工程结构可靠性理论与应用习题及答案.docx
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工程结构可靠性理论与应用习题及答案
《工程结构可靠性理论与应用》习题
4.1某地区年最大风压实测值见教材表3-3。
（1）用K-S检验法对年最大风压分布进行假设检验，证明该地区年最大风压可用极值
I型来拟合，并写出相应的分布函数；
（2）试求该地区设计基准期T=50年的最大风压的统计特征（统计参数和分布函数）解：
（1）列出年最大风压实测值表，见表1。
表1某地年最大标准风压（kgf/m2）实测值（25年）
年份
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
风压
11.14
13.81
14.31
43.67
32.29
37.44
21.42
21.42
23.96
年份
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
风压
22.25
31.44
21.83
19.80
16.04
14.82
13.81
20.42
20.20
年份
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
风压
19.80
11.89
19.80
16.04
12.67
7.98
10.12
（2）对荷载进行统计分析，依据该地区25年实测最大风压力绘制计统计频率分布直方
图，为偏态，所以初步判断年最大风压力服从极值I型分布，试用极值I型分布拟合。
已知
极值I型分布函数
r-x-^T\R（x）=exp-exp-
ILa」.l
（3）参数估计
11
子样平均数：
X（X1X2•X25）=（11.14•13.81川10.12）=19.93
2525
子样标准差：
1
1「222一〔（11.14-19.99）2（13.81-19.99）2III（10.12-19.99）2〕=8.6224
在M（X），二（X），未知情况下，分别用上述估计值M?
（x）=19.93、；：
?
（X）=8.62来
近似代替，计算未知参数a,u的估计值。
M（x）=0.5772a-J
二（x）=1.2826a
c；?
（X）8.621
a?
—■
1.2826一1.28260.15
1
垐二M?
（X）-0.5772a=19.93-0.577216.08
0.15
于是可以得到该地区年最大风压可以用Fi（x）二exp'-exp〔-0.15（x-16.08）b来拟
合。
（4）假设检验假设H）:
该地区年最大风压服从极值I型分布，即其分布函数为
F|（x）二exp\-exp丨-0.15（x-16.08）卜
1
其中a，.二-16.08。
0.15
2）将X的经验分布函数Fn（x）（统计量）与假设的X的分布函数F（x）进行比较，使用
统计量Dn二maxFn（X）-F（X）二maXDn（x），其中Dn（x）=Fn（x）-F（x），来度量抽-x.x:
得的子样与要检验的假设之间的差异，数量大就表示差异大。
为便于计算Dn的观测值Dn，列表计算Dn（x）。
见表2。
表2子样检验差异表
风压值
频数
累计频数
假设分布值
经验分布值
Dn（xJ
Xi
Vi
F（x）
Fn（x）
7.98
1
1
0.0344
0.04
0.0056
10.12
1
2
0.0867
0.08
0.0067
11.14
1
3
0.1227
0.12
0.0027
11.89
1
4
0.1534
0.16
0.0066
12.67
1
5
0.1887
0.20
0.0113
13.81
2
7
0.2452
0.28
0.0348
14.31
1
8
0.2714
0.32
0.0486
14.82
1
9
0.2988
0.36
0.0612
16.04
2
11
0.3657
0.44
0.0743
19.8
4
15
0.5642
0.60
0.0358
20.2
1
16
0.5833
0.64
0.0567
20.4
1
17
0.5927
0.68
0.0873
21.42
1
18
0.6383
0.72
0.0817
21.83
1
19
0.6557
0.76
0.1043
22.25
1
20
0.6728
0.80
0.1272
23.69
1
21
0.7266
0.84
0.1134
31.44
1
22
0.9050
0.88
0.0250
35.29
1
23
0.9455
0.92
0.0255
37.44
1
24
0.9602
0.96
0.0002
43.67
1
25
0.9842
1.00
0.0158
表中F（xi^ex^-ex^-0.15（x-16.08）1/
Fn（X）Vj
n
Dn（X）=Fn（Xj-F（Xi）
从表2可见：
Dn=maxFn（Xi）—F（xj|=0.1272
3）给显著水平a=0.05，求出临界值Dn,o.o5。
当n足够大时，我们可以认为VnDn的
分布近似于Q（k）。
给定a=0.05，临界值Dn,0.05即满足
P（VnDnADn,0.05）=0.05二P^/nD
n"：
Dn,0.05）=0.95=Q（Dn,0.05）
查教材附表川Dn,0.05=1.36
•_nDn=0.645故接受H）,即认为该地区年最大风压服从极值I型分布，其分布函数为:
Fi（x）二exp\-exp丨-0.15（x-16.08）V
1
a,u=16.08
0.15
（5）求该地区设计基准期T=50年，最大风压的统计特征值。
不考虑风向时：
50
由此得到：
Jwt=1.11Wk，:
wt=0.19
由此得到:
-wt=0.998Wk,、wt=0.19
由于=0.998WkWk所以规范规定的风荷载标准值Wk即相当于设计基准使用为
50年的考虑了风作用方向的最大风荷载WT概率分布的平均值。
4.2求钢筋混凝土轴心受压构件的抗力统计参数。
2
已知C30混凝土fCk=17.5N/mm，卩kfc=1.41,=0.19
20MnSi钢筋
2
fyk=340N/mm,・£=1.14,=0.07
截面尺寸bk
=300mm,hk=500mm,"kb="kh=1.0,'1=--h=0.02
配筋率；-=0.015，稳定系数=1.0，抗力表达式Rp二fcb^fyAS
钢筋截面积：
JkAs'=1.0,、as'二0.03
计算模式：
"kp=1.0,、*p=0.05
解:
计算公式为：
R-KPF^P-Kp（RabhRgAg），统计参数为.
怙二怙」b柿」Rg「％*
=1.4117.5300500+1.143400.0151300500
=4573350N
令c-kRgRgK=0.015”4340=0.236
kRa，RaK1.41"17.5
皆_晡+甲+时+。
2（碼+硒）_0.192+0.022+0.022+0.236（0.072+0.032）（1C）2（10.236）2
=0.0248
得：
KR1.35
RkRk
'R^\"KP"RP=°・165
4.3已知极限状态方程Z=g（F,S）=R-S=0,"r=100,"s=50,;r=0.12，飞=0.15,
试求下列情况下1。
（1）RS均服从正态分布；
（2）R服从对数正态分布，S服从极值I型分布。
解：
（1）当RS均服从正态分布时：
JR=100,JS=50,、r=0.12，、：
S=0.15
二R=-rUr=12，二s='SUs=7.5
得=土二Ur_Ue=3.53
°zJcr；+舅
（2）R服从对数正态分布，S服从极值I型分布时：
1）由于R服从对数正态分布，首先对抗力R进行当量正态化:
令R*的初值为其平均值，
Ar=R（1—InR^+umr）=R（1+1nUr—InR）
=100（1+4.59802153-4.60517019）
=99.285
j=R^r=Rjn（V:
R）
=100•.In（10.122）=11.95713
2）S服从极值I型分布，对荷载S当量化：
令S”的初始值为其平均值
a-6；二/二=,67.5/二=5.848
u=比-0.577a=50-0.5775.848=46.6257
11
y（S-u）（50-46.6257）=0.57701
a5.848
FS（S）=exp[-exp（-y）]=exp[exp（-0.57701）]=exp[-0.561575]=0.5703
11
S（S）exp（-y）exp[-exp（-y）]exp（-0.57703）exp[-exp（-0.57703）]
a5.848
1
=0.5615750.5703=0.054765
;（0.177）
0.054765
5.848
二S=心〔Fs（S）〕/s（S）=：
叮〔0.5703〕/0.054765
0.1772
1一-r-
2e0.3927417
—厶—7.17140
0.0547650.054765
11
•1S=S—：
.：
」—[Fs（S）]；「s=US[Fs（S）]汪=50-0.1777.1714—48.73066
以R•的统计参数•、二R代替R的统计参数、二R；并以S的统计参数二S、丿S代
、匚S，计算得可靠度为
■—电二UL_UL—_99.285二48.73066_—3.626
CTzJbR卄2J11.957132+7.171402
4.4已知极限状态方程RGL=O
R抗力,
G恒载,
对数正态分布，=1.13Rk,:
.R=0.1
正态分布，JG=1.06Gk,:
G=0.07
解:
1=3.5,1-R=「（3.5）=0.9997674
[二Ugg=0.0742Gk
（5）当二=土=0.1时
Gk
6=60730.02016Gk=0.03498Gk
由一：
=3.5=uR-七-比
J（0.0852ur）芥（0.0742Gk（0.03498Gk）2
得R<-1.52Gk
cos%=-O.。
8521.131.52Gk=-0.87
/0.14634Gk）2+（0.0742Gk）2+（0.03498Gk）2
cos%二0.0742二0.44
0.1678
口0.03498门》
cos^l0.21
0.1678
得R=1.13RK-3.50.87230.08521.13R^=0.836RK
G=1.06Gk+3.50.44230.0742Gk=1.175Gk
L=0.7LK+3.50.20850.3498LK=0.9553LK
因此,
当：
?
=
Gk
=0.1时
g=G/Gk—1.18
L=L/Lk=0.96
R=Rk/R=1.20
_L=6^0.4032Gk=0.6996Gk
UR-UG-UL
2
3.5
-=3.5=:
（0.0852ur）2（0.0742Gk）2（0.6996Gk）2
-0.08521.133.744Gk
R<=3.744Gk
.=-0.46
（0.3605Gk）2（0.0742Gk）2（0.6996Gk）2
0.0742—cos%0.09
0.7905
.0.6996ccccos%0.89
0.7905
R=1.13Rk-3.50.45600.08521.13R<=0.976RK
G=1.06Gk+3.50.0938660.0742Gk=1.084Gk
L=0.7Lk+3.50.885020.3498LK=1.78353LK
因此，当J=-A=2时
gk
G=G/Gk=1.18
L=L/Lk"78
r=Rk/R=1.02
4.5已知极限状态方程R—Sg-Sq=0，设计表达式为
GSGk*QSQkRk
“R
G=1.2,Q=1.4，且目标可靠度?
=3.7
SGk
-8.0,
JksG
=1.06,
-0.07
（正态分布）
SQk
=2.0,
^SQ
=0.70,
=0.29
（极值I型分布）
JkR
-1.33,
R
=0.17
（对数正态分布）
试求
JR及
R。
解：
SGk服从正态分布：
鼻’沁SGk=1.068.0=8.48，匚Sg讥隹=8.480.07=0.59
SQk服从极值I型分布：
九—kSq=0.6982.0=1.40，二s==1.3960.288=0.40
sQkSQQksQsQsQ
Rk服从对数正态分布：
JR^JkRRk=1.33Rk，-Rk二"R、：
R=0・17
极限状态方程为：
R-Sg-Sq=0
假定初值
RO=怯怯=8.481.396=9.88
SGe二企=8.48，SQe八s九40利用以下公式进行迭代：
对活荷载Sq当量正态化:
:
-、6；飞/二，u=」Sq-0.5772：
y=丄（Sq-u）
a
Fsq（Sq）=exp{-exp[-y]}
1
Sq（Sq）「exp（-y）FsQ（SQ）
二Sq」{"[Fsq（Sq*）]}/Sq（Sq*）
怯-Ssq-"[Fsq（Ssq）Ksq
Yr
6二R*Jn（1，r2）
COS%
'22'2■,CRCSg厶
JSq
—~r~2
RCSg二
Sg*二二.二sJcos^Sg
S「YsZcos^Sq
=|Ro-R*|
经过6次迭代，精度为
-4一*
；=5.7510，得R=10.87
J二R*In（1、r2）
由R=•；「r-COS^R
''**M-口
将JR代入q=R（1-lnRIn=R）
得S=19.59
由G=1.2,Q=1.4可得
SkQSQk=1.28.01.42.0=12.4
Rk14.73
则Rk1.19
Sk12.4
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