河南省新乡市学年高一下学期期末考试数学试题解析版.docx
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河南省新乡市学年高一下学期期末考试数学试题解析版
新乡市高一下学期期末考试数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列给出的赋值语句中正确的是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分析：
根据赋值号左边只能是变量，右边可以是任意表达式，从而得到答案.
详解：
根据赋值号左边只能是变量，右边可以是任意表达式，
故选：
A.
2.下列函数中，既是偶函数，又是周期函数的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析：
运用奇偶性的定义和周期公式，结合常见函数的奇偶性和周期性，即可得到既是偶函数又是定义域上的周期函数的图象.
详解：
对于A，
对于B，
是偶函数，但不是周期函数，则A错误；
为周期为的函数，但不是偶函数，则B错误；
对于C，
对于D，
既不是偶函数也不是周期函数，则C错误；
，即为周期为的周期函数，且为偶函数，则D满足.
故选：
D.
点睛：
本题考查函数的奇偶性和周期性的判断，考查运用定义和常见函数的奇偶性和单调性进行判断，考查运算能力，属于基础题.
3.在
中，若，则
是（）
A.锐角三角形
C.直角三角形
B.钝角三角形
D.形状不确定
【答案】C
【解析】分析：
利用两角和与差的正弦公式即可.
详解：
，
，即，
故
A，B为三角形内角，只能是
，即
是直角三角形.
.
故选：
C.
点睛：
本题考查了三角形的形状的判断，考查两角和与差的正弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题.4.某程序框图如图所示，则输出的（）
A.3B.6C.10D.15
【答案】C
【解析】分析：
模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.详解：
模拟程序的运行，可得
，
不满足条件
不满足条件
不满足条件
不满足条件
，执行循环体，
，执行循环体，
，执行循环体，
，执行循环体，
；
；
；
；
满足条件
，退出循环，输出S的值为10.
故选：
C.
点睛：
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.
5.
（）
A.1
B.-1
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：
利用两角和的正切函数，化简求解即可.
详解：
即有，
，
故选：
B.
点睛：
本题考查两角和与差的正切函数，考查计算能力.
6.已知函数，若，则（）
A.-2020
B.2019
C.-2018
D.2017
【答案】A
【解析】分析：
计算详解：
函数
则
即有
，
又
，
则
，运用诱导公式，得到
，
.
，由，即可得到
.
故选：
A.
点睛：
本题考查函数的奇偶性的运用，求函数值，考查运算能力，属于基础题.
7.已知向量
，
，且
，则（）
A.B.
【答案】D
C.
D.
【解析】分析：
先表示
，利用数量积的坐标运算解得x值.
详解：
∵
，
，
∴
，又
，
∴
，
∴
故选：
D
点睛：
本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
8.执行如图所示的程序框图，若输入的与输出的相等，则（）
A.1
B.0或1或2
C.1或2
D.0或2
【答案】D
【解析】分析：
根据已知中的程序框图可得：
该程序的功能是计算并输出分段函数：
的函数值，分段讨论满足
的值，最后综合讨论可得答案.
详解：
根据已知中的程序框图可得：
该程序的功能是计算并输出分段函数：
的函数值，
当
当
时，
时，
，解得
，解得
或，只有
，满足条件.
满足条件；
综上所述，满足条件的x值的是
和
.
故选：
D.
点睛：
本题考查的知识点是程序框图，分析出程序的功能是解答的关键.
9.已知函数
的部分图象如图所示，为了得到
的图象，可以将
的图
象（）
A.向右平移个单位长度
C.向右平移个单位长度【答案】A
B.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
【解析】分析：
首先根据图象求出
详解：
根据函数的图象得：
，
的解析式，最后确定图象的平移问题求出结果.
利用
，解得，
则
当
解得
，
时，
.
，
，
为了得到
的图象，可以将
的图象向右平移个单位长度.
故选：
A.
点睛：
本题考查的知识要点：
由函数的图象求函数的解析式，函数图象的平移变换问题.
10.设
A.B.
，
C.D.
，，则，，的大小关系为（）
【答案】C
【解析】分析：
分别对a，b，c化简，最后利用余弦函数的单调性比较大小即可.详解：
，
，
又
在
上单调递减，
，
.
故选：
C.
点睛：
本题考查了辅助角公式、二倍角公式、半角公式、诱导公式的灵活运用，以及利用函数性质比较大小的方法.
11.向边长为1的正方形
内随机投入粒芝麻，假定这些芝麻全部均匀地落入该正方形中，发现有粒芝麻离点
的距离不大于1，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）A.B.C.D.
【答案】B
【解析】分析：
作出图象，根据几何概型的概率公式列方程即可得出.详解：
在如图所示图形中，
，，
有
，解得
.
故选：
B.
点睛：
本题考查了几何概型的概率计算，考查圆周率的近似值的估计，考查运算求解能力，是基础题.
12.已知函数
，对任意的，方程
有两个不同的实数根，则的取值范围
为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】分析：
直接利用三角函数的图象及三角函数的性质求出结果.
详解：
方程
等价于
对任意的
，方程
有两个不同的实数根，
等价于：
由于，
，
的图象与直线
有两个交点，
令，即
，
或
，
解得
或
，
故m的取值范围是
.
，
故选：
A.
点睛：
本题考查的知识要点：
三角函数的图象和性质的应用，体现了转化的数学思想.
第Ⅱ卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.函数
的最小正周期是__________．
【答案】1
【解析】分析：
直接利用正切函数的周期公式即可求得.
详解：
故答案为：
1.
.
点睛：
本题考查正切函数周期公式的运用，正切函数周期公式
是解题的关键.
14.从编号为01，02，…，50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为03，08（编号按从小到大的顺序排列），则样本中最大的编号是__________．
【答案】48
【解析】分析：
根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论.
详解：
已知样本中的前两个编号分别为03，08，
样本数据组距为
则对应的号码数
，则样本容量为，
，
则当
时，取得最大值为
.
故答案为：
48.
点睛：
本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键.
15.在平行四边形
中，，，，点，分别在边，
上（不与端点重合），且，
则
【答案】
的取值范围为__________．
【解析】分析：
以B为坐标原点，BC为x轴，BC垂线为y轴建立平面直角坐标系，由
可设
，从而写出E，F的坐标，利用向量数量积的坐标运算即可得到答案.
详解：
以B为坐标原点，BC为x轴，BC垂线为y轴建立平面直角坐标系，
由
可设
，
则
，
，
，
又
，
当
时，最小值为；当
时，最大值为1.
故
的取值范围为
.
故答案为：
.
点睛：
求两个向量的数量积有三种方法：
利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．16.有下列命题
①已知，都是第一象限角，若
，则；
②已知，是钝角
中的两个锐角，则
③若，，是相互不互线的平面向量，则
；
与垂直；
④若，是平面向量的一组基底，则
，
可作为平面向量的另一组基底.
其中正确的命题是__________（填写所有正确命题的编号）．【答案】②③
【解析】分析：
对四个命题逐一分析即可.
详解：
①已知，都是第一象限角，若
，则，不正确，
比如
，满足，都是第一象限角，且
，但，故①不正确；
②，是钝角
中的两个锐角，，
③，，是相互不互线的平面向量，
则
与垂直，故③正确；
④
，则不可作为平面向量的另一组基底，
，
，故②正确；
故④错误.
故答案为：
②③.
点睛：
判断命题真假的关键：
一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断．要判断一个命题是假命题，只需举出反例．
三、解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.从高一年级某科月考成绩中随机抽取名学生的成绩，绘制如图所示的频率分布直方图，若分数在为30.
内的人数
（1）求；
（2）估计这次月考成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】
（1）；
（2）74.
【解析】分析：
（1）先求出a，根据
上的频率为0.3即可求得答案；
（2）平均数为每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和.
详解：
（1）
，得
，
于是
上的频率为0.3，即，得
（2）平均数
.
.
点睛：
解决此类问题的关键是熟悉频率分布直方图并且利用直方图计算平均数等，是基础题.
18.设向量
，
，.
（1）若
，求
；
（2）若
，且
，求.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】分析：
（1）当
时，
，又
，则
即可计算；
（2）由
详解：
（1）当
，得
时，
，即可求得
，
，
，
，
，则利用两角和的余弦公式即可求得答案.
，
于是
.
（2）当
时，得，又
，得，，
由
于是
，得，得
.
，
点睛：
解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：
准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
19.如图，在
中，，是
的中点，设，.
（1）试用，表示
（2）若，
【答案】
（1）
；
，且与的夹角为
；
（2）.
，求.
【解析】分析：
（1）根据向量加法的三角形法则以及共线定理即可用，表示
；
（2）用，表示出
，即可求得，再开方即可.
详解：
（1）
.
（2）
，
∴
∵
，
，
，与的夹角为，∴，
∴
，即.
点睛：
用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
20.盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次.
（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；
（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】分析：
（1）先求出全体基本事件共有25种情形，再求出取到的2个球中恰好有1个是黑球的情况有12种，即可得到答案；
（2）求对立事件没有一个红球，即全是黑球的情况，从而即可求出.
详解：
全体基本事件共有25种情形，
（1）2个球中恰好1个黑球为13，14，15，23，24，25，再交换一下，共有12种情形，
故概率.
（2）取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球，
即全是黑球为11，12，21，22，共4种情形，
即.
点睛：
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的
概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P（A）＝1－P（）求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．
21.近年来，某市实验中学校领导审时度势，深化教育教学改革，经过师生共同努力，高考成绩硕果累累，捷报频传，
尤其是2017年某著名高校在全国范围内录取的大学生中就有25名来自该中学.下表为该中学近5年被录取到该著名高校的学生人数.（记2013年的年份序号为1，2014年的年份序号为2，依此类推……）
年份序号
录取人数
1
10
2
13
3
17
4
20
5
25
（1）求关于的线性回归方程，并估计2018年该中学被该著名高校录取的学生人数（精确到整数）；
（2）若在第1年和第4年录取的大学生中按分层抽样法抽取6人，再从这6人中任选2人，求这2人中恰好有一位来自第1年的概率.
参考数据：
，.
参考公式：
，.
【答案】
（1）28；
（2）.
【解析】分析：
（1）求出，代入公式即可，再利用回归方程估计2018年该中学被该著名高校录取的学生人数；
（2）由分层抽样可知抽取的6人中有2人来自第1年，4人来自第4年，6人中任选2人共有15种情形，这2人中恰好1名来自第1年的抽法共有8种情形，即可求得答案.
详解：
（1），，
线性回归方程为当
时，
.
，即2018年该中学大约被录取28人.
（2）由分层抽样可知抽取的6人中有2人来自第1年，4人来自第4年，6人中任选2人共有15种情形，
这2人中恰好1名来自第1年的抽法共有8种情形，
故概率.
点睛：
求回归方程，关键在于正确求出系数，，由于，的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．（注意线性回归方程中一次项系数为，常数项为，这与一次函数的习惯表示不同．）
22.已知
（1）求；
的三个内角分别为，，，且.
（2）已知函数数
的值域.
，若函数
的定义域为，求函
【答案】
（1）；
（2）（i）当
（iii）当
时，
时，
的值域为；（ii）当
的值域为
；（iv）当
时，
时，
的值域为
的值域为
.
；
【解析】分析：
（1）由
化简整理可得
，从而求得C；
（2）由题意得，
，分类讨论即可.详解：
（1）因为
所以
即.
，即，从而，设
，
，
，则，
又，所以，.
（2）由题意得，
，
所以
由
（1）知
设
，所以角的范围是
，所以.
，因为
，
，所以
，
则
，令
，
.
（i）当
此时
时，
的值域为
，
.
，
（ii）当
时，
，
，
此时
的值域为
.
（iii）当
时，
，，
此时
的值域为
（iv）当
时，
此时
的值域为
.
.
，
，
点睛：
求三角函数的值域（最值）的常见类型及方法
（1）形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t
的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asinxcosx＋b（sinx±cosx）＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t
的二次函数求值域（最值）．
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