二元一次方程组解法的探究.docx

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二元一次方程组解法的探究

课题三：

二元一次方程组解法的探究

（“二元一次方程组的解法”第一课时）

一、教学目标

1、让学生通过探索二元一次方程的解法，经历把“二元”转化为“一元”的过程，从而初步体会消元的思想，体验把“不懂”转化为“已懂”的过程，体会把复杂问题转化为简单问题的化归思想。

2、培养学生自主探索与人交流的能力。

二、教学重点

探索、尝试二元一次方程组的解法，体会消元思想。

三、教学难点

如何启发学生探索、引导学生自主尝试，调动交流的积极性。

四、设计理念

本节学习目标之一是：

“探索二元一次方程组的解法”。

以学生身边熟悉的事情，创设“问题情境”，使学生感受到问题是“现实的，有意义的，富有挑战性的”，让学生在不自觉中走进自己的“最近的发展区”，愉悦地投身教学活动，这是我备课时设计的意图之一。

意图之二是：

本节课只要求学生体会到消元的思想，不要求学生立即掌握解二元一次方程组的步骤和书写格式规范。

意图之三是：

引导学生自主探索，给学生充分体验的时空。

教材的编排是由“问题2”出发的，虽然“问题2”中的方程组用“代入法”来解，容易上手，却不利学生探索“加减法”。

据此，我对教材作了大胆的处理。

【附：

学习“二元一次方程组的解法”段落教学设计

第一课时：

探究解二元一次方程组的基本思想，为深入学习二元一次方程组的解法打下辅垫。

第二课时：

在上节课已探究了解二元一次方程组的基本思想是“消元”的基础上，深入地学习代入消元法，具体要求掌握代入消元的解题步骤，会用代入消元法解二元一次方程组。

第三课时：

巩固练习，要求学生能熟练掌握代入消无法。

第四课时：

在第一课时已探究了解二元一次方程组的基本思想是“消元”的基础上，深入地学习加减消元法，具体要求学生掌握加减消元法的解题步骤，会用加减法解二元一次方程组。

第五课时：

巩固练习，要求学生熟练掌握加减消元法，并了解代入法和加减法的概念。

第六课时：

加深学习，要求学生能灵活运用代入法和加减法解二元一次方程组。

】

六、教学流程

（一）、创设情境

（当学生看到自已所学的知识与现实世界息息相关时，学习通常会更主动。

）

上课一开始就把上一堂课组织学生讨论过的熟悉的问题提出来，引导学生回忆该问题：

新学期初，班主任为了对上学期在纪律、学习上表现好的十名同学分一等奖和二等奖进行表彰，要生活委员用22元班费去买奖品，规定一等奖的奖品每件4元，二等奖的奖品每件1元，如果你是生活委员，该如何买奖品？

为了解决这个问题，我们曾经采取了一些方法，如设买一等奖的奖品x件,那么二等奖的奖品就是（10-x）件,根据题意得4x+（10-x）=22,解得x=4,从而可知要买一等奖的奖品4件,二等奖的奖品6件.

如果，设买一等奖的奖品x件,二等奖的奖品y件,根据题意可得

二元一次方程组

由刚才的结果,通过检验可知

是这个方程组的解.

同学们,有哪些办法能求出这个方程组的解呢?

现在进行小组讨论.

（二）、探索、尝试

（全班按4-6名同学一个小组，进行小组自主探究学习，每个小组可以推荐一个同学举手发言，向全班交流本小组讨论出来的结果。

）

有可能出现的讨论结果：

1）、由第一个方程变形得x=10-y,用10-y代替第二个方程中的x,得到一个一元一次方程,然后求出方程组的解.

2）、由第一个方程变形得y=10-x,用10-x代替第二个方程中的y,得到一个一元一次方程,然后求出方程组的解.

3）、由第二个方程变形得y=22-4x,用22-4x代替第一个方程中的y,得到一个一元一次方程,然后求出方程组的解.

4）、由第二进个方程变形得x=

用

代替第一个方程中的x,得到一个一元一次方程,然后求出方程组的解.

5）、由第二进个方程减第一个方程，即、（4x+y）-（x+y）=22-10得3x=12,算出x,再算出y.

6）、由第二进个方程变形得,3x+（x+y）=22,再由第一个方程x+y=10代入得3x+10=22,算出x,再算出y.

（以上只是可能出现的结果,实际课堂上能出现几种结果,只能由学生讨论的情况决定,我不加于暗示,引导.）

在学生发言的过程中适当补充一些简单的练习,如:

方程组

的解是

方程组

的解是

（三）、归纳小结

引导学生观察讨论的几种结果,得出解二元一次方程组的关键是将二元一次方程组转化为一元一次方程,也就是将“二元”转化为“一元”,即：

消元。

（四）、巩固练习

求下列方程组的解

1．

2.

（1、不强调具体步骤,只需求出结果；2、巩固练习能否完成,视学生讨论的情况而定。

）

附:

课堂练习及课外作业

课堂练习

填空

1方程组

的解是

2方程组

的解是

3方程组

的解是

4方程组

的解是

课外作业

A组:

1方程组

的解是

2方程组

的解是

3方程组

的解是

B组:

参照课本第28面的例1,写出解下列方程组的步骤.

C组:

一次数学测验共有三道题,第1题3分,第2题和第3题各1分,全卷满分5分,某年级数学兴趣小组40名学生参加这次测验,所得总分是100分,其中得0分的有4名,得1分的有7名,得2分的有10名,得4分的有8名,求得3分和5分的学生各有多少名?

《二元一次方程组解法的探究》教学设计

评述

毛老师的《二元一次方程组解法的探索》教学设计，既是一节课的设计，也是对“二元一次方程组解法”整个教学段落的教学设计，充分体现了整体设计的思想。

毛老师对教材的处理，也体现了课改的理念：

教师是教育教学的研究者、课程的建设者与开发者。

新课程的一个观点是：

知识是人类的一种探究的活动，“知识”是人在实践中形成并得到检验的东西，是主观的不是客观的。

该教学设计，正是抓住“引导学生自主探索”这一主线，贯穿全节。

通过学生的探索，让学生体验知识形成的过程，初步体会“转化（化归）”的数学思想。

整节课，基于学生的真实生活情景的学习，重视学生的学习过程体验及直接经验，体现以人为本的主体性教育价值取向。

值得注意的是，后三节课的教学，必须认真抓好解二元一次方程组的具体步骤及解题格式规范的练习。

白云区教研室中数科吴国成

2004年3月7日

民航广州子弟学校林俊伟

二元一次方程组的解法

（1）

一、引入新课（小组讨论：

你们小组能用多少种方法解决下列问题？

）

1、如下图所示，买1个汉堡、3个雪糕共用16元，买1个汉堡所花的钱可以买5个雪糕。

问：

汉堡、雪糕每个多少元？

2、指出下面式子的意义，并求汉堡、雪糕每个多少元？

3、（若学生的整体水平较高，可跳过问题1、2，直接由此问引入）

指出下面式子的意义，并求汉堡、雪糕每个多少元？

二、范例：

设汉堡每个x元，雪糕每个y元.

1、问题1可列方程组（师生共同完成）：

解法一（代入消元法）：

解法二（加减消元法）：

2、问题2可列方程组（学生完成）：

解法一：

解法二：

3、问题3可列方程组（学生完成）：

三、练习（每小题分别用加减消元法和代入消元法求解）：

1、解方程组：

2、解方程组：

二元一次方程组解法的探究

（“二元一次方程组的解法”第一课时）

一、教学目标

1、让学生通过探索二元一次方程的解法，经历把“二元”转化为“一元”的过程，从而初步体会消元的思想，体验把“不懂”转化为“已懂”的过程，体会把复杂问题转化为简单问题的化归思想。

2、培养学生自主探索与人交流的能力。

二、教学重点

探索、尝试二元一次方程组的解法，体会消元思想。

三、教学难点

如何启发学生探索、引导学生自主尝试，调动交流的积极性。

四、设计理念

本节学习目标之一是：

“探索二元一次方程组的解法”。

以学生身边熟悉的事情，创设“问题情境”，使学生感受到问题是“现实的，有意义的，富有挑战性的”，让学生在不自觉中走进自己的“最近的发展区”，愉悦地投身教学活动，这是我备课时设计的意图之一。

意图之二是：

本节课只要求学生体会到消元的思想，不要求学生立即掌握解二元一次方程组的步骤和书写格式规范。

意图之三是：

引导学生自主探索，给学生充分体验的时空。

教材的编排是由“问题2”出发的，虽然“问题2”中的方程组用“代入法”来解，容易上手，却不利学生探索“加减法”。

据此，我对教材作了大胆的处理。

【附：

学习“二元一次方程组的解法”段落教学设计

第一课时：

探究解二元一次方程组的基本思想，为深入学习二元一次方程组的解法打下辅垫。

第二课时：

在上节课已探究了解二元一次方程组的基本思想是“消元”的基础上，深入地学习代入消元法，具体要求掌握代入消元的解题步骤，会用代入消元法解二元一次方程组。

第三课时：

巩固练习，要求学生能熟练掌握代入消无法。

第四课时：

在第一课时已探究了解二元一次方程组的基本思想是“消元”的基础上，深入地学习加减消元法，具体要求学生掌握加减消元法的解题步骤，会用加减法解二元一次方程组。

第五课时：

巩固练习，要求学生熟练掌握加减消元法，并了解代入法和加减法的概念。

第六课时：

加深学习，要求学生能灵活运用代入法和加减法解二元一次方程组。

】

六、教学流程

（一）、创设情境

（当学生看到自已所学的知识与现实世界息息相关时，学习通常会更主动。

）

上课一开始就把上一堂课组织学生讨论过的熟悉的问题提出来，引导学生回忆该问题：

新学期初，班主任为了对上学期在纪律、学习上表现好的十名同学分一等奖和二等奖进行表彰，要生活委员用22元班费去买奖品，规定一等奖的奖品每件4元，二等奖的奖品每件1元，如果你是生活委员，该如何买奖品？

为了解决这个问题，我们曾经采取了一些方法，如设买一等奖的奖品x件,那么二等奖的奖品就是（10-x）件,根据题意得4x+（10-x）=22,解得x=4,从而可知要买一等奖的奖品4件,二等奖的奖品6件.

如果，设买一等奖的奖品x件,二等奖的奖品y件,根据题意可得

二元一次方程组

由刚才的结果,通过检验可知

是这个方程组的解.

同学们,有哪些办法能求出这个方程组的解呢?

现在进行小组讨论.

（二）、探索、尝试

（全班按4-6名同学一个小组，进行小组自主探究学习，每个小组可以推荐一个同学举手发言，向全班交流本小组讨论出来的结果。

）

有可能出现的讨论结果：

1）、由第一个方程变形得x=10-y,用10-y代替第二个方程中的x,得到一个一元一次方程,然后求出方程组的解.

2）、由第一个方程变形得y=10-x,用10-x代替第二个方程中的y,得到一个一元一次方程,然后求出方程组的解.

3）、由第二个方程变形得y=22-4x,用22-4x代替第一个方程中的y,得到一个一元一次方程,然后求出方程组的解.

4）、由第二进个方程变形得x=

用

代替第一个方程中的x,得到一个一元一次方程,然后求出方程组的解.

5）、由第二进个方程减第一个方程，即、（4x+y）-（x+y）=22-10得3x=12,算出x,再算出y.

6）、由第二进个方程变形得,3x+（x+y）=22,再由第一个方程x+y=10代入得3x+10=22,算出x,再算出y.

（以上只是可能出现的结果,实际课堂上能出现几种结果,只能由学生讨论的情况决定,我不加于暗示,引导.）

在学生发言的过程中适当补充一些简单的练习,如:

方程组

的解是

方程组

的解是

（三）、归纳小结

引导学生观察讨论的几种结果,得出解二元一次方程组的关键是将二元一次方程组转化为一元一次方程,也就是将“二元”转化为“一元”,即：

消元。

（四）、巩固练习

求下列方程组的解

1．

2.

（1、不强调具体步骤,只需求出结果；2、巩固练习能否完成,视学生讨论的情况而定。

）

附:

课堂练习及课外作业

课堂练习

填空

1方程组

的解是

2方程组

的解是

3方程组

的解是

4方程组

的解是

课外作业

A组:

1方程组

的解是

2方程组

的解是

3方程组

的解是

B组:

参照课本第28面的例1,写出解下列方程组的步骤.

C组:

一次数学测验共有三道题,第1题3分,第2题和第3题各1分,全卷满分5分,某年级数学兴趣小组40名学生参加这次测验,所得总分是100分,其中得0分的有4名,得1分的有7名,得2分的有10名,得4分的有8名,求得3分和5分的学生各有多少名?

《二元一次方程组解法的探究》教学设计

评述

《二元一次方程组解法的探索》教学设计，既是一节课的设计，也是对“二元一次方程组解法”整个教学段落的教学设计，充分体现了整体设计的思想。

毛老师对教材的处理，也体现了课改的理念：

教师是教育教学的研究者、课程的建设者与开发者。

新课程的一个观点是：

知识是人类的一种探究的活动，“知识”是人在实践中形成并得到检验的东西，是主观的不是客观的。

该教学设计，正是抓住“引导学生自主探索”这一主线，贯穿全节。

通过学生的探索，让学生体验知识形成的过程，初步体会“转化（化归）”的数学思想。

整节课，基于学生的真实生活情景的学习，重视学生的学习过程体验及直接经验，体现以人为本的主体性教育价值取向。

值得注意的是，后三节课的教学，必须认真抓好解二元一次方程组的具体步骤及解题格式规范的练习。

教学过程摘录：

一、问题引入

1.教师展示一学生解决上一节课的应用题所列的方程（组）：

新学期初，班主任为了对上学期在纪律、学习上表现好的十名同学分一等奖和二等奖进行表彰，要生活委员用22元班费去买奖品，规定一等奖的奖品每件4元，二等奖的奖品每件1元，如果你是生活委员，该如何买奖品？

解：

设买一等奖的奖品x件,二等奖的奖品y件,根据题意可得

（1）

（2）

由刚才的结果,通过检验可知

2.提出问题

师：

上节课猜想出

具体应怎样解这个方程组呢？

请大家在小组内讨论这个问题，尽可能用多种方法解决。

二、小组讨论

学生有秩序地开展讨论，教师参与个别小组的讨论，但每个小组发言的同学只有一两位。

三、小组汇报

小组讨论6分钟之后，各小组由中心发言的同学代表小组发言，有时教师指定小组内另一位同学发言。

生1：

生2：

（教师指定同一小组中另一学生回答）

生3:

生4:

一个数一个数去试。

师：

这也是一种好方法。

生5:

生6:

生7（生5第二次发言）补充：

生8：

生9（生1第二次发言）:

此时，全体学生精神高度集中，课堂教学进入高潮。

师：

此方法与生3的方法有什么联系？

四、小结归纳

教师从各小组汇报的结果中，用红色粉笔画出消元后所得到的一元一次方程，并引导学生小结归纳。

师：

上述各种解法有什么联系和区别？

生10、11：

把二元转化成一元。

师：

三元方程组如何解？

生12：

三元转化为二元。

师：

解二元一次方程组的关键是消元。

五、学生练习

只要求学生写出答案，不强调具体方法、书写格式。

六、学生汇报计算结果

课后评述：

《二元一次方程组解法的探索》的教学，在“贯彻新课标精神，用好新教材”方面做了有益的尝试：

1.从整体上处理教材，以单元为单位组织教学，遵循学生的认知规律：

整体（局部模糊）——局部——整体（局部清晰）。

原教材的编排顺序是：

第一、二课时，代入消元法；第三、四课时，加减消元法。

毛老师的《二元一次方程组解法的探索》教学，改变教材的线性编排顺序，第一课时引导学生探究二元一次方程组的两种解法，从整体上认知代入消元法、加减消元法的本质是消元——化二元为一元。

第一课时的教学“淡化形式”，不要求学生用具体的方法、格式解方程组，在小结归纳时提出“怎样解三元一次方程组”这样的问题，使学生更好地从整体上领会消元的思想，留给学生思考的空间，促进“不同的人学不同的数学”。

毛老师对教材的处理，也体现了课改的理念：

教师是教育教学的研究者、课程的建设者与开发者。

2.采用探究性学习方式，发挥学生的主体作用，使学生经历观察、猜想、验证、推理等数学活动过程。

学生学习的过程不是被动地吸收教材和教师给出的现成结论，而是学生参与小组内讨论，经历数学知识“再创造”的过程。

在整个教学过程中，老师没有教给学生具体的解方程组的方法，多种解题方法均是学生通过小组探究、组际交流得出。

3.尊重学生的思维成果。

在学生的探索过程中，教师要提倡学生思维的开放性和创造性。

当学生提出解决问题的策略时，教师要给予充分的肯定，让学生体验成功的喜悦。

本课例中，有学生提出“一个数一个数去试”的方法，教师也给予表扬鼓励。

4.有合适的分组及发言机制。

采用“组内异质，组间同质”分组，每个小组有一个中心发言人，代表小组发言，但教师有时随意指定小组内另一位同学发言，使得每位同学都积极参与小组内研讨。

开展合作学习应注意的几个方面：

1.要有合适的讨论内容。

“问题是数学的心脏”，创设适宜大部分学生探究的情境，激发求知欲，是促进学生自主探究的基础。

教师不能低估学生的理解和探究能力，但也不能过高地估计学生的能力。

本课例提出的问题，适合中等以上水平的学生探究，在小组研讨论时，优生占有大部分的发言权，中下生处于听众的位置。

2.要充分发挥教师的指导作用。

教师是学生学习过程的组织者、引导者、参与者、促进者。

当小组研讨到了山穷水尽时，教师应指明思维的方向，使学生体验柳暗花明的喜悦。

学习初始阶段，允许学生的语言、格式不规范，但教师复述、板书时应规范化，起良好的示范作用。

“淡化形式”并不是不要形式，教师在后续几个课时的技能训练课中，要规范学生的解题格式。

3.讨论前应留给学生独立思维的时间。

独立的思维是小组合交流的基础，没有足够长的独立思维的时间，小组研讨时容易造成优生垄断发言权的局面。

4.讨论要深入。

本节课小组讨论的时间只有6分钟，学生不能深入讨论，小组内个别成员还没来得及学会一种基本的解题方法。

如果本课例的小组讨论时间适当延长，教师给予适当的思维方向的引导，中下生也有时间、机会在小组内发言，来自不同层次学生的不同观点的碰撞，容易产生创新思维的火花，每个小组都有可能得出多种解题方法，小组成员在小组内就可以学会更多的解题方法。