初三数学第七章解直角三角形导学案.docx
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初三数学第七章解直角三角形导学案
金城外国语学校初三数学导学案
课题：
§7.1正切执笔：
朱清华审核：
初三数学备课组
［学习目标］
1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2、了解计算一个锐角的正切值的方法。
［学习重点与难点］你计算一个锐角的正切值的方法
［学习过程］
一、观察回答：
如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。
下列图中的两个台阶哪个更陡？
你是怎么判断的？
图
（1）图
（2）
[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形
答：
图的台阶更陡，理由
二、探索活动
1、思考与探索一：
除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？
1可通过测量BC与AC的长度，再算出它们的比，
来说明台阶的倾斜程度。
（思考：
BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？
）
答：
_________________________________________.
②讨论：
你还可以用其它什么方法？
能说出你的理由吗？
答：
_________________________________________.
2、思考与探索二：
（1）如图，一般地，如果锐角A的大小已确定，我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2，RtAB3C3……，那么有：
Rt△AB1C1∽________∽________……
根据相似三角形的性质，得：
＝_________＝_________＝……
（2）由上可知：
如果直角三角形的一个锐角的大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。
3、正切的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边。
我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A_______，记作______。
即：
tanA＝________＝__________
4、牛刀小试
根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。
（通过上述计算，你有什么发现？
_____________________________________.）
5、思考与探索三：
θ
tanθ
10°
20°
30°
45°
55°
65°
2.14
怎样计算任意一个锐角的正切值呢？
（1）例如，根据书本P39图7—5，我们可以这样来确定tan65°的近似值：
当一个点从点O出发沿着65°线移动到点P时，这个点向右水平方向前进了1个单位，那么在垂直方向上升了约2.14个单位。
于是可知，tan65°的近似值为2.14。
（2）请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值。
（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正切值。
（4）思考：
当锐角α越来越大时，α的正切值有什么变化？
三、随堂练习
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，
则tanA＝________，tanB＝______。
2、如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点,连结EB，
设∠EBA＝α，则tanα＝_________。
六、拓宽与提高
1、如图是一个梯形大坝的横断面，根据图中的尺寸，请你通过计算判断左右两个坡的倾斜程度更大一些？
金城外国语学校初三数学导学案
课题：
§7.2正弦、余弦
（一）执笔：
朱清华审核：
初三数学备课组
［学习目标］
1、理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
［学习重点与难点］
在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
［学习过程］
一、情景创设
1、问题1：
如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？
行走了am呢？
2、问题2：
在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？
二、探索活动
1、思考：
从上面的两个问题可以看出：
当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。
（根据是______________________________________。
）
2、正弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A
的______，记作________，
即：
sinA＝________=________.
3、余弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,
我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，
即：
cosA=______=_____。
（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？
）试试看.
4、牛刀小试
根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与探索
怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
（1）如书P42图7—8，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度到P点时，他的位置在竖直方向升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。
根据正弦、余弦的定义，可以知道：
sin15°＝0.26，cos15°＝0.97
（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？
sin75°、cos75°呢？
sin30°＝_____，cos30°＝_____.
sin75°＝_____，cos75°＝_____.
（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。
（4）观察与思考：
从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？
从cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？
当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？
余弦值又是怎样变化的？
6、锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。
三、随堂练习
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC＝12，BC＝5，则sinA＝_____，
cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝
，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，tanB=________,
cosB=______,sinB=_______
六、拓宽和提高
已知在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a：
b：
c＝5：
12：
13试求最小角的三角函数值。
金城外国语学校初三数学导学案
课题：
§7.2正弦、余弦
（二）执笔：
朱清华审核：
初三数学备课组
［学习目标］
1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算；
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。
［学习重点与难点］
用函数的观点理解正切，正弦、余弦
［学习过程］
一、知识回顾
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：
sinA＝_____，cosA=_____，tanA＝_____。
∠B的三角函数关系式_________________________。
2、比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB，tanA与tanB的表达式，你有什么发现______________________________________________________。
3、练习：
①如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。
②如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。
③在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。
④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA=
，则BC=_____。
⑤在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,sinB=
则AC=_____。
⑥如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15,sinC=
，则AB=_____。
⑦在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=
，AC=12，则AB=_____,BC=_____。
二、例题
例1、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。
（精确到1m）
（参考数据：
sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）
例2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为4m，车厢到地面的距离为1.4m。
（1）你能求出木板与地面的夹角吗？
（2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离。
（精确到0.1m）
（参考数据：
sin20.5°≈0.3500，cos20.5°≈0.9397，tan20.5°≈0.3739）
三、随堂练习
1、小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为40°，求滑梯的高度。
（精确到0.1m）
（参考数据：
sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660，tan40°≈0.8391）
2、一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确到0.1m）
（参考数据：
sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）
五、课外练习
1、已知：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD的长。
2、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值。
3、在△ABC中，∠C＝90°，cosB=
AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝
，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值。
5、在△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，且∠ADC＝50°，AD＝2，求tanB的值。
（精确到0.01m）（参考数据：
sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）
金城外国语学校初三数学导学案
课题：
§7.3特殊角的三角函数执笔：
朱清华审核：
初三数学备课组
【学习目标】
1.能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义.
2.会计算含有30°、45°、60°角的三角函数的值.
3.能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.
4.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程发展同学们的推理能力和计算能力.
【学习过程】
一、情景创设
同学们已经学习了锐角的三角函数，你能分别说出正切、正弦、余弦的定义吗？
二、探索活动
1．活动一.观察与思考你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？
2.活动二.根据以上探索完成下列表格
30°
45°
60°
sinθ
cosθ
tanθ
三、典例分析
例1：
求下列各式的值。
（1）2sin30°-cos45°
（2）sin60°·cos60°（3）sin230°+cos230°
练习：
计算.
（1）cos45°－sin30°
（2）sin260°＋cos260°
（3）tan45°－sin30°·cos60°（4）
例2.求满足下列条件的锐角α:
（1）cosα=
（2）2sinα=1（3）2sinα－
=0（4）
tanα－1=0
练习：
1．若sinα=
则锐角α=________.若2cosα=1,则锐角α=_________.
2．若sinα=
则锐角α=_________.若sinα=
则锐角α=_________.
3．若∠A是锐角，且tanA=
则cosA=_________.
4．求满足下列条件的锐角α:
（1）cosα-
=0
（2）-
tanα+
=0
（3）
cosα-2=0（4）tan（α+10°）=
5.已知α为锐角,当
无意义时,求tan（α+15°）-tan（α-15°）的值.
五.拓展与延伸
1.等腰三角形的一腰长为6㎝,底边长为6
㎝,请你判断这个三角形是锐角三角形、
直角三角形还是钝角三角形?
金城外国语学校初三数学导学案
课题：
§7.4由三角函数值求锐角 执笔：
朱清华审核：
初三数学备课组
学习目标：
会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小。
学习过程：
一、复习回顾
1、利用计算器求下列各角的正弦、余弦值（精确到0.01）
（1）15°
（2）72°（3）55°12′（4）22.5°
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=BC，求：
（1）cosA
（2）当AB=4时，求BC的长。
二、新课学习：
1、问题：
如图，小明沿斜坡AB行走了13cm。
他的相对位置升高了5cm，你能知道这个斜坡的倾斜角A的大小吗？
根据已知条件，有：
sinA=
利用计算器，可以由一个锐角的三角函数值求这个角的大小。
依次按键为：
结果显示为，得∠A≈（精确到0.01）
2、例题学习：
求满足下列条件的锐角A（精确到0.01°）；
（1）
（2）
解：
（1）依次按键，
结果显示为，得∠A≈
（2）
三、课堂练习：
1、求满足下列条件的锐角A（精确到0.01°）
（1）
（2）
（3）
（2）拓展训练：
1、如图，已知秋千吊绳的长度3.5m，求秋千升高1m时，秋千吊绳与竖直方向所成的角度（精确到0.01°）
2、已知，如图，AD是△ABC的高，CD=16，BD=12，∠C＝35°（精确到0.01°）
金城外国语学校初三数学导学案
课题：
§7.5解直角三角形执笔：
朱清华审核：
初三数学备课组
学习目标：
使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角（两锐角互余），边与边（勾股定理）、边与角关系解直角三角形。
学习过程
一、问题情景：
如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处。
问大树在折断之前高多少米?
显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分
的长度为＝，＋10＝36所以，大树在折断之前的高为36米。
二、新课（请阅读）
1．解直角三角形的定义。
任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角形。
像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形。
2．解直角三角形的所需的工具。
如图7—12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，其余5个元素之间有以下关系：
（1）两锐角互余∠A＋∠B＝
（2）三边满足勾股定理a2＋b2＝
（3）边与角关系sinA＝＝
，cosA＝sinB＝
，tanA＝＝，
cotA＝＝
。
3．例题讲解。
例1：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠C＝30°，a=5，解直角三角形。
例2：
Rt△ABC中，∠C＝90°，a=104，b=20.49，求
（1）c的大小（精确到0.01）
（2）∠A、∠B的大小。
例3：
如图7—13，圆O半径为10，求圆O的内接正五边形ABCDE的边长（精确到0.1）
三、课堂练习：
1、已知：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，b=2
，c=4，
求
（1）a；
（2）求∠B、∠A
2、求半径为12的圆的内接正八边形的边长（精确到0.1）.
四、拓展练习：
1、由下列条件解题：
在Rt△ABC中，∠C=90°：
（1）已知a=4，b=8，求c．
（2）已知b=10，∠B=60°，求a，c．
（3）已知c=20，∠A=60°，求a，b．
2、已知等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求顶角∠A的四种三角函数值．
3、在△ABC中，∠C＝90°，
，求∠A、∠B、c边.
金城外国语学校初三数学导学案
课题：
§7.6锐角三角函数的简单应用
（1）执笔：
吴美平审核：
初三数学备课组
学习目标：
通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。
学习过程：
一、复习巩固：
1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则BC：
AC：
AB=。
2、在△ABC中，∠C=90°。
（1）已知∠A=30°，BC=8cm，求AB与AC的长；
（2）已知∠A=60°，AC=
cm，求AB与BC的长。
二、例题学习：
例1：
“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min。
小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m）开始1周的观光，2min后小明离地面的高度是多少（精确到0.1m）？
分析：
如图，小明开始在车厢点B，经过2min后到了点C，点C离地面的高度就是小明离地面的高度，其实就是DA的长度
DA=AE-
解：
拓展延伸：
1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？
2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？
三、课堂练习；书本P551、2
四、思考练习
如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到l米）。
分析：
本题中，已知条件是什么?
（AB＝2000米，
∠CAB＝90°－∠CAD＝50°），那么求AC的长是用
“弦”还是用“切”呢?
求BC的长呢?
显然，
AC是直角三角形的斜边，应该用余弦函数，
而求BC的长可以用正切函数，也可以用余切函数。
金城外国语学校初三数学导学案
课题：
§7.6锐角三角函数的简单应用
（2）执笔：
吴美平审核：
初三数学备课组
学习目标：
进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
学习过程
一、给出仰角、俯角的定义
如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。
二、例题讲解
分析：
1、由题目可知道，气球的高度就是CD的长加上小明的眼睛离地面1.6m
2、假设CD为hm，BD为xm，在Rt△ADC和Rt△BDC利用正弦列出两个方程求出
例2、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为40°。
若小明的眼睛离地面1.6m，小明如何计算气球的高度呢（精确到0.01m）
解：
2、课堂练习：
书本P561、2
3、思考与探索：
大海中某小岛的周围10km范围内有暗礁。
一艘海轮在该岛的南偏西55°方向的某处，由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的另一处。
如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？
四、拓展训练：
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高度。
分析：
因为AB＝AE＋BE，AE＝CD＝1.20米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决,在△BDE中,已知DE＝CA＝22.7米，∠BDE＝22°，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢?
显然正切或余切都能解决这个问题。
2．如图，A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器（皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角）。
（1）你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据（用字母表示），并画出测量图形。
（2）用你测量的数据（用字母表示）写出计算B楼高度的表达式。
分析：
如右图，由于楼的各层都能到达，所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角，再测B楼的底端的俯角，这样在Rt△ABD中就可以求出BD的长度，因为AE＝BD，而后Rt△ACE中求得CE的长度，这样CD的长度就可以求出．
金城外国语学校初三数学导学案
课题：
§7.6锐角三角函数的简单应用（3）执笔：
吴美平审核：
初三数学备课组
学习目标：
使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
教学过程
一、阅读新知识：
如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?
显然，斜坡A1Bl的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。
从图形可以看出
，即tanAl＞tanA。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度（或坡比），记作i，即i＝
，坡度通常用l：
m的形式，例如上图中的1：
2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
二、例题讲解。
例3如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角
为30°背水坡AD的坡度i（即tan
）为1：
1.2,坝顶宽DC=2.5m，坝高4.5m。
求
（1）背水坡AD的坡角
（精确到0.1°）；
（2）坝底宽AB的长（精确到0.1m）
拓展与延伸：
如果在例题3中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固坝堤，要求坝顶CD加宽0.5m，水坡AD的坡度i（即tan
）为1：
1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（精确到0.1
）
三、课堂训练：
书本P581、2、3
四、补充练习：
1．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽。
（精确到0.1米）
分析：
四边形ABCD是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB＝AE＋EF＋BF，EF＝CD＝12.51米．AE在直角三角形AED中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得到解决。
解：
2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。
和坝底宽AD。
（i＝CE:
ED，单位米，结果保留根号）
金城外国语学校初三数学导学案
课题：
回顾与思考
（1）执笔：
吴美平审核：
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