二：
用换元法，设3x
=y，原方程可变为y+1=5
由题可知：
y=2
x-1y2
或y=1
2
即3x=2或3x=1
x-1
x-12
解得x=-2或x
1，经检验它们是原方程的根．
=-
5
四分式的实际应用题
【例10】某乡村距城市50千米，甲骑自行车从乡村出发，出发1小时30分后，乙骑摩托车
也从乡村出发进城，比甲先到1小时，已知乙的速度是甲的速度的2.5倍，请你求出甲、乙两人的速度．
【解析】设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时2.5x千米，
由题意可知50=
50+1.5+1，即50=20+5．
x2.5x
xx2
解这个方程得x=12．
经检验x=12是原方程的根．
所以2.5x=2.5⨯12=30（千米/时）．
答：
甲的速度是每小时12千米，乙的速度是每小时30千米．
【例11】某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工
工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
⑴甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
⑵乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
⑶若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
请说明理由．
【解析】设规定日期为x天，工作总量为1，
∴甲的工效为1，乙的工效为1，
∴3⎛1+
x
1⎫+（x-3）⋅1
x+6
=1
⎝⎭
çxx+6⎪
3⋅x+6+x+x-3=1
x+6
x（x+6）
x+6
模块
方程两边同乘以x（x+6）
得3（2x+6）+x（x-3）=x（x+6）
6x+18+x2-3x=x2+6x
3x=18
x=6
经检验，x=6是原方程的解，且x=6符合实际．
∵在不耽误工期的前提下
∴第⑵方案舍去；方案⑴花费：
1.2⨯6=7.2万元
方案⑶花费：
3⨯（1.2+0.5）+3⨯0.5
=3⨯1.7+1.5=6.6万元
∵6.6万元<7.2万元
∴方案⑶最节省工程款．
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